第一章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知f(x)＝(x＋a)2，且f′＝－3，则a的值为( B )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
解析：∵f(x)＝(x＋a)2，∴f′(x)＝2x＋2a，依题意有2×＋2a＝－3，解得a＝－2.
2．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：∵y＝ax－ln(x＋1)，∴y′＝a－.
∴y′|x＝0＝a－1＝2，得a＝3.
3．已知物体的运动方程为s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0米每秒的时刻是( C )
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．0秒、4秒或8秒
D．2秒、8秒或16秒
解析：s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝t3－12t2＋32t＝0，解得t＝0或t＝4或t＝8.
4．当x在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f′(x)的符号变化如下表：
x
(－∞，1)
1
(1,4)
4
(4，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
则函数f(x)的图象的大致形状为( C )
解析：从表中可知f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．
5．设函数f(x)＝＋lnx，则( D )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
6．当x＝a时，函数y＝ln(x＋2)－x取到极大值b，则ab等于( A )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：y′＝[ln(x＋2)－x]′＝－1.令y′＝0，得x＝－1，此时y＝ln1＋1＝1，即a＝－1，b＝1，故ab＝－1.
7．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有( C )
A．f(1)＋f(3)<2f(2)
B．f(1)＋f(3)≤2f(2)
C．f(1)＋f(3)>2f(2)
D．f(1)＋f(3)≥2f(2)
解析：∵≤0，∴当x<2时，f′(x)<0，
则函数f(x)在(－∞，2)上单调递减；
当x>2时，f′(x)>0，则函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)在x＝2处取最小值f(2)，
∴f(1)>f(2)，f(3)>f(2)，将两式相加，
得f(1)＋f(3)>2f(2)．故选C.
8．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( D )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2
，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：由f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
即k≥在x∈(1，＋∞)上恒成立．
又当x∈(1，＋∞)时，0<<1，故k≥1.故选D.
9．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( C )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，
∵f′(1)＝e－1≠0，
∴f(x)在x＝1处不能取到极值；
当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，
f′(x)＝(x－1)·(xex＋ex－2)，
令H(x)＝xex＋ex－2，
则H′(x)＝xex＋2ex>0，x∈(0，＋∞)．
说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，
且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，
因此当x0当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C.
10．若0解析：设f(x)＝ex－lnx，则f′(x)＝.当x>0且x趋近于0时，x·ex－1<0；
11．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时，f(x)( D )
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
解析：令F(x)＝x2f(x)，
则F′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f′(x)＋2xf(x)＝，
得x2f′(x)＝－2xf(x)＝，
∴f′(x)＝.
令φ(x)＝ex－2F(x)，
则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－＝.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.
∴φ(x)≥0.
又x>0，∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D.
12．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，
即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解，如图所示，
当x1是极大值点时，x2是极小值点，且x2>x1，由图1可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根．当x1是极小值点时，x2为极大值点，且x2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．经过原点且与曲线y＝相切的直线的方程是x＋y＝0，x＋25y＝0.
解析：易得y′＝，设切点为(x0，y0)，则由题意知切线的斜率为k＝＝ ①，y0＝ ②，由①②联立可得两个切点分别为A(－3,3)，B(－15，)，进而得两条切线的方程分别为x＋y＝0，x＋25y＝0.
14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝2.
解析：令ex＝t，则x＝lnt，∴f(t)＝lnt＋t，
∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.
15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是－3.
解析：由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，得4a＋＝－5.①
又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②
由①②得所以a＋b＝－3.
16．若函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是(－∞，－3)．
解析：设f(x)＝eax＋3x，则f′(x)＝3＋aeax.
∵函数在x∈R上有大于零的极值点，
∴f′(x)＝3＋aeax＝0有正根，
①当a≥0时，f′(x)＝3＋aeax>0，
∴f′(x)＝3＋aeax＝0无实数根，
∴函数y＝eax＋3x，x∈R无极值点；
②当a<0时，由f′(x)＝3＋aeax＝0，
解得x＝ln.
当x>ln时，f′(x)>0，
当x∴x＝ln为函数的极值点，
∴ln>0，解得a<－3，
∴实数a的取值范围是(－∞，－3)．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，
则f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)上为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由f′＝－a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得a＝－，b＝－2.
f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
＋c
?
－＋c
?
所以函数f(x)的单调增区间为和(1，＋∞)，单调减区间为.
(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f＝＋c为极大值，
而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，
要使f(x)只需c2>f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.
所以c的取值范围是c<－1或c>2.
19．(12分)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．
解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，
由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－2,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.
(2)f′(x)＝，
因为当x∈时，<0，
依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，
从而＋(3b－2)≤0.
所以b的取值范围为.
20．(12分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？
解：设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．
由题意得所需电线的长为l＝AC＋BC
＝＋(0≤x≤3)．
则l′＝＋.
令l′＝0，则－＝0，
即＝，
平方，得＝，
即1.52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2，
∴1.52x2＝(3－x)2.
∴1.5x＝±(3－x)．
解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．
经检验x＝1.2为函数的最小值点，故当CD＝1.2
km时所需电线最短．
21．(12分)已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求f′(x)；
(2)若f′(1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(x2－4)′(x－a)＋(x2－4)(x－a)′
＝2x(x－a)＋x2－4
＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(1)＝0，得3－2a－4＝0，即a＝－.
此时f(x)＝(x2－4)，
f′(x)＝3x2＋x－4＝(x－1)(3x＋4)．
故x＝1和x＝－是函数f(x)的极值点．
∵f(1)＝－，f＝，f(2)＝f(－2)＝0，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
(3)f′(x)＝3x2－2ax－4，
如图，设f′(x)>0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1则有
?
?
故－2≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}．
22．(12分)已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)
可得f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]．
当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，
即y＝4ex－3e.
(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，
解得x＝－(a＋2)或x＝0.
当－(a＋2)≤0即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，
所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数．
所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根；
当－(a＋2)>0，即a<－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：
x
0
(0，－(a＋2))
－(a＋2)
(－(a＋2)，＋∞)
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
－a
?
?
由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的极小值为f(－(a＋2))＝.
因为函数f(x)在(0，－(a＋2))上是减函数，在(－(a＋2)，＋∞)上是增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a(－a)>－a，所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是.第一章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知f(x)＝(x＋a)2，且f′＝－3，则a的值为( )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
2．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知物体的运动方程为s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0米每秒的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒
B．0秒、2秒或16秒
C．0秒、4秒或8秒
D．2秒、8秒或16秒
4．当x在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f′(x)的符号变化如下表：
x
(－∞，1)
1
(1,4)
4
(4，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
则函数f(x)的图象的大致形状为( )
5．设函数f(x)＝＋lnx，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
6．当x＝a时，函数y＝ln(x＋2)－x取到极大值b，则ab等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
7．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有( )
A．f(1)＋f(3)<2f(2)
B．f(1)＋f(3)≤2f(2)
C．f(1)＋f(3)>2f(2)
D．f(1)＋f(3)≥2f(2)
8．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2
，＋∞)
D．[1，＋∞)
9．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
10．若011．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时，f(x)( )
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
12．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．经过原点且与曲线y＝相切的直线的方程是(
)
14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝(
).
15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是(
).
16．若函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，则实数a的取值范围是(
)．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)19．(12分)已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．
20．(12分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？
21．(12分)已知a∈R，f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求f′(x)；
(2)若f′(1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值；
(3)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
