人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 培优训练（Word版 含答案）

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九年级数学
24.4
弧长和扇形面积
培优训练
一、选择题（本大题共8道小题）
1.
如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为(　　)
A．8
B．4
C．4π＋4
D．4π－4
2.
一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(　　)
A．120°
B．180°
C．240°
D．300°
3.
如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(　　)
A．4π－8
B．2π
C．4π
D．8π－8
4.
（2020·乐山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积为（
）
A．
B．
C．
D．π
5.
如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中，，，…的圆心依次按A，B，C，…循环．如果AC＝1，那么曲线CDEF和线段CF围成图的面积为(　　)
图
A.π
B.π
C.
D.
6.
2019·宁波
如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6
cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为(　　)
A．3.5
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
7.
如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6
cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为(　　)
A．3.5
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
8.
2017·衢州
运用图变化的方法研究下列问题：如图AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图阴影部分的面积是(　　)
图A.π
B．10π
C．24＋4π
D．24＋5π
二、填空题（本大题共8道小题）
9.
(2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O中，圆心角，则阴影部分面积为________．
10.
如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．
　　　　　　
11.
（2020·吉林）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，若，，则的长为_______（结果保留）．
12.
如图，已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．
　
13.
（2020·新疆）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．
14.
一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．
15.
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2.若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)
16.
(2020·潍坊)如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为；
的圆心为点B，半径为；
的圆心为点C，半径为；
圆心为点D，半径为；…
的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是_________．
三、解答题（本大题共4道小题）
17.
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交半圆O于点E，连接CE.
(1)判断CD与半圆O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若E是的中点，半圆O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
18.
如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π
m2，高为6
m，外围高为2
m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)
19.
如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．
(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.
(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．
(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．
(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；
②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．
20.
如图，PB切⊙O于点B，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，AF，BF.
(1)若∠AOF＝120°，⊙O的半径为3，
求：①∠CBF的度数；
②的长；
③阴影部分的面积．
(2)若AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
(3)求证：直线PA为⊙O的切线．
(4)若BC＝6，AD∶FD＝1∶2，求⊙O的半径．
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九年级数学
24.4
弧长和扇形面积
培优训练-答案
一、选择题（本大题共8道小题）
1.
【答案】A
2.
【答案】B　[解析]
设母线长为R，底面圆的半径为r，则底面圆的周长＝2πr，底面积＝πr2，侧面积＝πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝2r.设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则＝2πr，∴＝πR，∴n＝180.故选B.
3.
【答案】A　[解析]
由题意可知∠BOC＝2∠A＝45°×2＝90°.∵S阴影＝S扇形OBC－S△OBC，S扇形OBC＝S圆＝π×42＝4π，S△OBC＝×42＝8，所以阴影部分的面积为4π－8.故选A.
4.
【答案】B
【解析】先求出AC、AB，再根据S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－
S扇形DAB′求解即可．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2，∴AB＝＝；由旋转得，∴AB＝A′B′＝，BC＝B′C′＝1，∠CAC′＝90°，∴∠CAB′＝60°，∴S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－
S扇形DAB′＝－××1－＝．
5.
【答案】C　[解析]
曲线CDEF和线段CF围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC组成的，所以根据面积公式可得
＋×1×1＝.
6.
【答案】B
7.
【答案】B　[解析]
的长＝·2π·AB，右侧圆的周长为π·DE.
∵裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，
∴·2π·AB＝π·DE，∴AB＝2DE，
即AE＝2DE.
∵AE＋DE＝AD＝6，∴AB＝4.故选B.
8.
【答案】A　[解析]
如图作直径CG，连接OD，OE，OF，DG.
∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG＝90°，则DG＝＝8.
又∵EF＝8，∴DG＝EF，
∴＝，
∴S扇形ODG＝S扇形OEF.
∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，
∴S阴影＝S扇形OCD＋S扇形OEF＝S扇形OCD＋S扇形ODG＝S半圆＝π×52＝π.
二、填空题（本大题共8道小题）
9.
【答案】
【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．
阴影部分面积为，
故答案为：．
10.
【答案】3π　【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°
，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S扇形OAB＝＝3π.
11.
【答案】
【解析】由题意知：，，
∴ABC和ADC是等腰三角形，AC⊥BD．
∵，
∴OD=，OA=
∴OB=．
∵∠ABD=，
∴∠EBF=，
=
．
故答案为．
12.
【答案】2π　[解析]
设扇形的半径是R，
则＝6π，解得R＝6(负值已舍去)．
设扇形的弧长是l，则lR＝6π，即3l＝6π，
解得l＝2π.故答案为2π.
13.
【答案】
【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥AC于点D．∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，所以△OAB≌△OAC，所以∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝×60°＝30°．在Rt△OAD中，因为∠OAC＝30°，OA＝2，所以OD＝1，AD＝．因为OD⊥AC，所以AC＝2AD＝．所以＝×π×＝π．设此圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝π，解得r＝，因此本题答案为．
14.
【答案】12π
15.
【答案】8
π　[解析]
过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2
，
∴AB＝AC＝4，∴CD＝2.
以CD为半径的圆的周长是4π.
故Rt△ABC绕直线AB旋转一周所得几何体的表面积是2××4π×2
＝8
π.
16.
【答案】【解析】本题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，
，，……，
，，
故的半径为，
的弧长=．
三、解答题（本大题共4道小题）
17.
【答案】
解：(1)CD与半圆O相切．
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵OC为半圆O的半径，
∴CD与半圆O相切．
(2)连接OE.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，∴＝.
又∵E是的中点，
∴＝＝，S弓形AE＝S弓形CE，
∴∠BOC＝∠EOC＝60°.
又∵OE＝OC，∴△OEC是等边三角形，
∴∠ECO＝60°，CE＝OC＝1.
由(1)得OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝，DC＝，
∴S阴影＝S△DEC＝××＝.
18.
【答案】
解：∵蒙古包的底面积为9π
m2，高为6
m，外围(圆柱)高为2
m，
∴底面圆的半径为3
m，圆锥的高为6－2＝4(m)，
∴圆锥的母线长为5
m，
∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m2)，
圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，
圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m2)．
故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m2)．
19.
【答案】
解：(1)如图
(2)πa　πa　10πa
(3)
(4)①πa　②πa
20.
【答案】
解：(1)①∵∠AOF＝120°，
∴∠ABF＝60°.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝30°.
②连接OB.
∵∠AOF＝120°，
∴∠AOE＝60°.
∵EF⊥AB于点D，∴＝，
∴∠AOE＝∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，
∴＝＝2π.
③∵∠AOE＝60°，EF⊥AB于点D，
∴∠OAB＝30°.
∵AC＝6，∴BC＝3，∴AB＝3
.
∵OA＝3，∴OD＝，
∴S△AOB＝AB·OD＝×3
×＝
.
∵S扇形OAB＝π×32＝3π，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAB－S△AOB＝3π－
.
(2)∵EF⊥AB于点D，∴AD＝BD＝4.
设OA＝x，则OD＝OE－DE＝x－2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，
∴⊙O的半径为5.
(3)证明：连接OB.
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.
∵EF⊥AB于点D，∴＝，
∴∠AOP＝∠BOP.
又∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
(4)∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴OD＝BC＝3.
设AD＝y.∵AD∶FD＝1∶2，
∴FD＝2y，∴OA＝OF＝FD－OD＝2y－3.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即(2y－3)2＝y2＋32.
解得y1＝4，y2＝0(不合题意，舍去)．
∴OA＝2y－3＝5，即⊙O的半径为5.