苏科版九年级下册《5.2二次函数的图象与性质》强化提优检测 （四）（Word版 含答案）

苏科版九年级下《5.2二次函数的图象与性质》强化提优检测
（四）
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
（时间：90分钟
满分：120分）
一．选择题（共8题；共24分）
1．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是(　　)
A．0，－4　
B．0，－3　
C.－3，－4　
D．0，0
2．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(　　)
A．函数图像与y轴的交点坐标为(0，1)
B．函数图像的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
3．如图抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是(　　)
A．－3＜P＜－1
B．－6＜P＜0
C．－3＜P＜0
D．－6＜P＜－3
第3题图
第4题图
4.如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
)
5.将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的表达式为(
)
A.y＝(x＋1)2－13　　
B.y＝(x－5)2－3
C.y＝(x－5)2－13　
D.y＝(x＋1)2－3
6.二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(
)
A.－3
B.－1
C.2
D.3
x
－1
0
1
2
3
y
5
1
－1
－1
1
7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为(
)
A.y轴
B.直线x＝
C.直线x＝2
D.直线x＝
8..已知二次函数y＝ax2－bx－2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，则a－b的取值范围为(
)
A.－2＜a－b＜2
B.－2≤a－b≤2
C.－2＜a－b＜1
D.0＜a－b＜2
二、填空题（共8题；共24分）
9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线___________.
10.已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________.
11.当1≤x≤6时，函数y=a(x﹣4)2+2﹣9a(a＞0)的最大值是______．
12.抛物线y=ax
2
+bx+c的形状与y=2x
2
-4x-1相同，对称轴平行于y轴，且x=2时，y有最大值-5，该抛物线关系式为____________.
：
两个抛物线形状相同，二次系数相同或互为相反数.这里a=-2，又对称轴为x=2，y有最大值-5，即抛物线y=ax
2
+bx+c与y=2x
2
-4x-1
13.如图点A，B的坐标分别为(1,
4)，(4,
4)，抛物线y＝a(x＋m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标的最小值为－3，则点D的横坐标的最大值为__________．
第13题图
第15题图
第16题图
14
某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．
15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
16.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－，y1)，(－，y2)，(，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)
解答题（共9题；共72分）
17.二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点(1，﹣2).
(1)求二次函数图象的对称轴；
(2)当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围.
18.
如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
19.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
20.
如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出B、C两点的坐标；
(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)
21.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)．
(1)请你直接写出O，A，M三点的坐标；
(2)一艘小船上平放着一些宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米(最底层木板与水面在同一平面，不考虑船的高度)?
22.已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.
(1)求出该函数图象的顶点坐标、对称轴，并在下面的网格中画出这个函数的大致图象；
(2)利用函数图象回答：
①当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
②当x在什么范围内时，y＞0?
23.如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式.
24.如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3].
(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标；
(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求平移后函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
教师样卷
一．选择题（共8题；共24分）
1．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是(　　)
A．0，－4　
B．0，－3　
C.－3，－4　
D．0，0
【答案】A　【解析】抛物线的对称轴是直线x＝1，且抛物线开口向上，则在0≤x≤3的范围内，当x＝1时，y＝1－2－3＝－4，是最小值；当x＝3时，y＝9－6－3＝0，是最大值．故选A.
2．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(　　)
A．函数图像与y轴的交点坐标为(0，1)
B．函数图像的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
【答案】
D　【解析】y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3.当x＝0时，y＝－1，所以图像与y轴的交点坐标为(0，－1)，故选项A错误；图像的对称轴是直线x＝－1，在y轴的左侧，故选项B错误；因为抛物线的对称轴是直线x＝－1，开口向上，所以当x<－1时，y的值随x的增大而减小，故选项C错误；二次函数y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是(－1，－3)，所以当x＝－1时，y的最小值为－3，故选项D正确．
3．如图抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是(　　)
A．－3＜P＜－1
B．－6＜P＜0
C．－3＜P＜0
D．－6＜P＜－3
【答案】B　【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a－b＋c，－3＝c，∴b＝a－3，∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.∵抛物线的顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴－6＜2a－6＜0，即－6＜P＜0.故选B.
第3题图
第4题图
4.如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
)
【答案】B
5.将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的表达式为(
)
A.y＝(x＋1)2－13　　
B.y＝(x－5)2－3
C.y＝(x－5)2－13　
D.y＝(x＋1)2－3
【答案】D
6.二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(
)
A.－3
B.－1
C.2
D.3
【答案】D
x
－1
0
1
2
3
y
5
1
－1
－1
1
7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为(
)
A.y轴
B.直线x＝
C.直线x＝2
D.直线x＝
【答案】D
8..已知二次函数y＝ax2－bx－2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，则a－b的取值范围为(
)
A.－2＜a－b＜2
B.－2≤a－b≤2
C.－2＜a－b＜1
D.0＜a－b＜2
【答案】A
二、填空题（共8题；共24分）
9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线___________.
【答案】x＝－1
10.已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________.
【答案】：(1，4)；
11.当1≤x≤6时，函数y=a(x﹣4)2+2﹣9a(a＞0)的最大值是______．
【答案】：2．
12.抛物线y=ax
2
+bx+c的形状与y=2x
2
-4x-1相同，对称轴平行于y轴，且x=2时，y有最大值-5，该抛物线关系式为____________.
：
两个抛物线形状相同，二次系数相同或互为相反数.这里a=-2，又对称轴为x=2，y有最大值-5，即抛物线y=ax
2
+bx+c与y=2x
2
-4x-1【答案】：y=-2(x-2)
2
-5【解析】形状相同，
∴a=±2.
又∵二次函数有最大值，∴a=-2.
∴y=-2(x-2)
2
-5=-2(x
2
-4x+4)-5=-2x
2
+8x-13.故解析式为y=-2(x-2)
2
-5.
13.如图点A，B的坐标分别为(1,
4)，(4,
4)，抛物线y＝a(x＋m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标的最小值为－3，则点D的横坐标的最大值为__________．
【答案】　8
【解析】
根据题意，抛物线y＝a(x＋m)2＋n的顶点为A(1，4)，经过点C(－3，0)的表达式为y＝－(x－1)2＋4，此时点D的坐标为(5，0)．当点D的横坐标最大时，即抛物线的顶点坐标为B(4，4)，此时抛物线y＝－(x－1)2＋4向右平移3个单位长度，故点D的横坐标的最大值为8.
第13题图
第15题图
第16题图
14
某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．
【答案】y＝7x2＋28x＋33　
【解析】设该抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k.
∵该抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，∴a＝7.
又∵其顶点坐标为(－2，5)，
∴它的解析式为y＝7(x＋2)2＋5，整理，得y＝7x2＋28x＋33.
15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
【答案】③④　[解析]
∵抛物线开口向上，∴a＞0.又∵对称轴为直线x＝－＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴结论②不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；
∵＝－2，c＝－1，∴b2＝4a，∴结论④正确．综上，正确的结论是③④.
16.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－，y1)，(－，y2)，(，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)
【答案】②④　[解析]
(1)当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0.由x＝－＜和a＞0可得－b＜a.∴0＜a－b＋c＜a＋a＋c＝2a＋c，即2a＋c＞0，①错误；
(2)结合图象易知②正确；
(3)方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，即ax2＋bx＋c＝c－k有实数解．∵y＝ax2＋bx＋c≥n，∴c－k≥n，即k≤c－n，③错误；
(4)设抛物线的解析式为y＝－(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－(x－m)2＋n＝0.
∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.
∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．
解答题（共9题；共72分）
17.二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点(1，﹣2).
(1)求二次函数图象的对称轴；
(2)当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围.
解：(1)把点(1，﹣2)代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，
所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，
(2)∵y=x2+2x﹣5=(x+1)2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3.
18.
如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个交点，∴b2－4ac＝(2a)2－4a＝0，解得a＝1，a＝0(舍去)，∴抛物线的解析式：y＝x2＋2x＋1.
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵抛物线解析式y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴A(－1，0)，(4分)过点B作BD⊥x轴于点D，如解图，∵OC⊥x轴，
∴OC∥BD，∵C是AB中点，∴O是AD中点，∴AO＝OD＝1，∴点B的横坐标为1，把x＝1代入抛物线中，得y＝(x＋1)2＝(1＋1)2＝4，∴B的坐标为(1，4)．把点A(－1，0)
，B(1，4)代入y＝kx＋b，
得，解得，∴直线AB的解析式为：
y＝2x＋2.(8分)
19.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：根据题意，得y＝|ax2＋bx＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k＞3.
20.
如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出B、C两点的坐标；
(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)
解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x＝2，
得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5.
(利用抛物线对称性先求出点B的坐标，再求出解析式也可)
(2)B(5，0)，C(0，－5)．(3)如解图，连接BC，易知△OBC是直角三角形，∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，由勾股定理得BC＝＝5，∴所以所求圆的面积是π×()2＝π.
21.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)．
(1)请你直接写出O，A，M三点的坐标；
(2)一艘小船上平放着一些宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米(最底层木板与水面在同一平面，不考虑船的高度)?
解：(1)O(0，0)，A(6，0)，M(3，3)．
设抛物线的函数解析式为y＝a(x－3)2＋3.因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a(0－3)2＋3，解得a＝－，所以y＝－(x－3)2＋3.要使木板堆放最高，根据题意，得点B应是木板宽CD的中点(如图所示)，把x＝2代入y＝－(x－3)2＋3，得y＝，所以这些木板最高可堆放米．
22.已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.
(1)求出该函数图象的顶点坐标、对称轴，并在下面的网格中画出这个函数的大致图象；
(2)利用函数图象回答：
①当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
②当x在什么范围内时，y＞0?
解：(1)∵a＝－2，b＝4，c＝6，
∴－＝－＝1，
＝＝8.
∴顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x＝1.
图象如图.
(2)由图象可知：
①当x≤1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小.
②当－1＜x＜3时，y＞0.
23.如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式.
解：(1)把点C(5，4)代入y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4.解得a＝1.∴二次函数的表达式为y＝x2－5x＋4.∵y＝x2－5x＋4＝(x－)2－，∴顶点P的坐标为(，－).
(2)(答案不唯一，合理即可)如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数表达式为y＝(x－＋3)2－＋4＝(x＋)2＋，即y＝x2＋x＋2.
24.如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3].
(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标；
(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求平移后函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
解：(1)由题意，得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.
∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0).
①特征数为[4，－1]的函数表达式为y＝x2＋4x－1，即y＝(x＋2)2－5.∵函数图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3.
∴平移后函数的特征数为[2，－3].
②特征数为[2，3]的函数表达式为y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2，特征数为[3，4]的函数表达式为y＝x2＋3x＋4，即y＝(x＋)2＋，∴所求平移为：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度.