人教版九年级数学上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》 同步练习卷（word解析版）

24.1.2 垂直于弦的直径
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣k+2与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（
A． B．2 C．5 D．4
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
4．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．50m B．45m C．40m D．60m
5．下列语句中不正确的有（　　）
①长度相等的弧是等弧；
②垂直于弦的直径平分弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧；
⑤弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm．
A．6 B． C． D．
8．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，MO交圆于E，EM＝6，则圆的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．
10．如图，⊙O的直径AB＝20，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE：AE＝1：4，则CD的长为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
11．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，⊙O中，AC＝6，BD＝4，AB⊥CD于E点，∠CDB＝30°，则⊙O的半径为（　　）
A． B．5 C． D．
13．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的直径是（　　）
A．cm B．5cm C．6cm D．10cm
二．填空题
14．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝6，则AB＝　 　．
15．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为　 　．
16．如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为　 　．
17．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是　 　cm．
三．解答题
18．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
19．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
20．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵y＝kx﹣k+2，
∴（x﹣1）k＝y﹣2，
∴k为任意数，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，解得x＝1，y＝2，
∴直线y＝kx﹣k+2经过定点P（1，2），
连接OP，过P点作弦BC⊥OP，连接OB，如图，
则此时弦BC的长最小，
∵以原点O为圆心的圆过点A（5，0），
∴⊙O的半径为5，
∵OP＝＝，
∴BP＝＝2，
∵BC⊥OP，
∴PB＝PC，
∴BC＝2BP＝4，
即弦BC的长的最小值为4．
故选：D．
2．解：连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），
∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
3．解：连接OB，如图所示：
设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4（cm），
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2+42＝r2
解得：r＝5，
∴AC＝10（cm），EC＝AC﹣AE＝8（cm），
∴BC＝＝＝4（cm），
∵OF⊥BC，
∴CF＝BF＝BC＝2（cm），
∴OF＝＝＝（cm），
∴△OFC的面积＝CF×OF＝×2×＝5（cm2），
故选：D．
4．解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200，
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
5．解：①∵能够完全重合的弧是等弧，
∴①不正确；
②∵垂直于弦的直径平分弦，
∴②正确；
③∵圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，
∴③不正确；
④∵平分弦（不是直径）的直径也必平分弦所对的两条弧，
∴④不正确
⑤∵弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心，
∴⑤正确；
不正确的个数有3个，
故选：C．
6．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝＝＝5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
7．解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，连接OA，则CD＝2，AC＝BC，
∵OA＝OD＝4，CD＝2，
∴OC＝2，
∴AC＝＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：C．
8．解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，
∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥OC，
∴CD＝，
而OD为定值，OC最小时，CD最大，
∴当OC＝OH时，CD的值最大，
∴CD的最大值为4．
故选：B．
9．解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
设圆的半径是x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故选：D．
10．解：连接OC，
∵直径AB＝20，BE：AE＝1：4，
∴OC＝10，BE＝4，
则OE＝OB﹣BE＝6，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∴CE＝＝＝8，
∴CD＝16，
故选：C．
11．解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．
故选：B．
12．解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴OM＝EN，ON＝EM，
在Rt△ACE中，∵AC＝6，∠A＝∠CDB＝30°，
∴CE＝AC＝3，AE＝3，
在Rt△DEB中，∵BD＝4，∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝2，DE＝2，
∴CD＝3+2，AB＝2+3，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝BM＝，CN＝DN＝，
∴EM＝ON＝，
∴OD＝＝＝．
故选：C．
13．解：∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，
∴线段MN的就是该圆的直径，
∵OM＝8cm，ON＝6cm，∠MON＝90°，
∴MN＝10cm，
故选：D．
二．填空题
14．解：∵CE＝2，DE＝6，
∴CD＝DE+CE＝8，
∴OD＝OB＝OC＝4，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∴AB＝2BE＝4，
故答案为：4．
15．解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值为．
故答案为．
16．解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵OD＝DC，
∴OD＝OA＝，
∴AD＝＝，AB＝2AD＝．
当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．
∴△APB的面积的最大值为＝＝．
故答案为：．
17．解：连接AB，
∵BD⊥AO，
∴BE＝ED＝BD＝4，
由勾股定理得，AB＝＝2，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，又CO＝OA，
∴OF＝AB＝（cm），
故答案为：．
三．解答题
18．解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，
∵DB＝10，
∴OD＝5，
∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，
在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝4，
即圆心O到AP的距离为4cm；
（2）连接OF，如图，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝3，
∴EF＝2HF＝6（cm）．
19．解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
20．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴AC为直径．
∴∠ADC＝90°．
∵AE＝DE，DE⊥AB，
∴∠DAB＝∠ADE＝45°．
∴∠BCF＝∠DAB＝45°．
∴BC＝BF＝3．
在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，
∴EF＝ED＝1．
∴AB＝5．
∴AC＝＝．
∴⊙O半径的长．