函数的奇偶性

函数的奇偶性
【知识要点】
1．相关定义： 一般地，如果对于函数的定义域的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数.
如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数是奇偶性.
2．函数的奇偶性的判定方法.
①定义法：若函数的定义域不是关于原点对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断是否等于，或判断是否等于零，或判断是否等于等等.
步骤：第一步：考查函数的定义域是否关于原点对称；若定义域关于原点对称，则判断是否成立；
第二步：① 若，则为奇函数；
② 若，则为偶函数；
③ 若且，则既是奇函数又是偶函数.（只有一类，即=0，，D关于原点对称）
②图象法：奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（或轴）对称.
③性质法：
3．重要性质.
（1）奇函数在上有相同的单调性.
（2）偶函数在上有相反的单调性.
【典型例题】
例1．判断下列函数是否具有奇偶性.
（1）； （2）
例2．证明，是奇函数.
例3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
例4．已知是奇函数，且当时，，求时，的表达式.
例5．已知是偶函数，其定义域为，当时，为增函数，则的大小关系为（ ）
A． B.
C． D.
例6．函数，，若对于任意实数都有，求证：为奇函数；
例7(*)．设函数对于任意，都有.且时，.
（1）求证：是奇函数；
（2）试问在时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由.
课堂练习及课后训练
1．判断下列函数的奇偶性.
（1）； （2）
（3） （4）
2．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
3．设函数为奇函数，，则
A．0 B.1 C. D.5
4．设是上的奇函数，，当时，，则______
5．函数是定义在上的奇函数，且；
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明上增函数；
（3）解不等式
6（*）．设为偶函数，为奇函数，且，求函数 的解析式.
7（*）．设上是偶函数，在区间上递增，且有.求的取值范围.
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