初中数学湘教版九年级下册第一章1.4二次函数与一元二次方程的联系练习题（Word版 含解析）

初中数学湘教版九年级下册第一章1.4二次函数与一元二次方程的联系练习题
一、选择题
已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，有下列5个结论：；；；；方程有两个相等的实数根．其中正确的有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴是
A.
1
B.
直线
C.
2
D.
直线
已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
x
0
2
3
4
y
5
0
0
下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；若，是抛物线上两点，则，其中正确的个数是
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是
A.
B.
C.
且
D.
已知二次函数为常数的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大值为
A.
B.
7
C.
D.
10
根据下列表格中的对应值，判断a、b、c为常数与x轴的交点的横坐标的取值范围是
x
A.
B.
C.
D.
已知抛物线与x轴的两个交点在两旁，则关于x的方程的根的情况是
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
有实数根
D.
无实数根
二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：；；若方程有两个根和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为其中正确的结论有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
二次函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是
A.
B.
且?
C.
D.
?且?
二、填空题
已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．
二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根是______．
如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______．
若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是______．
若y关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为______．
三、解答题
已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，此抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D．
求此抛物线的解析式．
若点M为抛物线上一动点，是否存在点使与的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
已知二次函数与x轴交于AB两点在B左侧，与y轴正半轴交于点C．
当时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
若，求点C的坐标；
在的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使的面积为15，求P点的坐标．
如图，直线与两坐标轴交于A、B两点，抛物线过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C，点D是抛物线的顶点．
求A、B两点的坐标；
求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标．
在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数的图象过点，．
求这个二次函数的表达式；
求当时，y的最大值与最小值的差；
一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由图象可知：，，
，
，
，故错误；
抛物线的对称轴为，
关于直线的对称点为，
关于直线的对称点为
，，故正确；
抛物线与x轴有两个交点，
，故正确；
由对称轴可知：，
，故错误；
由图象可知：时，
此时只有一解，
方程有两个相同的根，故正确；
故选：C．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
2.【答案】B
【解析】解：抛物线与x轴的交点为，，
两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线，即．
故选：B．
因为点，的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线．
3.【答案】B
【解析】解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，所以正确；
抛物线的对称性为直线，所以正确；
抛物线与x轴的交点坐标为，，
当时，，所以错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以正确；
若，是抛物线上两点，则或，所以错误．
故选：B．
先利用交点式求出抛物线解析式，则可对进行判断；利用抛物线的对称性可对进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为，可对进行判断；根据二次函数的增减性可对进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得：，
解得：．
故选：C．
根据抛物线与x轴的交点问题得到，，然后解不等式即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，决定抛物线与x轴的交点个数；时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
5.【答案】D
【解析】解：二次函数为常数的图象与x轴有交点，
解得：；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而减小，
，
实数a的取值范围是．
故选：D．
根据图象与x轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
先根据抛物线的开口向上可知，由顶点纵坐标为得出b与a关系，再根据一元二次方程有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】方法一：解：抛物线的开口向上，顶点纵坐标为，
．
，即，
一元二次方程有实数根，
，即，解得，
的最大值为7，
方法二：解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点，
由图象得，，解得，
的最大值为7，
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：时，；时，，
抛物线与x轴的一个交点在点与点之间．
故选：C．
利用和对应的函数值一负一正，从而可判断函数值为对应的自变量的范围．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
根据抛物线与x轴的两个交点在两旁，可知当时，，从而可以求得m的取值范围，即可判断方程中的正负情况，从而可以判断根的情况，本题得以解决．
【解答】解：抛物线与x轴的两个交点在两旁，
当时，，得，
方程，
，
即方程无实数根，
故选：D．
9.【答案】B
【解析】解：抛物线的顶点坐标，
，，
，，
抛物线的解析式为，
，故正确，
，故错误，
抛物线交x轴于，，
若方程有两个根和，且，则，正确，故正确，
若方程有四个根，设方程的两根分别为，，则，可得，
设方程的两根分别为，，则，可得，
所以这四个根的和为，故错误，
故选：B．
根据二次函数的性质一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】D
【解析】解：为二次函数，
，
二次函数的图象与x轴有公共点，
，解得，
综上所述，k的取值范围是且．
故选：D．
先根据二次函数的定义得到，再根据抛物线与x轴的交点问题得到，然后解不等式即可得到k的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数b，c是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】2019
【解析】解：抛物线与x轴的一个交点为，
，
，
．
故答案为2019．
先把交点坐标代入抛物线解析式得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
12.【答案】
【解析】解：由图象可知，
当时，，即时，，
一元二次方程的根是，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式可知，当时，，从而可得到一元二次方程的根，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】或
【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
的解集是或，
的解集是或，
故答案为：或．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决．
本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】1
【解析】解：二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
，且，
解得．
故答案是：1．
，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
此题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数是二次函数，则二次项系数不等于零．
15.【答案】0或或
【解析】解：关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，
可分如下三种情况：
当函数为一次函数时，有，
，此时，与坐标轴有两个交点；
当函数为二次函数时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，
函数与x轴有一个交点，
，
，
解得；
函数为二次函数时，与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，
，
．
当，此时，与坐标轴有两个交点．
故答案为0或或．
由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：函数为一次函数时；函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；函数为二次函数，与y轴的交点也在x轴上，即图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a的值．
此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
16.【答案】解：直线，
当时，，当时，，
直线与坐标轴的两个交点A，B，
点A的坐标为，点B的坐标为，
抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，B，
，得，
即抛物线的解析式为；
存在点使与的面积相等．
抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，
点C的坐标为，点D的坐标为，
与的面积相等，点B的坐标为，
点M的纵坐标是3或，
当点M的纵坐标为3时，，得，，
则点M的坐标为；
当点M的纵坐标为时，，得，，
则点M的坐标为或；
由上可得，点M的坐标为、或．
【解析】根据抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A，B，可以先求的点A和点B的坐标，然后即可求得该抛物线的解析式；
先判断是否存在点M，然后根据题意和图形即可得到点M的坐标，本题得以解决．
本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
17.【答案】解：，
，
当时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
令，
解得，，
二次函数与x轴交于AB两点在B左侧，与y轴正半轴交于点C，
，，，
，
，
解得，
二次函数，
当时，，
点C的坐标为；
设P点的坐标为，
P在y轴左边，则
，
解得，舍去．
P在y轴右边，则
，
解得舍去，舍去．
故P点的坐标为．
【解析】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标．
当时，先得出判别式大于零，再判断出这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．
根据抛物线，求出和的值，结合已知可求m，得到二次函数即可求出C点坐标．
可设P点的坐标为，根据的面积为15，分P在y轴左边或右边两种情况讨论，列出方程可求P点的坐标．
18.【答案】解：直线与两坐标轴交于A、B两点，
当时，，当时，，
点A的坐标为，点B的坐标为；
抛物线过A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为，
，得，
该抛物线的解析式为，
，
该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
【解析】根据直线与两坐标轴交于A、B两点，可以求得点A和点B的坐标；
根据中的结果和抛物线过A、B两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴和顶点坐标．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
19.【答案】解：由二次函数的图象经过和两点，
，解得，
此二次函数的表达式；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
在范围内，当时，函数有最大值为：；当时函数有最小值：，
最大值与最小值的差为：；
与二次函数图象交点的横坐标为a和b，
，整理得
，
当时，，
把代入，解得，
的取值范围为．
【解析】由二次函数的图象经过和两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当时，函数有最大值4；当时函数有最小值，进而求得它们的差；
由题意得，整理得，因为，，，把代入，解得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
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