初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题（Word版 含解析）

初中数学湘教版九年级上册第四章4.3解直角三角形练习题
一、选择题
如图，中，，点D在AC上，若，，则BD的长度为
A.
B.
C.
D.
4
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为
A.
B.
C.
D.
如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则
A.
B.
C.
D.
如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是
A.
12
B.
18
C.
24
D.
36
如图在中，，过点C作，垂足为点D，过D作交AC于点E，若，，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
在正方形网格中，小正方形的边长均为1，如图放置，则的值为
A.
B.
C.
D.
1
如图，已知A、B两点的坐标分别为、，点C、F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是
A.
B.
C.
D.
已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为，设圆锥的母线与高的夹角为，则的值为
A.
B.
C.
D.
在锐角等腰中，，，则cosC的值是
A.
B.
2
C.
D.
二、填空题
在中，，，，则的度数为______．
如图，在中，，，，则______．
已知中，，，，则的面积等于______．
如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，，交边CD于点F，联结CE、BF，如果，那么CE：______．
如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是______．
三、解答题
如图，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且．
求证：∽；
若，，，求．
如图，在中，为钝角，，，，求tanC和BC的长．
如图，在中，，，的平分线BD交AC于点D，，求AB的长？
如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A，B，C三点．
求抛物线的解析式；
点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：C．
在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得BD．
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
2.【答案】D
【解析】解：如图所示，连接格点C、D，则
在中，
故选：D．
构造直角三角形，根据正切函数的定义得结论．
本题考查了三角函数的定义．连接格点构造直角三角形是解决本题的关键．在直角三角形中，锐角的正切．
3.【答案】B
【解析】【试题解析】
解：如图，作于D，
由勾股定理得，，，
，
，
．
故选：B．
作于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：，，，
．
由题意可知，
，
．
故
故选：B．
由于，那么也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；中，已知斜边AB及的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：中，，过点C作，
，，
，，
，，
，
故选：A．
由等腰三角形三线合一的性质得出，，由，知，，再根据正弦函数的概念求解可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质及直角三角形的性质等知识点．
6.【答案】D
【解析】解：在中，，
，，，
，，；
故选：D．
由三角函数定义得出，，，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形以及三角函数定义；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：作于D，如图所示：
由勾股定理得：，，
的面积，
，
解得：，
；
故选：B．
作于D，由勾股定理得出，，由的面积求出，由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设直线交x轴于由题意，
点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
当直线AD与相切时，的面积最小，
是切线，点D是切点，
，
，，
，
，
，
，
，
作于H．
，
，
，
，
故选：B．
如图，设直线交x轴于由题意，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与相切时，的面积最小，作于求出EH，AH即可解决问题．
本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】C
【解析】解：设圆锥的母线长为R，由题意得，
解得．
，
故选：C．
圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的母线长．根据正弦函数定义求解．
本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对比与斜边之比．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过B作于D，
，
设，，
，
，
，
，
，
故选：D．
如图，过B作于D，设，，根据勾股定理得到，，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
11.【答案】或
【解析】解：作于D，分两种情况：
是锐角时，如图1所示：
，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：，
，
，
；
是钝角时，如图2所示：
同得：，
；
综上所述，的度数为或；
故答案为：或．
作于D，分两种情况：三角函数和勾股定理得出，求出，得出；
同得出，得出；即可得出答案．
本题考查了解直角三角形、勾股定理；熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过点C作于D．
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
过点C作于D，解直角得出，再解直角，得出，从而得出AB即可．
本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】解：作交或BC延长线于点D，
如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在中，，，
，，
在中，，
，
则，
；
如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由知，，，
则，
．
综上，的面积是或，
故答案为或．
作交或BC延长线于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在中求得AD、BD的值，再在中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
14.【答案】4：5
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
首先证明B，C，F，E四点共圆，推出，推出∽，可得，再证明，推出，设，，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，C，F，E四点共圆，
，
，
∽，
，
，，
，
，
设，，
，
，
故答案为4：5．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接AB．
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为．
如图，连接证明是等腰直角三角形即可解决问题．
本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】证明：平行四边形ABCD中，，，
，，
，，
，
∽；
解：四边形ABCD为平行四边形，
，，
，
∽，
，即，
，
在中，，
，
．
【解析】易证和，即可证明∽．
根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据∽可得，即可求得DE的长，根据勾股定理可以求得AE的长，根据即可解题．
本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形对边平行且相等的性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明∽，学会转化的思想，属于中考常考题型．
17.【答案】解：过点A作于D，如图所示：
在中，，，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
【解析】过点A作于D，在中，由，求出，在中，由勾股定理得出，则，在中，由勾股定理得出，即可得出BC的长．
本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识；作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
18.【答案】解：在中，，，
，
，
是的平分线，
，
又，
，
在中，，，
．
答：AB的长为6．
【解析】根据，，可求出，，再根据BD是的平分线，求出，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，是正确解答的关键．
19.【答案】解：由，当时，；当时，，
，，
，
，
，
把，代入抛物线中，得
，解得，
抛物线的解析式为；
点P在二次函数图象上且横坐标为m，
，
过P作轴，交BC于F，则，
，
于点D，
在中，，
，
轴，
，
，
，，
当时，PD最大，最大值为．
【解析】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．
由直线得出，，即可得出，将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；
已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在中，，根据平行线的性质得出，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．
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