江阴市山观高级中学高二12月质量调研word版含解析

江阴市山观高级中学高二12月质量调研
高二数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.
1.
当时，的最小值为（
）
A.
2
B.
C.
4
D.
8
2.
如图所示，在平行六面体中，为与的交点．
若，则下列向量中与相等的是
(
)
　　
B.
C．
D.
3.
谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数，，，…，的和是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
“”是“椭圆焦距为4”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
5.
已知不等式的解集为，则（
）
A.
B.
C.
D.
6.
已知点在抛物线上，若点A到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于（
）
A.
B.
C.
D.
7.
设，是椭圆C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（
）
A.
3
B.
6
C.
D.
8.
“猜想”又称“角谷猜想”“克拉茨猜想”“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到1.已知正整数数列满足上述变换规则，即：.若，则（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
16
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
9.
以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（
）
A.
B.
C.
D.
10.
十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若、、，则下列命题正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，，则
11.
已知直线l过点，平行于向量，直线l在平面内，且平面过点，则平面的法向量可能是（
）
A．(1，－4，2)
B．
C．
D．(0，－1，-1)
12.
对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”下列叙述正确的有（
）
A.
若数列单调递增，则数列单调递增
B.
若数列常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C.
若，则数列没有最小值
D.
若，则数列有最大值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.
若“，”是假命题，则实数的取值范围是________.
14.
设为等差数列的前n项和，已知，，则________.
15.已知，，且，则的最小值为________.
16.
我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势“即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，且过点（2，2），则双曲线的渐近线方程为　
　．若直线y＝0与y＝6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为　
　．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.
17.
已知命题p：，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆.
（1）若时，命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18.
焦距为2c的双曲线C：，如果满足“”，则称此双曲线为“等差双曲线”.
（1）若双曲线C是“等差双曲线”，求其渐近线的方程；
（2）对于焦距为10的“等差双曲线”，若过点的直线与其仅有一个公共点，求直线的方程.
19.
一副标准的三角板（如图1）中，ABC为直角，A
=60°，DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）求证：平面ABC平面EMN；
（2）若AC
=
4，二面角E
-
BC-
A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成的角的正弦值．
20.
2020年上半年，新冠肺炎疫情在全球蔓延，超过60个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”.疫情爆发后，造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套72元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万套），同时A公司生产t（万套）防护服需要投入成本（万元）.
（1）当政府的专项补贴至少为多少万元时，A公司生产防护服才能不产生亏损？
（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A公司生产防护服产生的收益最大？
（注：收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本）
21.
在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
22.
已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.
（1）求抛物线及椭圆标准方程；
（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.
①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值.
江阴市山观高级中学高二12月质量调研
高二数学
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
当时，的最小值为（
）C
A.
2
B.
C.
4
D.
8
2.
如图所示，在平行六面体中，为与的交点．
若，则下列向量中与相等的是
(
)
A．　　B.
C．
D.
【解析】，故选D．
3.
谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数，，，…，的和是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据裂项相消法即可求和.
【详解】因为
，
故选：B
4.
“”是“椭圆焦距为4”的（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，
即时，椭圆焦距为4；
若椭圆焦距为4，则，
所以或，
解得或
所以“”是“椭圆焦距为”的充分不必要条件
故选：A
5.
已知不等式的解集为，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由一元二次不等式与一元二次方程的关系，根与系数的关系，即可求解.
【详解】因为的解集为，
所以2,4是方程的根且，
所以，即，
故，，，，
故选：D
6.
已知点在抛物线上，若点A到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可求得的值，进而可得出抛物线的焦点到准线的距离.
【详解】由抛物线的定义可知，点到抛物线焦点的距离为，解得，
因此，抛物线的焦点到准线的距离为.
故选：C.
7.
设，是椭圆C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（
）
A.
3
B.
6
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断是直角三角形，根据椭圆的定义，平方后可直接求得的值，再求面积
【详解】由椭圆方程可知，则，
，，
，平方后，
即，即,
解得：，
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆中焦点三角形的面积问题，本题的关键是判断，涉及和的计算时，不要忽略椭圆的定义.
8.
“猜想”又称“角谷猜想”“克拉茨猜想”“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到1.已知正整数数列满足上述变换规则，即：.若，则（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
16
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正整数经过4次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到的所有可能的取值.
【详解】根据题意，正整数经过4次运算后得到1，
所以正整数经过3次运算后得到2，
经过2次运算后得到4，
经过1次运算后得到8或1(不符合题意，舍去)，
可得正整数的值为16，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9.
以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据条件求抛物线的焦点坐标，再求抛物线的标准方程.
【详解】直线与轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程，与轴的交点坐标是，抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程是.
故选：AC
10.
十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若、、，则下列命题正确的是（
）
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，则
D.
若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
取可判断A选项的正误；利用作差法可判断BCD选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，则，A选项错误；
对于B选项，
，
，，，，则，B选项正确；
对于C选项，，
，则，，则，C选项正确；
对于D选项，，
，，则，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．
11.
已知直线l过点，平行于向量，平面过直线l与点，则平面的法向量可能是（
）
A．(1，－4，2)
B．
C．
D．(0，－1，-1)
AC
12.
对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”下列叙述正确的有（
）
A.
若数列单调递增，则数列单调递增
B.
若数列常数列，数列不是常数列，则数列是周期数列
C.
若，则数列没有最小值
D.
若，则数列有最大值
【答案】BD
三、填空题：本题共4小题.
13.
若“，”是假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知，命题“，”是真命题，可得出，由此可求得实数的取值范围,
【详解】由于命题“，”是假命题，
则该命题的否定“，”是真命题，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
14.
设为等差数列的前n项和，已知，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式、求和公式直接计算即可.
【详解】,
,
，
，
故答案为：
15.已知，，且，则的最小值为________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由条件可知，先求的最小值即可.
【详解】由，，可得，
所以，
当且仅当，即等号成立，
所以，
即的最小值为3，
故答案为：3
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16.
我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势“即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，且过点（2，2），则双曲线的渐近线方程为　y＝±2x　．若直线y＝0与y＝6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为　6π　．
【分析】由题意求得双曲线的方程，求出y＝6在第一象限内与渐近线的交点N已经与双曲线第一象限内交点B的坐标，求出y＝6与y轴交点M，由π|MB|2﹣π|MN|2＝π，根据祖晅原理，求出它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积．
【解答】解：∵双曲线C的离心率e＝＝，∴c＝a；
∴c2＝a2+b2＝5a2，
∴b2＝4a2；
∴双曲线的方程为﹣＝1，过点（2，2），
即﹣＝1，a2＝1，b2＝4，
∴双曲线方程为x2﹣＝1，
则渐近线方程为y＝±2x
y＝6在第一象限内与渐近线y＝2x的交点N的坐标为（3，6），
y＝6与双曲线x2﹣＝1在第一象限交点B的坐标为（，6），
记y＝6与y轴交于点M（0，6），且A（1，0），
∵π|MB|2﹣π|MN|2＝10π﹣9π＝π，
故根据祖暅原理，该图形绕y轴旋转一周所得几何体与底面半径为1高为6的圆柱“幂势相同”，
故它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为6π．
故答案为：y＝±2x，6π．
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
已知命题p：，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆.
（1）若时，命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先求命题为真命题时，求的取值范围，再根据题意转化为，求实数的取值范围；（2）求命题为真命题时的取值范围，再转化为真命题时求的取值范围.
【详解】（1），
解得：
，即不等式的解集是，
由题意可知，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是；
（2）方程表示焦点在轴的椭圆，
，解得：，即，
若p是q的充分不必要条件，
则，
，解得，
实数a的取值范围是
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，
则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是既不充分又不必要条件，
对的集合与对应集合互不包含．
18.
焦距为2c的双曲线C：，如果满足“”，则称此双曲线为“等差双曲线”.
（1）若双曲线C是“等差双曲线”，求其渐近线的方程；
（2）对于焦距为10的“等差双曲线”，若过点的直线与其仅有一个公共点，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）利用双曲线中渐近线的性质，联立方程：，进而可求得渐近线的方程；
（2）根据题意，求出双曲线方程为：，再利用题中条件，得到直线平行于该双曲线的渐近线，进而可求解
【详解】（1），且在双曲线中，有，
联立方程：，得，所以，渐近线方程为：
（2）根据题意得，，得，由（1）得，所以，，
双曲线方程为：，又过点的直线与其仅有一个公共点，
直线平行于该双曲线的渐近线，即直线斜率与渐近线的斜率相等，所以，，
故所求直线为：或
【点睛】关键点睛：解题关键在于由过点的直线与其仅有一个公共点，得到直线平行于该双曲线的渐近线，即直线斜率与渐近线的斜率相等，进而求出直线，属于基础题
19.一副标准的三角板（如图1）中，ABC为直角，A
=60°，DEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）求证：平面ABC平面EMN；
（2）若AC
=
4，二面角E
-
BC-
A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成们的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）只要证明，，即得；
（2）以，，分别为，，，如图建立空间直角坐标系.求出线段长，得各点坐标，求出直线方向向量和平面的一个法向量，由向量夹角的余弦得所求线面角的正弦．
【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点，∴，∵，∴，
∵，，是的中点，∴，又，平面，
平面
∴平面且平面，∴平面平面.
（2）由（1）可知：，，∴为二面角的平面角，
又二面角为直二面角
∴
以，，分别为，，，建立如图空间直角坐标系，
∵，则，，，由，，则，
又，，，则，，
设为平面的一个法向量，则即令，则
∴面ABE的一个法向量.
，所以直线与平面ABE所成的角的正弦值为.
20.
2020年上半年，新冠肺炎疫情在全球蔓延，超过60个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”.疫情爆发后，造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套72元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万套），同时A公司生产t（万套）防护服需要投入成本（万元）.
（1）当政府的专项补贴至少为多少万元时，A公司生产防护服才能不产生亏损？
（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A公司生产防护服产生的收益最大？
（注：收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本）
【答案】（1）当政府的专项补贴至少为万元时，A公司生产防护服才能不产生亏损.
（2）当政府的专项补贴为万元时，A公司生产防护服产生的收益最大.
【解析】
【分析】
（1）由收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本，列出，令，解不等式即可求解.
（2）由（1）中解析式，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可得，因为，
则
，.
令，则，
解不等式可得，因为，
所以，
所以当政府的专项补贴至少为万元时，A公司生产防护服才能不产生亏损.
（2）
，
当且仅当时取等号
当政府的专项补贴为万元时，A公司生产防护服产生的收益最大.
21.
在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）选①，选②：根据相应条件，利用等差数列的性质列出关系，利用等比数列的通项公式化为关于公比的方程，求得公比，进而得到通项公式；选③：取n=1,即可求得公比的值，然后利用通项公式和求和公式检验符合条件,即得以解决.
（2）利用分子分母同乘以分母的互为有理化因式，结合指数运算，将的通项公式裂项，然后相加相消求和即可.
【详解】解：设等比数列公比为，
（1）选①：因为，，成等差数列，
所以，
因为，所以，，，
所以，即.
又，解得，所以.
选②：因为，，成等差数列，
所以，即,化简得，
所以，即，
又，解得，所以
选③：因为，所以，则，所以.
，，经验证符合.
（2）因为，
则
22.
已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.
（1）求抛物线及椭圆标准方程；
（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.
①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值.
【答案】（1）；(2)
①
②
【解析】
【分析】
(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a，c，即可求出椭圆方程；
（2）①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.
【详解】(1)
,
右顶点为，
即抛物线的焦点
,
，
故抛物线方程为，
因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，
所以，
，
，
椭圆的标准方程为：
(2)
①设，代入
消元得：
，
设，
，
，
又，
同理可得
②仍设，
代入椭圆方程消元得：
，
即，
，
，
同理得，
，
（当且仅当
时，等号成立），
令，则
，
,
对于，在
上是增函数，
当时，即时，，
，
面积的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难.