28.2.1 解直角三角形及其应用 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 28.2.1 解直角三角形及其应用 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-13 06:44:09 | ||
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文档简介
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第28章 锐角三角函数
28.2.1 解直角三角形及其应用
选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．60°
2．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
5．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
填空题
6．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是 ．
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝ ．
8．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是 ．
9．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为 ．
10．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为直线AB上的一点，若AD＝2，则tan∠BDC的值为 ．
解答题
11．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的正切值．
12．如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长和△ABC的面积．
13．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝25，AC＝39，sinB＝，求tanC和BC的长．
答案
1．C．2．D．3．B4．B5．B
6．【答案】．【解析】解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝?AK?4＝?AB?KH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
7．【答案】．
【解析】解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：
设BC＝CD＝x，则AB＝x，
∵sinA＝＝，
∴BE＝AB＝x，
∴AE＝＝＝x，
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴BD＝BC＝x，
∴BD＝AB，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝3，
∴x＝3，
解得：x＝，
即BC＝，
故答案为：．
8．【答案】（8，12）．【解析】解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝，
∴cos∠FEA＝，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，
∴FG＝9÷＝15，
∴由勾股定理得：HG＝＝12，
∴F（8，12）．
故答案为：（8，12）．
9．【答案】．【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵AC＝5，
∴AD＝CD＝AC?sin45°＝5×＝5，
∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，
∵tan∠B＝2，
∴tan∠DFC＝2，
∴＝2，
∴DF＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，
∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，
∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，
∴EF＝x＝，
故答案为：．
10．【答案】：或．
【解析】解：作CE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠B＝60°，
∴BE＝BC＝2，CE＝2，
①如图1，点D在AB边上时，
∵AD＝2，BE＝2，AB＝8，
∴DE＝AB﹣BE﹣AD＝4，
∴在Rt△DCE中，
tan∠BDC＝＝＝；
②如图2，点D在BA延长线上时，
DE＝AE+AD＝AB﹣BE+AD＝8﹣2+2＝8，
在Rt△DCE中，
tan∠BDC＝＝＝．
综上所述：tan∠BDC的值为或．
故答案为：或．
11．【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
12．【答案】解：作CD⊥AB于D，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，
∴CD＝BC＝6，BD＝BC?cosB＝12×＝6，
在Rt△ACD中，tanA＝，
∴＝，即＝，
解得，AD＝8，
由勾股定理得，AC＝＝＝10，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×（8+6）×6＝24+18．
13．【答案】 解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
在Rt△ABD中，AB＝25，sinB＝＝，
∴＝，
∴AD＝15，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝36，
∴tanC＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝20，
∴BC＝BD+CD＝20+36＝56．
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第28章 锐角三角函数
28.2.1 解直角三角形及其应用
选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（ ）
A．15° B．20° C．30° D．60°
2．在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
5．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．2
填空题
6．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是 ．
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝ ．
8．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是 ．
9．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为 ．
10．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为直线AB上的一点，若AD＝2，则tan∠BDC的值为 ．
解答题
11．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的正切值．
12．如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长和△ABC的面积．
13．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝25，AC＝39，sinB＝，求tanC和BC的长．
答案
1．C．2．D．3．B4．B5．B
6．【答案】．【解析】解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝?AK?4＝?AB?KH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
7．【答案】．
【解析】解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：
设BC＝CD＝x，则AB＝x，
∵sinA＝＝，
∴BE＝AB＝x，
∴AE＝＝＝x，
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴BD＝BC＝x，
∴BD＝AB，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝3，
∴x＝3，
解得：x＝，
即BC＝，
故答案为：．
8．【答案】（8，12）．【解析】解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝，
∴cos∠FEA＝，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，
∴FG＝9÷＝15，
∴由勾股定理得：HG＝＝12，
∴F（8，12）．
故答案为：（8，12）．
9．【答案】．【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵AC＝5，
∴AD＝CD＝AC?sin45°＝5×＝5，
∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，
∵tan∠B＝2，
∴tan∠DFC＝2，
∴＝2，
∴DF＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，
∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，
∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，
∴EF＝x＝，
故答案为：．
10．【答案】：或．
【解析】解：作CE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠B＝60°，
∴BE＝BC＝2，CE＝2，
①如图1，点D在AB边上时，
∵AD＝2，BE＝2，AB＝8，
∴DE＝AB﹣BE﹣AD＝4，
∴在Rt△DCE中，
tan∠BDC＝＝＝；
②如图2，点D在BA延长线上时，
DE＝AE+AD＝AB﹣BE+AD＝8﹣2+2＝8，
在Rt△DCE中，
tan∠BDC＝＝＝．
综上所述：tan∠BDC的值为或．
故答案为：或．
11．【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
12．【答案】解：作CD⊥AB于D，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，
∴CD＝BC＝6，BD＝BC?cosB＝12×＝6，
在Rt△ACD中，tanA＝，
∴＝，即＝，
解得，AD＝8，
由勾股定理得，AC＝＝＝10，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×（8+6）×6＝24+18．
13．【答案】 解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
在Rt△ABD中，AB＝25，sinB＝＝，
∴＝，
∴AD＝15，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝36，
∴tanC＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝20，
∴BC＝BD+CD＝20+36＝56．
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