(共20张PPT)
人教版八年级数学第十四章
第一课时
复习引入
我们前面学习了利用平方差公式来分解因式即：
a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：
4a2-9b2=
(2a+3b)(2a-3b)
思考
你能将多项式a2+2ab+b2
与
a2-2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项”
3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
“头”
平方,
“尾”
平方,
“头”
“尾”两倍中间放.
练一练：按照完全平方公式填空：
下列各式是不是完全平方式
是
是
是
否
是
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式是不是一个完全平方式。
·
例1分解因式：
(1)
16x2+24x+9;
(2)
–x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
a2
2
a
b
b2
+
·
+
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2.
例1:
分解因式：
(1)
16x2+24x+9;
(2)
–x2+4xy–4y2.
解：(2)
–x2+4xy-4y2
=
-(x2-4xy+4y2)
=
-[x2-2·x·2y+(2y)2]
=
-
(x-2y)2
例2:
分解因式:
(1)
3ax2+6axy+3ay2;
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
把下列各式分解因式：
4a?-12ab＋9b?
－x?＋4xy－4y?
例2:
分解因式:
(a+b)2-12(a+b)+36.
解：(a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2.
将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36.
练习
(a+b)4-10(a+b)2+25
．因式分解：
．分解因式：
课堂检测：
分解因式：
将4x2＋1再加上一项，使它成为完全
平方式，你有几种方法？
◆创新应用:
已知(a+2b)2-2a-4b+1=0,求(a+2b)2011的值.
◆综合拓展:
已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a,b,c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,请你说明△ABC是等边三角形.
小结：
1、是一个二次三项式
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
完全平方式具有：
作业
作业本：P111（1）
P112（1—11）(共9张PPT)
人教版八年级数学第十四章
第二课时
准备练习：
1.已知
x+y=6，
x-y=-5
求：x2-y2的值。
说一说你的解题思路？
解法一：
1.由已知条件联立组
成方程组。
2.解方程组求出x、y
的值。
3.代入x2-y2中求出式
子的值。
解法二：
x2-y2的值为就是
（x+y）与（x-y）的积
已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值？
说一说你的解题思路？
你还能由已知条件联立组成方程组来求解吗？
a+b=5
ab=3
你会解方程组
吗？
已知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值？
a+b
ab
a2+b2
=
（
）2
2
+
分析：
给你什么启发？
1.已知什么？
2.求什么？
3.公式怎样变形？
a2+b2
=（a+b）2-2ab
公式的变形：
1.已知a-b=5,ab=3,求a2+b2的值？
2.已知a-b=5,
a2+b2=9,求ab的值？
3.已知ab
=3,
a2+b2=10,求
a-b、a+b的值？
探索研究：
(a+b)2
(a-b)2
a2+b2
+2ab
+2ab
+4ab
1.已知a-b、ab能求出吗？a2+b2吗？
2.已知a+b、ab能求出吗？a2+b2吗？
3.已知
a2+b2
、ab能求出吗？
a+b、
a-b吗？
试一试：已知x2+y2=2,x+y=1,求10xy
的值？
练习：
思考：
已知
.求：
(1)
(2)(共16张PPT)
人教版八年级数学第十四章
第一课时
回顾与思考
1、什么叫因式分解？
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。
2、计算：①(x+2)(x-2)=___________
②(y+5)(y-5)=___________
x2-4
y2-25
叫因式分解吗？
3、
x2-4=
(x+2)(x-2）叫什么？
因式分解
4、你学了什么方法进行分解因式？
提公因式法
议一议
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4各项的公因式分别是什么？并分解因式。
2x2+6x3=2x2（1+3x）；
12a2b3-8a3b2-16ab4=4ab2（3ab-2a2-4b2）.
一般地，如多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这就是提公因式法。
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
问题情景2：
你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗?
这两个多项式都可写成两个数的平方差的形式。
问题情景1：
看谁算得最快：①982-22=______
②已知x+y=4，x-y=2，则x2-y2=______
情景导入
9600
8
x2-4
y2-25
导入新课
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
a2-b2
=(a+b)(a-b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
整式乘法
因式分解
a2-b2
=(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
应用新知，尝试练习
例1、因式分解（口答）：
①
x2-4=________
②9-t2=_________
例2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2
②x2-y2
③-x2+y2
④-x2-y2
(x+2)(x-2)
(3+t)(3-t)
×
√
√
×
下列多项式可以用平方差公式去分解因式吗？
为什么？
(1)
4x2+y2
(2)
4x2－(－y)2
(3)
－4x2－y2
(4)
－4x2+y2
(5)
a2－4
a2＋3
不可以
可
以
不可以
可
以
不可以
可
以
例3.
分解因式:
(1)
4x2
–
9
;
(2)
(x+p)2
–
(x+q)2.
分析:在(1)中,
4x2
=
(2x)2,9=32,
4x2-9
=
(2x
)2
–3
2,
即可用平方差公式分解因式.
解（1）4x2
–
9
=
(2x)2
–
3
2
=
(2x+3)(2x-3)
解：（2）(x+p)2
–
(x+q)2
=
[
(x+p)
+(x+q)]
[(x+p)
–(x+q)]
把(x+p)和
(x+q)各看成一个整体,设x+p=m，x+p=n，则原式化为m2-n2.
这里可用到了整体思想！
把(x+p)和(x+q)看成一个整体，
分别相当于公式中的a和b。
=(2x+p+q)(p-q).
a2-b2
=(a+b)(a-b)
例3.
分解因式:
(1)
4x2
–
9
;
(2)
(x+p)2
–
(x+q)2.
例4
.
分解因式:
(1)x4-y4;
(2)
a3b
–
ab.
分析:
(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了。
解:
(1)
x4-y4
=
(x2+y2)(x2-y2)
(2)
a3b-ab
=ab(a2-1)
=
(x2+y2)(x+y)(x-y)
分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
=ab(a+1)(a-1).
练习
分解因式:
a2-
b2;
(2)9a2-4b2;
(3)
x2y
–
4y
;
(4)
–a4
+16.
(a+
b)(a
-
b
)
(3a+2b)(3a-2b)
y(x+2)(x-2)
(4+a2)(2+a)(2-a)
把下列各式因式分解：
(1)
ax
-
ay
(2)
9a2
-
6ab+3a
(3)
3a(a+b)-5(a+b)
(4)
ax2
-
a3
(5)
2xy2
-
50x
=
a(
x
–
y
)
=3a(a-2b+1)
=(a+b)(3a
-
5)
=a(x2-a2)
=2x(y2-25)
=a(x+a)(x-a)
=2x(y+5)(y
-
5)
练习
因式分解：
1、
–a4+16
2、
4(a+2)2
-9(a-1)2
3、
(x+y+z)2
-(x-y-z)2
4、
(a-b)n+2
-(a-b)n
五、小结
1、利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否符合条件。必须是两个数或式的平方差的形式。
2、分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。
①x2+y2
②x2-y2
③-x2+y2
④-x2-y2
比如：①a3b
–
ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)
②x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)
比如：x3-x=x(x2-1)，做完了吗？
=x(x+1)(x-1)
布置作业
作业本：P109（1—3）
P110（4—11）(共14张PPT)
人教版八年级数学第十四章
第三课时
1、口答计算结果
(x+3)(x+4)
(x+3)(x-4)
(3)(x-3)(x+4)
(4)(x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似以上多项式的方法吗？
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
x2+7x+12
x2-x-12
x2+x-12
x2-7x+12
x2+(4+3)x+(3×4)
x2+(3-4)x+3×(-4)
x2+(4-3)x+(-3)×4
x2+(-3-4)x+(-3)
×(-4)
(x+3)(x+4)
(x+3)(x-4)
(x-3)(x+4)
(x-3)(x-4)
x2+7x+12
x2-x-12
x2+x-12
x2-7x+12
x2+(4+3)x+(3×4)
x2+(3-4)x+3×(-4)
x2+(4-3)x+(-3)×4
x2+(-3-4)x+(-3)
×(-4)
=
=
=
=
=
=
=
=
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
＋2=
(+1)
×(+2)
(+1)＋(+2)=
＋
3
∴
试一试：把x2+3x+2分解因式
常数项
十字交叉线
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
分析∵
常数项
一次项系数
＋
2=
(－
1)
×(－
2)
(－
1)＋(－
2)=
－3
一次项系数
十字相乘法公式：
请大家记住公式
下面各题的十字相乘分解方法哪种是正确的？
（1）
x2-7x+6
（2）x2+x-6
（3）x2-8x+12
x
x
x
x
x
x
x
x
+2
+3
-2
-3
+1
+6
-1
-6
x
x
x
x
x
x
x
x
-2
+3
+2
-3
-1
+6
+1
-6
x
x
+1
+12
+2
+6
-2
-6
+3
+4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-1
-12
-3
-4
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
(1)x2-7x+12
(2)x2-4x-12
(3)x2+8x+12
(4)x2-11x-12
(5)x2+13x+12
(6)x2-x-12
对于x2+px+q
（1）当q＞0时，a、b﹍﹍，且a、b的符号与p的符号﹍﹍。
（2）当q＜0时，a、b﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与p的符号相同。
同号
相同
异号
a、b中绝对值较大的因数
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
(2)x2-3x-54
(3)
x2-3x+2
(4)
x2+4x+3
(5)
x2-5x-6
(6)x4+13x2+36
(x+4)(x-1)
(x+6)(x-9)
(x-2)(x-1)
(x+3)(x+1)
(x+1)(x-6)
(x2+4)(x2+9)
1.十字相乘法分解因式的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.要将二次三项式x2
+
px
+
q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,
满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2
+
px
+
q
=
x2
+(a
+
b)x
+
ab
=
(x
+
a)(x
+
b).
用十字交叉线表示:
x
+a
x
+b
ax
+
bx
=
(a
+
b)x
3.由于把x2
+
px
+
q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.
1.十字相乘法分解因式的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和恰好等于一次项的系数。
(1)要将二次三项式x2
+
px
+
q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,
满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2
+
px
+
q
=
x2
+(a
+
b)x
+
ab
=
(x
+
a)(x
+
b).
用十字交叉线表示:
x
+a
x
+b
ax
+
bx
=
(a
+
b)x
(2)由于把x2
+
px
+
q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.
(1)x2+7x+10
(2)x2-2x-8
(3)
y2-7y+12
(4)
x2+7x+18
(5)
x2+10x+9
(6)y4-10y2-39
