5.3 三角函数的公式体系1，2 同步学案

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三角函数公式体系1、2（同角三角函数关系式、诱导公式）学案
一．学习目标
三角函数的公式体系分为同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差倍角三角函数公式；本节课学习三角函数前面两组公式：理解记忆同角三角函数基本关系式与诱导公式，并能够利用同角三角函数关系式及诱导公式进行求值、化简与证明；
本节课的重点在于同角三角函数关系式以及诱导公式的应用。
二．基础知识梳理
1.同角三角函数基本关系式：
(1)平方关系：.
(2)商数关系：，其中()．
2.诱导公式：
诱导公式：把的三角函数化为的三角函数，其中可以称之为“诱导角”。
①诱导公式一：终边相同角的三角函数值对应相等。
②诱导公式二
③诱导公式三
④诱导公式四
⑤公式五：
，
⑥公式六：
，
诱导公式的主体内容为：“奇变偶不变，符号看象限”，故而该公式称为诱导公式。
“奇”“偶”指的是诱导公式中诱导角的整数是奇数还是偶数。“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若为奇数，则正、余弦互变；若为偶数，则函数名称不变。
③“符号看象限”指的是在诱导角中，将看成锐角时该诱导角所在的象限；进而通过判断该诱导角所在象限的三角函数的符号确定化简之后的符号特征。
3.预习提升：
1．同角三角函数基本关系中，角是否是任意角？
提示：平方关系中的角是任意角，商数关系中的角并非任意角，
2.设为锐角，则、、
,，分别是第几象限角？
提示：分别为第一、二、二、三、四象限角。
（注：对于三角函数诱导公式的学习过程中，需要注意判断组合角所在的象限，进而通过判断符号来决定原函数值的符号）
3.诱导公式的作用分别是什么？
提示：①公式一的作用在于把绝对值大于的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于的角的三角函数问题；
②公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；
③公式二的作用在于把大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数；
④公式四、公式六的作用在于把钝角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数；
⑤公式五的作用体现了互余两角的三角函数之间的关系。
通过三角函数诱导公式的运用，可以将任意一个角的三角函数值均转化为锐角的三角函数。
三．典例分析与性质总结
题型1：利用同角三角函数基本关系式求三角函数值
例1：(1)若，且为第四象限角，则的值等于（）
A.
B.
C.
D.
(2)已知，求、的值。
方法提炼：
已知角的某种三角函数值，求角的其余三角函数值时，利用三角函数的基本关系式可知，三者知一求二（知道其中一个可以求解另外两个），要注意公式的合理选择；
若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果。
题型2：整体代入，弦切互化
例2：设，求下列各式的值：
(1)；
(2).
思路导引：
已知；
①若求解一次分式齐次式，即形如的值，方法是分子分母同时除以，转化为
的代数式，进而求解；
②若求解二次分式齐次式，即形如的值，方法是分子分母同时
除以，转化为的代数式，进而求解；
③若求解二次整式，即形如的值，方法是将分母看成1，然后代换为，分子分母同时除以，转化为的代数式，进而求解。
题型3：三角函数式的化简
例3：化简下列各式：
(1)；
(2)
思路导引：
化简三角函数式常用的方法有：
1.化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的；
2.对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的。
题型4：三角三剑客
由于，，我们称
、、为三角“三剑客”。
例4：已知，.
(1)求的值；
(2)求的值。
思路导引：
对于、、这三个式子，知一可求二，转化公式为，体现了方程思想的应用。
在求或的值时，需要要注意判断它们的符号（具体的判断方法为通过角的象限或位置）。
题型5：给角求值问题
例5：利用公式求下列三角函数值：
(1)；(2).
思路导引：
给角求值问题，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解；在利用诱导公式进行三角函数的化简求值时，通常采用下述原则标准顺序进行分析求解，同时要记住一些特殊角的三角函数值：
“负化正、大化小、化到锐角为最好！”
①负化正——对于题目中出现的负角，可以先将其应用诱导公式转化为正角的状态
、、；
②大化小——对于题目中出现的较大的角，可以先将其通过的倍数进行角度的放缩
、、；（原理：终边相同角的三角函数值相等）
③化成锐角为最好——当通过上述两个步骤原则将题目中的角度转化为之内的角后，在应用诱导公式转化为锐角的状态；
题型6：给值求值问题
例6：(1)已知，，则的值为（
）
A．1　　　　B．　　
　C.　　　　D．
(2)已知，求的值．
(3)已知，则的值是(　　)
A.
B.
C．
D．
(4)已知，则的值是____
思路导引：
解决条件求值问题的技巧：
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(3)利用变角技巧进行条件求值时，常见的变角技巧有（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换）：
题型7：利用诱导公式化简求值
例7：已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值；
(3)若，求的值。
思路导引：
解决三角函数化简求值问题时若角含、，，则首先考虑诱导公式，有时需借助
同角三角函数基本关系。
题型8：三角函数的化简求值问题
例8：(1)化简.
思路导引：
1.三角函数式的化简要求结果尽量简单，能求值则求其值；不能求值也要化简成项数尽量少，次数尽量低的式子。
2.利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
①从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简；
②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.,无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异。
③针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同。
四．变式演练与提高
1.已知，求。
2．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)
3.化简下列各式：
(1)；
(2)(其中是第二象限角)．
4.已知，，求
5.求下列各式的值：
(1)；
(2)
6.(1)已知，求的值。
(2)已知，求的值。
7.若，则的值为(　　)
A．
B．
C.
D.
8.求证：
9.求证：
五．反思总结
1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式成立与角的表达形式无关，如，但是就不一定成立；
2.是的简写，不能写成；
3.在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子不成立；
4.注意公式变形的灵活应用；
5.在应用平方关系式求或时，其正负号是由角所在的象限决定的；当角所在象限不明确时，要进行分类讨论；
6.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，诱导公式的
记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”；其含义是函数名是否变化取决于中的奇偶性，当
为偶数时，得的同名函数值；当为奇数时，得的异名函数值，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角；
7.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通。
六．课后作业
1.下列结论能成立的是(　　)
A．且
B．且
C．且
D．且
2.已知是第四象限角，，则＝(　　)
A.　　　B．　　　C.　　　D．
3.若的内角满足，则的值为(　　)
A.
B．
C.
D．
4.已知，求的值。
5.已知，求，的值．
6.的值为(　　)
A．
B.
C．
D.
7.已知，则等于(　　)
A．
B．
C.
D．
8.若，则的值为(　　)
A.
B．
C.
D．
9.已知，则的值等于(　　)
A.　　　B．
C.　　　D．
10.已知，则等于（）.
11.化简
12.已知，且为第一象限角，求的值.
13.已知，且为第四象限角，那么等于（
）.
14.已知，求证：
15.化简.
七．参考答案
例1：解析：
(1)∵，，
∴
又∵是第四象限角，∴，∴，
∴
(2)解：∵，∴是第二或第三象限角．
当是第二象限角时，，，
∴，；
当是第三象限角时，，，
∴，；
例2：解析：
因为，
所以(1)
(2)
例3：解析：
[分析](1)中含有根号，运用三角函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形。
(1)原式
(2)原式
例4：解析：
(1)由?，
，
(2)因为，，
所以?.
例5：解析：
(1)方法1：
方法2：
(2)方法1：
方法2：
例6：解析：
(1)∵，∴，
∴，故选D.
(2)因为，
所以.
(3)
(4)
例7：解析：
(1)
(2)因为，所以，
又是第三象限角，所以
所以
(3)
所以.
例8：解析：
(1)
(2)左边＝右边，
故原式得证。
四．变式演练与提高
1.解析：
由得，，又，
∴，即。
2.解析：
(1)
(2).
(3)
3.解析：
(1).
(2)．
4.解析：
由，
两边平方得，
即，.
又，
∴，，
∴
5.解析：
(1)
(2)
6.解析：
(1)
(2)
7.解析：
由题意得，所以.
；故选D.
8.解析：
左边＝＝右边；
故原式得证。
9.解析：
原式左边＝
＝右边．
故原式得证。
六．课后作业
1.解析：
A中，，故A选项不成立；B中，，故B选项不成立；D中，
，故D选项不成立．只有C正确．
2.解析：
由为第四象限角，，得，故选B.
3.解析：
因为为的内角，且，所以为锐角，所以；又
，所以，故选A.
4.解析：
.
5.解析：
∵，∴是第二或第三象限角．
当是第二象限角时，，，
∴，；
当是第三象限角时，，，
∴，；
6.解析：
.故选A.
7.解析：
.
8.解析：
，所以；故选A.
9.解析：
∵，
∴
10.解析：
11.解析：
原式＝.
12.解析：
因为，为第一象限角，所以，，
所以
13.解析：
∵为第四象限角且，∴.
∴
14.解析：
因为，
所以，所以.
左边＝＝右边。
所以原式得证。
15.解析：
原式.
又∵，∴原式.
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