全等三角形学案
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文档简介
全等三角形（1）
一．知识点：
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
含义：形状相同，大小相等.
2．符号：“≌”
3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点
4．全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等.
二．例题：如图，≌，，求的度数.
三．练习：
1．如图，≌，并且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，≌，和，和分别是对应顶点，若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．以上都不对
3．如图，沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论错误的事（ ）
A．≌ B． C． D．
4．在中，，与全等的三角形有一个角为，则中与这个角对应相等的角是（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，沿边所在直线向右平移线段的长后与重合，则
≌ ；相等的边有 ，相等的角有 .
6．如图，若≌，且，，则= .
7．≌，且，，，则的周长为 .
8．已知≌，，，若的周长为偶数，则= .
9．如图，≌，且、、、在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由.
10．如图，已知≌，求证：
--1--
四．强化练习：
1.如图，≌，与，与是对应边，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，≌，和，和分别为对应顶点，若，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．不确定
3.如图，≌，则与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，是上的点，≌，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，≌，，.
求证：
6.如图，≌，、、在同一条直线上，且，，.
求的长和的度数.
7.如图，长方形沿折叠，使得点落在边上的点处，且.
求的度数.
8.如图，点、、、在同一条直线上，≌.
⑴判断与的位置关系，并说明理由；
⑵判断与的数量关系，并说明理由.
9. 如图，≌，，，试判断的形状，并说明理由.
--2--
全等三角形（2）
一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，小龙用四根木条钉了一个四边形，其中木条，.小龙发现拉动、两点，和的大小发生变化，但和一直相等.你认为小龙的发现正确吗？说明理由.
三．练习：
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等.
2．如图，在中，，为的中点，则下列结论中：①≌；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，若，，根据 可得≌.
4．请你以下面提供的、、三条线段画一个三角形.
5．如图，点、、、在同一直线上，，，.
求证：
6．在中，，、分别为、上的点，且，，.
求证：
7．如图，点、、、在同一直线上，，，
求证：
--3--
四．强化练习：
1．如图，，，，，则的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．104°
2．如图，线段与交于点，且，，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．在和中，已知，，则补充条件____________，可得到≌．
4．如图，，，、是上两点，且．欲证，可先运用等式的性质证明=________，再用“”证明________≌_________得到结论．
5．如图，在四边形中，，.
求证：①；②．
6．如图，已知，，求证：．
7．如图，与交于点，，、是上两点，且，．
求证：⑴；⑵
8.如图，已知，．求证：．
--4--
全等三角形（3）
一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，是中边的中点，，且.
求证：⑴≌ ⑵
三．练习：
1．如图，下列条件中能使≌的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，线段、互相平分交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，.
求证：≌
4．点、、、在同一直线上，，且.
求证：⑴≌ ⑵
5．如图，于，于，，.
求证：
6．如图，和都是等边三角形，连接、交于.
求证：⑴ ⑵
--5--
四．强化练习：
1.如图，于点，且，，则的周长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
2.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（ ）
A．能作唯一的一个三角形 B．最多能作两个三角形
C．不能作出确定的三角形 D．以上说法都不对
3.如图，已知，，要使≌，下面所添的条件正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在中，，点、是中线上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（ ）
A． 3对 B．4对 C．5对 D．6对
5.如图，点、、、在同一直线上，，，.
⑴求证：≌
⑵你还可以得到的结论是 （写出一个即可）
6.如图，是和的平分线，，.
求证：
7.如图，已知、是线段上的两点，且，，.
求证：
8.如图1，的顶点在的边上（不与、重合），且，，，点为的中点，直线交直线于点.
⑴猜想与的关系，并加以证明；
⑵当绕点旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）
--6--
全等三角形（4）
一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“”
全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
或：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，，，
求证：
三．练习：
1．如图，和中，下列能判定≌的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
3．如图，，，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，于，于，平分，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，，，若想使≌，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.
6．如图，已知，
求证：
--7--
四．强化练习：
1．已知，，，则≌的根据是（ ）
A． B． C． D．
2．和中，，，要使≌ ，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平分，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，已知，欲证明≌，可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）
5．如图，，，，欲得到，可先利用_______，证明≌，得到______=______，再根据___________证明________≌________，即可得到．
6．如图，平分和，欲证明，可先利用___________，证明≌，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到.
7．如图，，，.
求证：≌．
8．已知≌，和分别是和边上的高，和相等吗？为什么？
9．如图，已知，，那么，你知道这是为什么吗？
10．已知如图，于点，于点，、交于点，且平分.
⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）
⑵小明说：欲证，可先证明≌得到，再证明≌得到，然后利用等式的性质即可得到，请问他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．
⑶要得到，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．
--8--
全等三角形（5）
一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写为“斜边、直角边”或“”
几何符号语言：∵
∴在和中
∵ ∴≌
二．例题：如图，于，于，且
求证：
三．练习：
1．下列命题中正确的有（ ）
①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．如图，和中，，，点、、、在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，于，于，图中全等三角形的组数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，于，于，，.
求证：
5．如图，点、、、在同一条直线上，，，，且
求证：
6．在中，，，是过点的一条直线，且于，于.
⑴当直线处于如图1的位置时，猜想、、之间的数量关系，并证明.
⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；
⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达、、之间的数量关系.
--9--
四．强化练习：
1．在下列所给的四组条件中，不能判定≌ (其中)的是( )
A．， B．，
C. ， D. ，
2.使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
3.如图，在中，于点，于点，、交于点，已知，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，已知，欲说明，可补充条件 .（填写一个即可）
5.如图，、、、在同一条直线上，，，且，，则与的位置关系为 .
6.如图，，于.
求证：平分，
7.如图，，，于，于.
求证：
8.如图，在和中，、分别是高，并且，，.
求证：≌
9.如图，、、、在同一条直线上，于，于，，.
探究与的关系，并说明理由.
--10--
全等三角形（6）
一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .
二．全等三角形的判定：
1.判定两个三角形全等的方法有：
⑴________________________________________的两个三角形全等()．
⑵________________________________________的两个三角形全等()．
⑶________________________________________的两个三角形全等()．
⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS)．
2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等()．
三．例题：
1.如图已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是( )．
A.甲和乙 B．乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
2.如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①，②，③，④．
3.如图，，，.
猜想线段、的关系，并说明理由.
4. 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：
⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形；
⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．
--11--
四．练习：
1．下列给出的四组条件中，能判定≌的是（ ）
A．，, B．,,
C．,, D．, , 周长＝周长
2．若≌，且的周长为20，，，则长为（ ）
A．５ B．８ C．７ D．５或８
3．如图,在上，在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定≌的是( )
A． B． C． D．
4．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的理由是( )
A．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边
5．在和中，，，，，且，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B.一定全等
C.不一定全等 D.以上都不对
6.如图，若≌，则等于（ ）
A.30° B.50° C.60° D.100°
7. 已知，，，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.
8.如图，给出五个等量关系：① ② ③ ④ ⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
9.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由．
--12--
全等三角形（7）
一．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
（证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法）
几何符号语言：∵
∴
二．例题：如图，平分，于，于，为上一点，连接、.
求证：⑴ ⑵=
三．练习：
1．如图，于，于，平分，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在中，，平分，，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．如上图，在中，，，平分，于，且，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，平分，交延长线于，于，且.
求证：
5．如图，平分，于，于，连接交于.
求证：
6．如图，，于，于.
⑴求证：在的平分线上；
⑵若将⑴的条件“”和结论“在的平分线上”互换，成立吗？说明理由.
--13--
四．强化练习：
1．如图所示，，，，垂足分别为，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在中，，是的角平分线，，，垂足分别是，，则下列四个结论：①上任意一点到，的距离相等；②上任意一点到，的距离相等；③，；④.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，，，，为的平分线，于点，则的周长为（ ）
A．2 B． C． D．无法计算
4．中，，平分，已知，，则点到的距离为_______．
5．如图，于，于点，若想得到，只需添加一个条件，这个条件是__________．
6．如图，，平分，于，于，则的度数为________．
7．如图所示，是的平分线，于，于，且，那么与相等吗？为什么？
8.如图所示，，是中点，平分，判断是否平分，说明理由．
9．如图所示，已知，，且，是上一点，由以上条件可以得到吗？为什么？
--14--
全等三角形（8）
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）
几何符号语言：∵
∴点在的平分线上.
注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等.
二．例题：如图，在四边形中，，平分交于，且，求证：平分
三．练习：
1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条角中线的交点
C．三条角高线的交点 D．三条中垂线的交点
2．如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（ ）
A．不平分 B．平分 C．平分 D．
3．如图，的三边、、的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则 .
4．如图，在四边形中，，平分交于，且平分 ，求证：
5．如图，在直线上求一点，使得点到射线和的距离相等.
6．如图，在中，，点为三条角平分线的交点，于，于，于，且，，，求的长.
--15--
四．强化练习：
1.在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 .
2.的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为 .
3.如图，，是的角平分线，，，则点到的距离为 .
4.如图，， 于，于，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点
C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点
6.如图，中，，，平分交于，于，且，则的周长为（ ）
A.4 B.6 C.10 D.不能确定
7.如图，，为的角平分线，，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是的平分线，于，于，且.
求证：
9.已知，如图为的平分线，，点在上，于，于.
求证：
10.如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等.
求证：平分
--16--
《全等三角形》单元检测（1）
一．选择题（本题8小题，每题3分，计24分）
1．①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④有两边对应相等的两个三角形全等．上述命题中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C． 2个 D．1个
2．在和中，，，补充条件后仍不一定能保证≌，则补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，，图中全等三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．如图，于，于，若，且，则的度数是（ ）
A．15o B．30o C．60o D．90o
6．如图，中，，，平分，交于，于，且， 则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．以上都不对
7．≌，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
8．根据下列已知条件，能惟一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
二．填空题（本题8小题，每题3分，计24分）
9．已知≌，若，，，，则的度数为 ．
10．已知≌，，的面积为，则边上的高的长是 ．
11．如图，，, 那么需要补充一个直接条件 （写出一个即可），才能使≌．
12．如图，在中，，，，，则的度数为 ．
13．如图，，，，，，则的度数为 ．
14．如图所示的长方体中，和的关系是________．（填“全等”或“不全等”）
15．已知≌，点、、的坐标分别为（，），（，2），（1，0），若点的坐标为（1，1），请你写出一组符合要求的点、的坐标_____________．
16. 如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则＝___________度．
--17--
三．解答题 （本题有6小题，每题9分，计54分）
17．如图，，，、的延长线相交于点，于点，于点．
⑴请你写出图中4组相等线段（已知的相等线段除外）；
⑵选择⑴中你写出的一组相等线段，说明它们相等的理由．
18．如图，已知，，.
求证：
19．如图，线段、、相交于点，，.
求证：
20．如图，和均为等边三角形，求证：
21．如图，已知：，垂足是的中点，.
求证：
--18--
22．右图的花环状图案中,和都是正六边形.
⑴求证:；⑵ 找出一对全等的三角形并给予证明.
四．解答题（本题有4小题，每题12分，计48分）
23．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．请同学用数学知识对这一做法的道理加以说明．
24．如图，、两点是湖两岸上的两点，为测、两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出、两点的距离，并说明你的方案的可行性．
--19--
25．如图，图1等腰与等腰共点于，且，连结、，若、．
⑴求证：；
⑵若将等腰绕点旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，与还相等吗？为什么 （请你用图2加以证明）
26．如图1，四边形中，，，，．
⑴求证：；
⑵当、相向运动，形成图2时，和还相等吗？请证明你的结论．
--20—
《全等三角形》第一轮能力训练卷
1．如图，中，，，直线经过点，，.
求证：
2．如图，中，，，直线经过点，且经过内部，，.试判断、、三者的数量关系.
3．如图，在平面直角坐标系中，，，，（3，0），（0，4）.
求点的坐标.
4．如图，等腰直角的直角边，点、分别从、两点同时出发，以相同的速度作直线运动，已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，与直线相交于点，设的长为，的面积为.
⑴求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）
⑵作于，当点、运动时，线段的长度是否改变？说明理由.
5．在上题中，连接，求证：
--1--
6．如图1，在等腰直角中，，为的中点，为上一动点，在上，且满足，于.
⑴求证：
⑵如图2，点在的延长线上，其他条件不变，⑴中的结论是否成立？
⑶在图3中画出当点在延长线上的情况，并给出相应的证明；
⑷还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.
7．如图1，中，，点、是线段上两动点，且，于
，交于点，直线交直线于.
⑴判断的形状，并说明理由.
⑵如图2，若点、是直线上两动点，其他条件不变，判断的形状，并说明理由.
--2--
8．如左图，中，，，一个直角三角板的直角顶点放在的中点处，绕点旋转，两直角边分别交于，交于.
⑴求证： ，
⑵如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交延长线于，交延长线于.⑴中的结论是否正确？说明理由.
9．如图，线段，点在的下方，
⑴若，在的上方作，且，作，且，连接，取的中点，连接，试判断的形状并证明。
⑵若与不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。
10．⑴如图1，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、、在同一条直线上，判断与的关系并加以证明.
⑵如图2，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、、不在同一条直线上.判断与的关系并加以证明.
--3--
11．如图，与中，，，.与交于点.
⑴判断与的数量关系并加以证明.
⑵猜想与的关系并加以证明.
12．如图，在中，是边上的中线，平分交于，于，分别交、于、.
猜想与的数量关系并证明.
13．如图1，锐角中，，，为边上一点，为直线上一点，连接、，使得.
⑴猜想线段与的数量关系并证明；
⑵如图2，若将“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，⑴中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由.
--4--
14．如图，中，，，为边上一点，为射线上一点，且满足
请你在图中找出满足条件的点，并探究与的关系.
15．如图所示，D在AC上，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。
（1）探究：线段MD、MB的关系，并加以证明；
（2）把△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是否成立？
（3）将△ADE绕点A逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。
--5--
一．知识点：
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
含义：形状相同，大小相等.
2．符号：“≌”
3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点
4．全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等. ⑵全等三角形的对应角相等. ⑶全等三角形的周长、面积相等.
二．例题：如图，≌，，求的度数.
三．练习：
1．如图，≌，并且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，≌，和，和分别是对应顶点，若，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．以上都不对
3．如图，沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论错误的事（ ）
A．≌ B． C． D．
4．在中，，与全等的三角形有一个角为，则中与这个角对应相等的角是（ ）
A． B． C． D．或
5．如图，沿边所在直线向右平移线段的长后与重合，则
≌ ；相等的边有 ，相等的角有 .
6．如图，若≌，且，，则= .
7．≌，且，，，则的周长为 .
8．已知≌，，，若的周长为偶数，则= .
9．如图，≌，且、、、在同一条直线上，试找出图中互相平行的线段，并说明理由.
10．如图，已知≌，求证：
--1--
四．强化练习：
1.如图，≌，与，与是对应边，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，≌，和，和分别为对应顶点，若，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．不确定
3.如图，≌，则与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，是上的点，≌，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，≌，，.
求证：
6.如图，≌，、、在同一条直线上，且，，.
求的长和的度数.
7.如图，长方形沿折叠，使得点落在边上的点处，且.
求的度数.
8.如图，点、、、在同一条直线上，≌.
⑴判断与的位置关系，并说明理由；
⑵判断与的数量关系，并说明理由.
9. 如图，≌，，，试判断的形状，并说明理由.
--2--
全等三角形（2）
一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，小龙用四根木条钉了一个四边形，其中木条，.小龙发现拉动、两点，和的大小发生变化，但和一直相等.你认为小龙的发现正确吗？说明理由.
三．练习：
1．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有等边三角形都全等.
2．如图，在中，，为的中点，则下列结论中：①≌；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，若，，根据 可得≌.
4．请你以下面提供的、、三条线段画一个三角形.
5．如图，点、、、在同一直线上，，，.
求证：
6．在中，，、分别为、上的点，且，，.
求证：
7．如图，点、、、在同一直线上，，，
求证：
--3--
四．强化练习：
1．如图，，，，，则的度数是（ ）
A．120° B．125° C．127° D．104°
2．如图，线段与交于点，且，，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．在和中，已知，，则补充条件____________，可得到≌．
4．如图，，，、是上两点，且．欲证，可先运用等式的性质证明=________，再用“”证明________≌_________得到结论．
5．如图，在四边形中，，.
求证：①；②．
6．如图，已知，，求证：．
7．如图，与交于点，，、是上两点，且，．
求证：⑴；⑵
8.如图，已知，．求证：．
--4--
全等三角形（3）
一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，是中边的中点，，且.
求证：⑴≌ ⑵
三．练习：
1．如图，下列条件中能使≌的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，线段、互相平分交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，.
求证：≌
4．点、、、在同一直线上，，且.
求证：⑴≌ ⑵
5．如图，于，于，，.
求证：
6．如图，和都是等边三角形，连接、交于.
求证：⑴ ⑵
--5--
四．强化练习：
1.如图，于点，且，，则的周长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
2.已知两边及其中一边的对角，作三角形，下列说法中正确的是（ ）
A．能作唯一的一个三角形 B．最多能作两个三角形
C．不能作出确定的三角形 D．以上说法都不对
3.如图，已知，，要使≌，下面所添的条件正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在中，，点、是中线上的两点，则图中可证明为全等的三角形有（ ）
A． 3对 B．4对 C．5对 D．6对
5.如图，点、、、在同一直线上，，，.
⑴求证：≌
⑵你还可以得到的结论是 （写出一个即可）
6.如图，是和的平分线，，.
求证：
7.如图，已知、是线段上的两点，且，，.
求证：
8.如图1，的顶点在的边上（不与、重合），且，，，点为的中点，直线交直线于点.
⑴猜想与的关系，并加以证明；
⑵当绕点旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）
--6--
全等三角形（4）
一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“”
全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“”
几何符号语言：在和中
∵
∴≌（）
或：在和中
∵
∴≌（）
二．例题：如图，，，
求证：
三．练习：
1．如图，和中，下列能判定≌的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
3．如图，，，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，于，于，平分，则图中全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，，，若想使≌，则需增加一个条件，你增加的条件为： .并加以证明.
6．如图，已知，
求证：
--7--
四．强化练习：
1．已知，，，则≌的根据是（ ）
A． B． C． D．
2．和中，，，要使≌ ，则下列补充的条件中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平分，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，已知，欲证明≌，可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）
5．如图，，，，欲得到，可先利用_______，证明≌，得到______=______，再根据___________证明________≌________，即可得到．
6．如图，平分和，欲证明，可先利用___________，证明≌，得到______=_______，再根据________，证明______≌________，即可得到.
7．如图，，，.
求证：≌．
8．已知≌，和分别是和边上的高，和相等吗？为什么？
9．如图，已知，，那么，你知道这是为什么吗？
10．已知如图，于点，于点，、交于点，且平分.
⑴图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）
⑵小明说：欲证，可先证明≌得到，再证明≌得到，然后利用等式的性质即可得到，请问他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．
⑶要得到，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．
--8--
全等三角形（5）
一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写为“斜边、直角边”或“”
几何符号语言：∵
∴在和中
∵ ∴≌
二．例题：如图，于，于，且
求证：
三．练习：
1．下列命题中正确的有（ ）
①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；
③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；
④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等.
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
2．如图，和中，，，点、、、在同一条直线上，在增加一个条件，不能判定≌的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，于，于，图中全等三角形的组数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，于，于，，.
求证：
5．如图，点、、、在同一条直线上，，，，且
求证：
6．在中，，，是过点的一条直线，且于，于.
⑴当直线处于如图1的位置时，猜想、、之间的数量关系，并证明.
⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；
⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达、、之间的数量关系.
--9--
四．强化练习：
1．在下列所给的四组条件中，不能判定≌ (其中)的是( )
A．， B．，
C. ， D. ，
2.使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
3.如图，在中，于点，于点，、交于点，已知，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，已知，欲说明，可补充条件 .（填写一个即可）
5.如图，、、、在同一条直线上，，，且，，则与的位置关系为 .
6.如图，，于.
求证：平分，
7.如图，，，于，于.
求证：
8.如图，在和中，、分别是高，并且，，.
求证：≌
9.如图，、、、在同一条直线上，于，于，，.
探究与的关系，并说明理由.
--10--
全等三角形（6）
一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .
二．全等三角形的判定：
1.判定两个三角形全等的方法有：
⑴________________________________________的两个三角形全等()．
⑵________________________________________的两个三角形全等()．
⑶________________________________________的两个三角形全等()．
⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS)．
2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等()．
三．例题：
1.如图已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是( )．
A.甲和乙 B．乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
2.如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①，②，③，④．
3.如图，，，.
猜想线段、的关系，并说明理由.
4. 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形.仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：
⑴如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形；
⑵如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形．
--11--
四．练习：
1．下列给出的四组条件中，能判定≌的是（ ）
A．，, B．,,
C．,, D．, , 周长＝周长
2．若≌，且的周长为20，，，则长为（ ）
A．５ B．８ C．７ D．５或８
3．如图,在上，在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定≌的是( )
A． B． C． D．
4．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定≌的理由是( )
A．边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边
5．在和中，，，，，且，那么这两个三角形（ ）
A．一定不全等 B.一定全等
C.不一定全等 D.以上都不对
6.如图，若≌，则等于（ ）
A.30° B.50° C.60° D.100°
7. 已知，，，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.
8.如图，给出五个等量关系：① ② ③ ④ ⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
9.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由．
--12--
全等三角形（7）
一．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
（证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法）
几何符号语言：∵
∴
二．例题：如图，平分，于，于，为上一点，连接、.
求证：⑴ ⑵=
三．练习：
1．如图，于，于，平分，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在中，，平分，，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．≌ B． C． D．
3．如上图，在中，，，平分，于，且，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，平分，交延长线于，于，且.
求证：
5．如图，平分，于，于，连接交于.
求证：
6．如图，，于，于.
⑴求证：在的平分线上；
⑵若将⑴的条件“”和结论“在的平分线上”互换，成立吗？说明理由.
--13--
四．强化练习：
1．如图所示，，，，垂足分别为，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在中，，是的角平分线，，，垂足分别是，，则下列四个结论：①上任意一点到，的距离相等；②上任意一点到，的距离相等；③，；④.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，，，，为的平分线，于点，则的周长为（ ）
A．2 B． C． D．无法计算
4．中，，平分，已知，，则点到的距离为_______．
5．如图，于，于点，若想得到，只需添加一个条件，这个条件是__________．
6．如图，，平分，于，于，则的度数为________．
7．如图所示，是的平分线，于，于，且，那么与相等吗？为什么？
8.如图所示，，是中点，平分，判断是否平分，说明理由．
9．如图所示，已知，，且，是上一点，由以上条件可以得到吗？为什么？
--14--
全等三角形（8）
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）
几何符号语言：∵
∴点在的平分线上.
注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等.
二．例题：如图，在四边形中，，平分交于，且，求证：平分
三．练习：
1．下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条角中线的交点
C．三条角高线的交点 D．三条中垂线的交点
2．如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（ ）
A．不平分 B．平分 C．平分 D．
3．如图，的三边、、的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则 .
4．如图，在四边形中，，平分交于，且平分 ，求证：
5．如图，在直线上求一点，使得点到射线和的距离相等.
6．如图，在中，，点为三条角平分线的交点，于，于，于，且，，，求的长.
--15--
四．强化练习：
1.在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 .
2.的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为 .
3.如图，，是的角平分线，，，则点到的距离为 .
4.如图，， 于，于，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点
C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点
6.如图，中，，，平分交于，于，且，则的周长为（ ）
A.4 B.6 C.10 D.不能确定
7.如图，，为的角平分线，，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是的平分线，于，于，且.
求证：
9.已知，如图为的平分线，，点在上，于，于.
求证：
10.如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等.
求证：平分
--16--
《全等三角形》单元检测（1）
一．选择题（本题8小题，每题3分，计24分）
1．①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④有两边对应相等的两个三角形全等．上述命题中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C． 2个 D．1个
2．在和中，，，补充条件后仍不一定能保证≌，则补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，，图中全等三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．如图，于，于，若，且，则的度数是（ ）
A．15o B．30o C．60o D．90o
6．如图，中，，，平分，交于，于，且， 则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．以上都不对
7．≌，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
8．根据下列已知条件，能惟一画出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
二．填空题（本题8小题，每题3分，计24分）
9．已知≌，若，，，，则的度数为 ．
10．已知≌，，的面积为，则边上的高的长是 ．
11．如图，，, 那么需要补充一个直接条件 （写出一个即可），才能使≌．
12．如图，在中，，，，，则的度数为 ．
13．如图，，，，，，则的度数为 ．
14．如图所示的长方体中，和的关系是________．（填“全等”或“不全等”）
15．已知≌，点、、的坐标分别为（，），（，2），（1，0），若点的坐标为（1，1），请你写出一组符合要求的点、的坐标_____________．
16. 如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则＝___________度．
--17--
三．解答题 （本题有6小题，每题9分，计54分）
17．如图，，，、的延长线相交于点，于点，于点．
⑴请你写出图中4组相等线段（已知的相等线段除外）；
⑵选择⑴中你写出的一组相等线段，说明它们相等的理由．
18．如图，已知，，.
求证：
19．如图，线段、、相交于点，，.
求证：
20．如图，和均为等边三角形，求证：
21．如图，已知：，垂足是的中点，.
求证：
--18--
22．右图的花环状图案中,和都是正六边形.
⑴求证:；⑵ 找出一对全等的三角形并给予证明.
四．解答题（本题有4小题，每题12分，计48分）
23．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．请同学用数学知识对这一做法的道理加以说明．
24．如图，、两点是湖两岸上的两点，为测、两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出、两点的距离，并说明你的方案的可行性．
--19--
25．如图，图1等腰与等腰共点于，且，连结、，若、．
⑴求证：；
⑵若将等腰绕点旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，与还相等吗？为什么 （请你用图2加以证明）
26．如图1，四边形中，，，，．
⑴求证：；
⑵当、相向运动，形成图2时，和还相等吗？请证明你的结论．
--20—
《全等三角形》第一轮能力训练卷
1．如图，中，，，直线经过点，，.
求证：
2．如图，中，，，直线经过点，且经过内部，，.试判断、、三者的数量关系.
3．如图，在平面直角坐标系中，，，，（3，0），（0，4）.
求点的坐标.
4．如图，等腰直角的直角边，点、分别从、两点同时出发，以相同的速度作直线运动，已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，与直线相交于点，设的长为，的面积为.
⑴求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）
⑵作于，当点、运动时，线段的长度是否改变？说明理由.
5．在上题中，连接，求证：
--1--
6．如图1，在等腰直角中，，为的中点，为上一动点，在上，且满足，于.
⑴求证：
⑵如图2，点在的延长线上，其他条件不变，⑴中的结论是否成立？
⑶在图3中画出当点在延长线上的情况，并给出相应的证明；
⑷还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.
7．如图1，中，，点、是线段上两动点，且，于
，交于点，直线交直线于.
⑴判断的形状，并说明理由.
⑵如图2，若点、是直线上两动点，其他条件不变，判断的形状，并说明理由.
--2--
8．如左图，中，，，一个直角三角板的直角顶点放在的中点处，绕点旋转，两直角边分别交于，交于.
⑴求证： ，
⑵如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交延长线于，交延长线于.⑴中的结论是否正确？说明理由.
9．如图，线段，点在的下方，
⑴若，在的上方作，且，作，且，连接，取的中点，连接，试判断的形状并证明。
⑵若与不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。
10．⑴如图1，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、、在同一条直线上，判断与的关系并加以证明.
⑵如图2，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、、不在同一条直线上.判断与的关系并加以证明.
--3--
11．如图，与中，，，.与交于点.
⑴判断与的数量关系并加以证明.
⑵猜想与的关系并加以证明.
12．如图，在中，是边上的中线，平分交于，于，分别交、于、.
猜想与的数量关系并证明.
13．如图1，锐角中，，，为边上一点，为直线上一点，连接、，使得.
⑴猜想线段与的数量关系并证明；
⑵如图2，若将“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，⑴中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由.
--4--
14．如图，中，，，为边上一点，为射线上一点，且满足
请你在图中找出满足条件的点，并探究与的关系.
15．如图所示，D在AC上，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。
（1）探究：线段MD、MB的关系，并加以证明；
（2）把△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是否成立？
（3）将△ADE绕点A逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。
--5--