北师大版九年级下册数学 2.2二次函数的图像与性质 同步习题（word版含答案）

2.2二次函数的图像与性质
同步习题
一．选择题
1．对于二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．有最低点，坐标是（1，2）
B．有最高点，坐标是（﹣1，﹣2）
C．有最高点，坐标是（1，2）
D．有最低点，坐标是（﹣1，﹣2）
2．不论m取任何实数，抛物线y＝a（x+m）2+m+1（a≠0）的顶点都（　　）
A．在y＝x+1直线上
B．在直线y＝﹣x﹣1上
C．在直线y＝﹣x+1上
D．不确定
3．将抛物线y＝x2图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+3
B．y＝（x﹣1）2+3
C．y＝（x+1）2+2
D．y＝（x﹣1）2+2
4．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（　　）
A．当x＜1
时，y
随x
的增大而增大
B．当x＜1
时，y
随x
的增大而减小
C．当x＜﹣1
时，y
随x
的增大而增大
D．当x＜﹣1
时，y
随x
的增大而减小
5．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
6．抛物线y＝x2+（k﹣1）x+3的对称轴在y轴右侧，则k的取值范围是（　　）
A．k＞1
B．k＜1
C．k＞3
D．k＜3
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣4
0
2
2
0
﹣4
…
下列结论：
①抛物线开口向下；
②当﹣1＜x＜2时，y＞0；
③抛物线的对称轴是直线；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．
其中所有正确的结论为（　　）
A．①②③
B．①③
C．①③④
D．①②③④
8．在同一坐标系中，一次函数y＝mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．下列抛物线中，与抛物线的形状、大小、开口方向都相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．y＝﹣x2+3x﹣5
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＜0；
③4a﹣2b+c＜0；
④（a+c）2＞b2
其中正确的个数有（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣2a+1，当1＜x＜3时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是　
　．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且对称轴在y轴右侧，设M＝a+b+c，则M的取值范围是　
　．
13．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　
　．（用“＜”符号连接）
14．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2（x﹣1）2+1的图象绕坐标原点旋转180°所得的新抛物线的解析式是　
　．
15．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为　
　．
三．解答题
16．画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．
（1）先求顶点坐标：（　
　，　
　）；
（2）列表
x
…
…
y
…
…
（3）画图．
17．已知：抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小，求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围．
18．（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0
（2）已知点（5，0）在抛物线y＝﹣x2+（k+1）x﹣k上，求出抛物线的对称轴．
19．抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点，求它的开口方向，对称轴和顶点．
20．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上．
①当m＝﹣2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
21．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），有最高点，
故选项B中的说法正确，选项A、C、D中的说法错误；
故选：B．
2．解：∵抛物线y＝a（x+m）2+m+1（a≠0），
∴顶点坐标是（﹣m，m+1），
∴顶点在直线y＝﹣x+1上．
故选：C．
3．解：将抛物线y＝x2图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为：y＝（x+1）2+2．
故选：C．
4．解：∵y＝2（x+1）2+1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+3的开口向下，对称轴是直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1＜2，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
6．解：∵抛物线y＝x2+（k﹣1）x+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
又∵抛物线y＝x2+（k﹣1）x+3的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
解得，k＜1，
故选：B．
7．解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝，故③正确，
由抛物线的对称轴可知，当x＞时，y随x的增大而减小，当x＜时，y随x的增大而增大，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①正确，
由表格数据可知，当﹣1＜x＜2时，y＞0，故②正确；
根据表格数据可知当x＝时，y＞2，故抛物线的最大值大于2，故④错误，
故选：A．
8．解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线的开口向下，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，m＜0，n2＞0，正确；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，m＞0，错误，
故选：C．
9．解：∵抛物线的形状是抛物线，开口向下，
∴抛物线的形状、大小、开口方向都相等的函数的二次项系数是，
故选：B．
10．解：①根据函数图象的开口向下知，a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣在y轴左边，
∴，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0．
故①的结论正确；
②∵抛物线的对称轴在（﹣1，0）的右边，
∴，
∴，
∵a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，
故②的结论正确；
③由函数图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，
即y＝4a﹣2b+c＜0，
故③的结论正确；
④（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故④的结论错误；
故选：C．
11．解：根据题意得：当a＜0时，﹣≤1，
解得：a＜0；
当a＞0时，﹣≥3，
解得：a≤．
二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣2a+1中，a≠0，
综上所述：a的取值范围是a≤且a≠0．
12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），
∴a﹣b+c＝0，c＝2，
即b＝a+2，
∵抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴b＝a+2＞0，即a＞﹣2，
∵a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，
∴a+b+c＝2b＞0，
∴a+b+c＝2b＝2a+4，
∵﹣2＜a＜0，
∴0＜a+b+c＜4．
∴0＜M＜4．
故答案为：0＜M＜4．
13．解：∵y＝x2﹣3x，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝，
∵A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，且0＜1＜＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为y2＜y1＜y3．
14．解：∵抛物线线y＝2（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），点（1，1）关于原点的对称点为（﹣1，﹣1），
∴抛物线y＝2（x﹣1）2+1的图象绕坐标原点旋转180°所得的新抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2﹣1．
故答案为y＝﹣2（x+1）2﹣1．
15．解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣）2﹣，
∴a﹣b的最小值为﹣，
故答案为﹣．
16．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9
∴其顶点坐标为（1，﹣9）
故答案为：1，﹣9
（2）列表
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣5
﹣8
﹣9
﹣8
﹣5
0
…
（3）画图：
17．解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝±1，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴m＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x，
当y＜0时，对应x的取值范围为0＜x＜3．
18．解：（1）用配方法解方程：x2+4x+1＝0，
移项得：x2+4x＝﹣1，
配方得：x2+4x+4＝﹣1+4，
（x+2）2＝3，
开平方得：x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）将点（5，0）代入y＝﹣x2+（k+1）x﹣k得：
0＝﹣52+5（k+1）﹣k，
解得：k＝5．
∴解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x＝3．
19．解：∵y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8），
∴，
解得：，
∴函数的解析式为y＝﹣2x2+12x﹣8＝﹣2（x﹣3）2+10，
∴开口向下，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，10）．
20．解：（1）把点P（2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2）；
（2）①当m＝﹣2时，n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11．
21．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），
∴﹣＝1，＝2，
解得m＝﹣2，n＝3；
（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，
∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，
∴﹣2≤xQ≤2，
由图象可知，2≤yQ≤11
即2≤b≤11．
（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；
由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，
∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），
∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，
把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，
∴n＝0，
∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．