人教版八年级上册 14.3 因式分解 讲义（无答案）

因式分解
考纲梳理
重点：
（1）因式分解的意义
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解；
（2）因式分解的方法
提公因式法
平方差公式法
完全平方公式法
分组法和十字相乘法
难点：
因式分解的实际应用
因式分解在几何中的应用
因式分解在实际生活中的应用
二、考点梳理
（一）提公因式法
1.
公因式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。
2.
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因
式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提
取公因式法。简称提公因式法。
3.
确定公因式的一般方法：
①各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数;
②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;
③它们的乘积就是多项式的公因式.
4.
典例精讲
例
1:
用提公因式法分解因式(先找公因式)
(1)3a2－9ab2
(2)－5x2
+
25x3
(3)4x3y+2x2y2－6xy3
(4)－9m2n－3mn2+27m3n4
(5)2(x+y)2－4x(x+y)
(6)2(a－1)+a(1－a)
例
2:
已知,x+y=2,xy=－3,求x2y+xy2的值.
5.
练一练
1、对下列多项式进行因式分解
①－20a－25ab
②－
③
④
⑤3a2－9ab
2、填一填：
(1)
=
____________
(2)代数式与的公因式为____________
(3)
(4)16
a
b
x
+
2
a
x
=
2
a
x
(____________)
3、把下列各式分解因式
①3
x3
－3x2
–9x
②
8a2c+
2bc
③－4a3b3
+6a2b－2ab
④
a(x－y)+by－bx
(二)
平方差公式法
1.
观察变形：整式乘法：(a+b)
(a－b)=
a2－b2
因式分解：a2－b2=(a+b)
(a－b)
我们可以运用平方差公式来分解因式
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
①由两部分组成
；
②两部分符号相反；
③每部分都能写成某个式子的平方。
3.注意：
①公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式。
②分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
③一定要分解到每个因式都不能再分解为止。
典例精讲
例1.
①－m2n2+4p2
②x2－y2
③(x+z)2－(y+z)2
练一练
请问993－99能否被100整除？
2、怎样把多项式4x3y
－
9xy3分解因式？
3、分解因式：（注意分解彻底）
（1）4x3－x
(
2
)
(3x－4y)2－（4x+3y）2
（3）a4－81
（4）16（3m－2n）2－25（m－n）2
（三）完全平方公式法
1.
利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
2.
完全平方公式特点：
①含有三项；
②两平方项的符号同号；
③首尾2倍中间项
典例精讲
例1.
(先观察再因式分解)
①x2＋14x＋49
②
③
3ax2＋6axy＋3ay2
④
-x2-4y2＋4xy
⑤
⑥
16x4-8x2＋1
练一练
(1)若x2-8x+m是完全平方式,则m=
(2)
若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=(
)
A.
6
B.
12
C.
±6
D.
±12
(3)提高计算：
(y2
+
x2
)2
-
4x2y2
(a+1)2-2(a2-1)
＋(a-1)2
已知x2+4x+y2-2y+5=0,求
x-y
的值
(四）分组分解法和十字相乘法
1.
分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式，又不能直接利用公式分解。但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组，再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例：a2-b2+a-b
=（a2-b2）+（a-b）因式分解
⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
2.
十字相乘法：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中若能把常数项q分解成两个因式a,b的积，且a+b等于一次项系数中的p，则就可以分解成
x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
例：x2+3x+2因式分解
（1）注意：此公式的三个条件要理解
二次项系数是1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和
十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:
常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数符号相同。
常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的
符号相同。
练一练
x2-2x+1-y2
(2)x2-y2-z2-2yz
(3)a2+2ab+b2-ac-bc
a2-ab+ac-bc
(5)x2+9x+14
(6)x2+8x+12
x2-7x+10
(8)x2-2x-8
五、课后作业
A组
1.若x2-px+q=(x+a)(x+b),则p=(
)
A
ab
B
a+b
C
-ab
D
–(a+b)
2.若x2+(a+b)x+5b=x2-x-30,则b=(
)
A
5
B
-6
C
-5
D
6
3.多项式x2-3x+a可分解为（x-5）（x-b）,则a,b的值分别为（
）
A
10，-2
B
-10，
2
C
10，2
D
-10，-2
4.不能用十字相乘法分解的是（
）
A
x2+x-2
B
3x2-10x+3
C
5x2-6xy-8y2
D
4x2+x+2
5.下述多项式分解后，有相同因式（x-1）的多项式有（
）个
①x2-7x+6
②
3x2+2-1
③x2+5x-6
④
4x2-5x-9
⑤x4+11x2-12
A
2
B
3
C
4
D
5
6.若m2-5m-6=(m+a)(m+b)，求a，b的值。
7.若x-y=6,
xy=,则代数式x3y-2x2y2+xy3的值为？
8.已知x+y=2,
xy=a+4
，x2+y2=1
求a的值.
B组
选择
1.
下列各式从左边到右边的变形中是因式分解的是（
）
A
a(x+y)=ax+ay
B
x?-4x-4=
(x-4)
?
C
10x?-5x=5x(2x-1)
D
x?-16+3x=(x+4)(x-4)+3x
下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（
）
A
x?+4y?
B
x?-2y+1
C
–x?+4y?
D
–x?-4y?
3.
把代数式ax?-
4ax+4a?分解因式，下列结果中正确的是（
）
A
a(x-2)
?
B
a(x+2)
?
C
a(x-4)?
D
a(x-2)
(x+2)
4.
在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（
）。
A、a2＋b2=(a＋b)(a－b)
B、(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
C、(a－b)2=a2－2ab＋b2
D、a2－b2=(a－b)2
填空
5.
分解因式：2y?-18=
6.
分解因式：x?-10x?+25x=
7.
分解因式：(2a-1)
?
-
b?=
8.
若a+b=1,a-b=2006，则a?-b?=
9.
在多项式4x?+1中添加一个单项式，使其成为完全平方式，则添加的单项式为
（只写出一个即可）
三、计算
10.
利用因式分解简便计算：
（1）57×99+44×99-99
（2）
11.
分解因式：
（1）(a-b)?+4ab
(2)
4xy?-4x?y-y?
12.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明△ABC是等边三角形.