17.1第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
【基础练习】
知识点 勾股定理的实际应用
1.如图1所示(示意图),如果梯子AB的底端B到某高楼竖直墙面底端的距离BC为5米,那么13米长的梯子AB的顶端A距地面的高度是
( )
图1
A.12米
B.13米
C.14米
D.15米
2.如图2是某校的长方形水泥操场,如果一学生要从A角走到C角,至少要走( )
图2
A.140米
B.120米
C.100米
D.90米
3.
如图3,一棵大树在一次强台风中在距地面5
m处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12
m,则这棵大树在折断前的高度为( )
图3
A.10
m
B.17
m
C.18
m
D.20
m
4.如图4,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 米.?
图4
5.如图5,一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪A处的正前方30
m的C处,过了2
s后,测得小汽车与车速检测仪间的距离为50
m(∠ACB=90°).若规定小汽车在该城市道路上的行驶速度不得超过70
km/h,则这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1
m/s=3.6
km/h)
图5
6.数学活动课上,老师组织学生测量学校旗杆的高度,同学们发现将系在旗杆顶端的绳子拉直垂到地面后还多1米,同学们把绳子的末端拉开5米后,发现绳子末端刚好接触地面,求旗杆的高度.(旗杆顶端滑轮上方的部分忽略不计)
7.如图6是一副秋千架,图①是从正面看,当秋千绳子自然下垂时,踏板离地面0.5
m(踏板厚度忽略不计).图②是从侧面看,当秋千踏板荡起至点B位置时,点B离地面的垂直高度BC为1
m,离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5
m(不考虑支柱的直径).求秋千支柱AD的高.
图6
【能力提升】
8.如图7为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少为
( )
图7
A.4米
B.8米
C.9米
D.7米
9.如图8,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙上,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙上,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为
( )
图8
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
D.2.4米
10.如图9,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为A(1,2),C(5,2),B(5,4),则AB的长为 .?
图9
11.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,由图中的尺寸(单位:mm)得两圆孔中心A和B的距离为 mm.?
12.有一根长为7
cm的木棒,要将其放进长、宽、高分别为5
cm,4
cm,3
cm的长方体木箱中,
(填“能”或“不能”)放进去.?
13.如图,圆柱形玻璃杯高为14
cm,底面周长为32
cm,在杯内壁离杯底5
cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3
cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)?
14.如图,甲、乙两船同时从港口A出发,甲船以16海里/时的速度沿南偏东50°方向航行,乙船沿北偏东40°方向航行.3
小时后,甲船到达B岛,乙船到达C岛.若B,C两岛相距60海里,则乙船的速度是多少?
15.如图所示,一架梯子AB长25米,斜靠在一竖直的墙上.
(1)若梯子底端离墙7米,则这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)在(1)的条件下,如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?
16.如图,红星村A和幸福村B在河岸CD的同侧,它们到河岸CD的距离AC,BD分别为1千米和3千米,又知道CD的长为3千米,现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水,铺设水管的工程费用为每千米20000元.
(1)请在CD上选取水厂的位置,使铺设水管的费用最省;
(2)求铺设水管的最省总费用.
答案
1.A
2.C .
3.C
4.10 .
5.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30
m,AB=50
m,
根据勾股定理可得BC===40(m),
∴小汽车的速度v==20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h).
∵72
km/h>70
km/h,
∴这辆小汽车超速了.
6.解:如图,设旗杆AC的高度为x米,则绳子AB的长度为(x+1)米.
在Rt△ABC中,
根据勾股定理可得x2+52=(x+1)2,
解得x=12.
故旗杆的高度为12米.
7.解:设AD=x
m,则由题意可得AB=(x-0.5)m,AE=(x-1)m.
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2.
即(x-1)2+1.52=(x-0.5)2,
解得x=3.
答:秋千支柱AD的高为3
m.
8.D
9.C
10.2 .
11.150
12.能
13.20
14.解:由题意,得∠CAB=180°-40°-50°=90°,AB=16×3=48(海里).
∵BC=60海里,
∴AC===36(海里),36÷3=12(海里/时),
∴乙船的速度是12海里/时.
15.解:(1)在Rt△AOB中,∵AB=25米,OB=7米,∴OA===24(米).
答:这个梯子的顶端距地面24米.
(2)在Rt△A'OB'中,∵A'O=24-4=20(米),A'B'=25米,
∴OB'===15(米),∴BB'=15-7=8(米).
答:梯子的底端在水平方向滑动了8米.
16.解:(1)如图,延长AC到点F,使AC=CF,连接BF,交CD于点E,
则在CD上选取水厂的位置是点E时,可使铺设水管的费用最省.
(2)如图,过点B作BN⊥CA,交CA的延长线于点N.
又∵AC⊥CD,BD⊥CD,
∴∠BNC=∠NCD=∠BDC=90°,
∴四边形NCDB是长方形,
∴BN=CD=3千米,BD=CN=3千米.
∵AC=CF=1千米,
∴NF=3+1=4(千米).
在Rt△BNF中,由勾股定理得BF===5(千米).
∵AC⊥CD,AC=CF,
∴AE=EF,
∴AE+BE=EF+BE=BF=5千米,
∴铺设水管的最省总费用是20000×5=100000(元).17.1第3课时 利用勾股定理作图、计算
【基础练习】
知识点
1 利用勾股定理在数轴上表示实数
1.
如图,数轴上点A对应的数是0,点B对应的数是1,BC⊥AB,垂足为B,且BC=2,以A为圆心,AC的长为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数为( )
A.2.2
B.
C.
D.
2.如图所示,在正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示的数是 .?
3.在数轴上作出表示,的点.
知识点
2 勾股定理与网格
4.如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB的长为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为
( )
A.
B.0.8
C.3-
D.
5.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出线段AB=,CD=,EF=.
知识点
3 勾股定理与图形折叠
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧的交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 .?
7.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8
cm,BC=10
cm,求CE的长.
【能力提升】
8.在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(0,4).以A为圆心,AB长为半径画弧,与x轴交于点C,则点C的坐标为 .?
图1
9.为了比较+1与的大小,可以构造如图1所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC边上,且BD=AC=1.通过计算可得+1 ?.(填“>”“<”或“=”)
图2
10.如图2,在长方形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N;②作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则长方形的对角线AC的长为 .?
11.如图3是4张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合下列要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:
(1)画一个直角边长为4,面积为6的直角三角形;
(2)画一个底边长为4,面积为8的等腰三角形;
(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;
(4)画一个边长为2,面积为6的等腰三角形.
图3
12.如图4,在长方形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,沿BD折叠△BCD,使点C落在C'处,BC'交AD于点E.
(1)BE与DE相等吗?请说明理由;
(2)求阴影部分的面积.
图4
13.图5甲是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1.
细心观察图形,认真分析下列各式,然后解答问题:
()2+1=2,S1=;()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;….
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律,并计算出OA10的长;
(2)求出+++…+的值.
图5
答案
1.D
2.-
3.解:由于=,如图①所示,可作以3,1为直角边长的直角三角形,其斜边为OA,在数轴正半轴上截取OB=OA,则点B为表示的点.
由于=,如图②所示,取点B使OB=1,以点B为直角顶点,BO为一条直角边作直角∠ABO,以点O为圆心,4为半径画弧,交∠ABO的另一条直角边于点A,连接AO,在数轴正半轴上截取OC=AB,则点C为表示的点.
4.C .
5.解:示例如图:
6.1.6 .
7.解:由折叠的性质,知AD=AF=10
cm,DE=EF.
在Rt△ABF中,BF====6(cm),
∴CF=BC-BF=4
cm.
设CE=x
cm,则DE=EF=(8-x)cm.
在Rt△FEC中,
由勾股定理,得CF2+CE2=EF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,即CE=3
cm.
8.(-2,0)或(8,0) .
9.>
10.
11.解:(1)如图①,直角边长分别为4,3的直角三角形.
(2)如图②,底边长为4,底边上的高为4的等腰三角形.
(3)如图③,直角边长为的等腰直角三角形.
(4)如图④,底边长为2,底边上的高为3的等腰三角形.
12.解:(1)BE=DE.
理由如下:
由折叠的性质,得∠C'BD=∠CBD.
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EDB=∠C'BD,
∴BE=DE.
(2)∵在Rt△ABE中,BE2=AE2+AB2,BE=DE,
∴DE2=(8-DE)2+36,解得DE=,
∴S阴影部分=××6=.
13.解:(1)根据勾股定理,得OA2==,OA3=,OA4=2,…,OA10=,…,OAn=.
S1=,S2=,S3=,…,S10=,…,Sn=.
(2)+++…+=2+2+2+…+2==.
