17.2 第1课时 勾股定理的逆定理及应用
【基础练习】
知识点
1 勾股定理的逆定理的应用
1.在△ABC中,AB=8,AC=15,BC=17,则该三角形为
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
2.以下列各组数为三角形的三边长,其中能够构成直角三角形的是
( )
A.32,42,52
B.7,24,25
C.8,13,17
D.10,15,20
3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,满足下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为
( )
①∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;②a=6,b=6,∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°;④a=7,b=24,c=25;
⑤a=2,b=3,c=4.
A.2
B.3
C.4
D.5
4.在解答“判断由长为,2,的三条线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中,小明是这样做的:
解:设a=,b=2,c=,因为a2+b2=2+22=≠=c2,所以由a,b,c三条线段组成的三角形不是直角三角形.
你认为小明的解答正确吗?若不正确,请改正.
5.
判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=5,b=13,c=12;
(2)a=4,b=5,c=6;
(3)a∶b∶c=3∶4∶5.
知识点
2 互逆命题与互逆定理
6.下列各命题的逆命题是假命题的是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等
D.如果a2=b2,那么a=b
7.已知下列命题:①若a>b,则a2>b2;②若a>1,则(a-1)0=1;③两个全等的三角形的面积相等;④三条边相等的三角形是等边三角形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
8.下列命题是否成立?说出它们的逆命题,这些逆命题成立吗?
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)若x=1,则x2-1=0.
知识点
3 勾股数
9.下列为勾股数的是
( )
A.2,3,4
B.,,
C.6,7,8
D.5,12,13
10.将勾股数3,4,5扩大2倍、3倍、4倍……可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数:
.?
11.古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.请你利用这个结论写出一组勾股数 .?
【能力提升】
12.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0,则下列对△ABC的形状描述最确切的是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
13.如图1,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,那么这个三角形为
( )
图1
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
14.有五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
图2
15.如图3,在△ABC中,D是BC边上的点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长.
图3
16.如图4,△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上,网格中每个小正方形的边长均为1.
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)求点B到AC的距离.
图4
17.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC是不是直角三角形,并说明理由.
答案
1.B
2.B
3.C
4.解:小明的解答不正确.改正:因为<<2,且2+2=22,所以由长为,2,的三条线段组成的三角形是直角三角形.
5.解:(1)∵52+122=169,132=169,
∴52+122=132,
∴这个三角形是直角三角形.
(2)∵42+52=41,62=36,∴42+52≠62,
∴这个三角形不是直角三角形.
(3)设三角形的三边长分别为3k,4k,5k.
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴这个三角形是直角三角形.
6.C
7.D
8.解:(1)命题成立.逆命题:同旁内角互补,两直线平行.逆命题成立.
(2)命题成立.逆命题:若x2-1=0,则x=1.
逆命题不成立.
9.D
10.答案不唯一,如:5,12,13;7,24,25
11.4,3,5(答案不唯一)
12.C
13.B
14.C
15.解:因为AB2=169,AD2=144,BD2=25,
所以AB2=AD2+BD2,所以△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,所以∠ADC=90°.
在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2,
故CD==9.
16.解:(1)证明:由勾股定理,得AB=,BC=2,AC=,
∴AB2+BC2=65=AC2,
∴△ABC为直角三角形.
(2)由(1)可知∠ABC=90°,作AC边上的高BD,由S△ABC=AB·BC=AC·BD,
得××2=×BD,
解得BD=,
即点B到AC的距离为.
17.解:△ABC是直角三角形.
理由:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,
∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0,
即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,
∴a=3,b=4,c=5.
∵a2+b2=32+42=25=52=c2,
∴△ABC是直角三角形.第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
【基础练习】
知识点
1 勾股定理的逆定理与实际应用
1.现有四根木棒,长度分别为2
cm,6
cm,8
cm,10
cm,从中任取三根木棒为边,能组成直角三角形的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.一个工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高,并按顺序记录下数据,量完后,不小心与其他记录的数据混淆了,请你帮助这位工人师傅从下列数据中找出这个等腰三角形工件的数据
( )
A.13,10,10
B.13,10,12
C.13,12,12
D.13,10,11
3.一根电线杆高12
m,为了安全起见,在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5
m处加一根拉线.拉线工人发现所用线长为13.2
m(不计捆缚部分),则电线杆与地面 .(填“垂直”或“不垂直”)?
4.
如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一小时后分别位于点Q,R处,且相距20海里.如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行,你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗?请说明理由.
知识点
2 勾股定理及其逆定理的综合应用
5.如图是一个零件的示意图,测量AB=4
cm,BC=3
cm,CD=12
cm,AD=13
cm,若∠ABC=90°,则∠ACD= °.?
6.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.
7.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,AC=4,BC=3,BD=1.8.
(1)求CD的长;
(2)求AB的长;
(3)△ABC是直角三角形吗?请说明理由.
【能力提升】
8.在数学活动课上,老师要求学生在如图17-2-9所示的4×4的正方形ABCD网格(小正方形的边长均为1)中画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边均不在网格线上,则画出的不全等的直角三角形有
( )
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
9.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=1,CD=,DA=1,且∠B=90°.求:
(1)∠BAD的度数;
(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号).
10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=5,BC边上的中线AD=2,延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.
(1)求证:△DEC≌△DAB;
(2)求证:CE⊥AE;
(3)求BC的长.
11.通过本课的学习,你一定了解了直角三角形的非角度的判定方法,即在一个三角形中,若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形.那么你是否想过,我们是否可以用这种方式来判定锐角三角形和钝角三角形呢?请你依照上课老师教你的思路,并和同学们讨论,猜想下列命题的结论:
设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三边长间的关系来判断这个三角形的形状:
①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;
②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;
③若a2例如一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边是6,由于62=36<42+52,故由上面③可知该三角形是锐角三角形,请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三条边长分别是2,3,4,则该三角形是 三角形;?
(2)若一个三角形的三条边长分别是3,4,x,且这个三角形是直角三角形,则x的值为 ;?
(3)若一个三角形的三条边长分别是,mn,,请判断这个三角形的形状,并说明理由.
答案
1.B
2.B
3.不垂直
4.解:“海天”号沿北偏西40°方向航行.
理由:由题意可得RP=12海里,PQ=16海里,QR=20海里.
∵162+122=202,
∴△RPQ是直角三角形,∠RPQ=90°.
∵“远航”号沿北偏东50°方向航行,
∴“海天”号沿北偏西40°方向航行.
5.90
6.解:连接AC.根据勾股定理可以得到AC=BC==,AB==.
∵()2+()2=()2,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°.
7.解:(1)∵CD是AB边上的高,
∴△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,
∴CD===2.4.
(2)∵CD是AB边上的高,
∴△ADC是直角三角形,
∴AD===3.2,
∴AB=AD+BD=3.2+1.8=5.
(3)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AC=4,BC=3,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
8.C
9.解:(1)连接AC.
∵AB=BC=1,∠B=90°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,AC==.
又∵CD=,DA=1,
∴AC2+DA2=CD2.
∴△ADC为直角三角形,∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°.
(2)∵S△ABC=AB·BC=,
S△ADC=AD·AC=,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=.
10.解:(1)证明:在△DEC和△DAB中,
∴△DEC≌△DAB.
(2)证明:由(1)知△DEC≌△DAB,
∴CE=AB=3.
∵AD=2,DE=AD,
∴AE=4.
在△AEC中,
∵AE2+CE2=42+32=25,AC2=52=25,
∴AE2+CE2=AC2,
∴∠E=90°,即CE⊥AE.
(3)在Rt△DEC中,DC==,故BC=2DC=2.
11.解:(1)∵22+32<42,
∴该三角形是钝角三角形.
故答案为钝角.
(2)分两种情况:
①当x为斜边长时,x==5;
②当x为直角边长时,斜边长为4,x==.
综上所述,x的值为5或.
(3)这个三角形是直角三角形.
理由:∵>,>mn,2+(mn)2=2,
∴这个三角形是直角三角形.
