18.1.2 第1课时 从两组对边或对角或对角线的角度判定平行四边形
【基础练习】
知识点
1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中,AB=4
cm,BC=5
cm,当CD=
cm,DA=
cm时,四边形ABCD是平行四边形.?
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A= °.?
3.如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧,再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD为 四边形.?
4.用两个全等的三角形(三边都不相等)拼成平行四边形,有 种拼法.?
知识点
2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.要使四边形ABCD是平行四边形,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能为
( )
A.2∶3∶6∶7
B.3∶4∶5∶6
C.3∶3∶5∶5
D.4∶5∶4∶5
6.在下列条件中,不能确定四边形ABCD为平行四边形的是
( )
A.∠A=∠C,∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=90°
C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°
D.∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°
知识点
3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
7.将两根木条AC,BD的中点重叠,并用钉子固定,则四边形ABCD为平行四边形,理由是?
.?
8.已知:如图在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
9.已知:如图1,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,连接DE,DF,BE,BF,四边形DEBF是平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.
图1
【能力提升】
10.顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD,②BC=AD,③∠A=∠C,④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A.5种
B.4种
C.3种
D.1种
11.如图2,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,E是边CD上一点,连接BE并延长,与AD的延长线相交于点F,请你只添加一个条件: ,使四边形BDFC为平行四边形.?
图2
12.如图3,在四边形ABCD中,AD=AC=BC,∠B=∠D=40°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
图3
13.如图4,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B,C作射线AD的垂线,垂足分别为E,F,连接BF,CE.
(1)求证:四边形BECF是平行四边形;
(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
图4
14.如图5所示,以△ABC(∠BAC≠60°)的三边AB,BC,CA为边,在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF.
求证:四边形ADEF为平行四边形.
图5
15.如图6,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD,②AO=CO,③AD=BC中任意选取两个作为条件,“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题.
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例.
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明(命题请写成“如果……那么……”的形式).
图6
答案
1.4 5
2.70
3.平行
4.3
5.D
6.D
7.对角线互相平分的四边形是平行四边形
8.证明:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.
在△ABO与△CDO中,
∴△ABO≌△CDO,∴OA=OC.
又∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
9.证明:如图,连接BD,交AC于点O.
∵四边形DEBF为平行四边形,
∴BO=DO,EO=FO.
∵AF=CE,
∴AF-FO=CE-EO,即AO=CO.
又∵BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.
10.C
11.∠CBD=∠CFD(答案不唯一)
12.解:(1)∵AD=AC,∠D=40°,
∴∠ACD=40°,
∴∠DAC=180°-40°-40°=100°.
(2)证明:∵AC=BC,∠B=40°,
∴∠BAC=∠B=40°,
∴∠BAC=∠ACD,∴AB∥CD.
∵∠DAB+∠B=∠DAC+∠BAC+∠B=100°+40°+40°=180°,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
13.解:(1)证明:∵D是BC边的中点,
∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED与△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴ED=FD.
又∵BD=CD,
∴四边形BECF是平行四边形.
(2)若AF=FD,则与△ABD面积相等的三角形有△ACD,△CEF,△BEF,△BEC,△BFC.
14.证明:∵△BCE,△ACF,△ABD都是等边三角形,
∴AB=AD,AC=FC=AF,BC=EC,∠BCE=∠ACF=60°,
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE,
即∠BCA=∠ECF.
在△BCA和△ECF中,
∴△BCA≌△ECF(SAS),∴AB=EF.
又∵AB=AD,∴AD=EF.
同理:△BDE≌△BAC,
∴DE=AC=AF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
15.解:(1)以①②作为条件构成的命题是真命题.
证明如下:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.
又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,
∴△ABO≌△CDO,
∴OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)假命题:(Ⅰ)在四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.
反例:
如图①,四边形ABCD是等腰梯形,即AB∥CD,AD=BC,但由于AB≠CD,∴四边形ABCD不是平行四边形.
(Ⅱ)在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.
反例:
如图②,在?AB'CD中,对角线AC,B'D相交于点O,点B在B'D上,且CB=CB',∴AO=CO,AD=BC.但由于OD≠OB,∴四边形ABCD不是平行四边形.第2课时 从一组对边的角度判定平行四边形
【基础练习】
知识点
1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.小李拿出两段长度相等的木棒平行摆放,然后顺次连接四个端点得到的图形一定是 .理由:
.?
2.如图是一个三棱柱,若它的两个侧面ABB'A'和ACC'A'都是平行四边形,则四边形CBB'C'是不是平行四边形? .(填“是”或“否”)?
3.如图,在四边形ABCD中,E为BC延长线上一点,AD=BC,∠D=∠DCE.求证:四边形ABCD是平行四边形.
4.
如图,点E,F分别在?ABCD的边BC,AD上,BE=BC,FD=AD,连接BF,DE.求证:四边形BEDF是平行四边形.
知识点
2 平行四边形的判定方法的综合应用
5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.OA=OC,OB=OD
B.AB∥CD,AD∥CB
C.AB=CD,AD=CB
D.AB∥CD,AD=CB
6.在?ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是
( )
A.BE=DF
B.AE=CF
C.AF∥CE
D.∠BAE=∠DCF
7.
在四边形ABCD中,AD∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件: ,使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).?
知识点
3 平行四边形的性质与判定的综合应用
8.如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.
图1
9.如图2,分别延长?ABCD的边AB,CD至点E,F,连接CE,AF,其中∠E=∠F.求证:四边形AECF为平行四边形.
图2
【能力提升】
10.如图3,已知?ABCD,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE.
求证:四边形AECF是平行四边形.
图3
11.如图4,在四边形ABCD中,AD∥BC,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE交CD于点F,F是CD的中点.求证:
(1)△ADF≌△ECF;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
图4
12.如图5,将?ABCD的AD边延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=2,AD=3,∠A=60°,求CE的长.
图5
13.如图6所示,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD=∠DBC,∠AED=90°.
(1)求证:AE∥BD;
(2)过点C作CF⊥BD于点F,连接EF,求证:四边形EFCD是平行四边形.
图6
14.如图7,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6
cm,AD=9
cm.点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1
cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2
cm/s的速度由点C向点B运动,当一点到达终点时,两点同时停止运动.当点P,Q运动 s时,直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形.?
图7
答案
1.平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.是
3.证明:∵∠D=∠DCE,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC.
又∵BE=BC,FD=AD,
∴BE=FD,
∴四边形BEDF是平行四边形.
5.D
6.B
7.答案不唯一,如AD=BC
8.证明:∵DE=DC,∴∠C=∠DEC.
∵∠B=∠C,
∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE.
又∵AD∥BC,∴四边形ABED为平行四边形,
∴AD=BE.
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠ADC=∠ABC,
∴∠ADF=∠CBE.
又∵∠F=∠E,AD=CB,
∴△ADF≌△CBE,
∴AF=CE,DF=BE.
∵点E,F分别在AB,CD
的延长线上,
∴AB+BE=CD+DF,
即AE=CF.
又∵AF=CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADE=∠CBF.
∵AM⊥BC,∴AM⊥AD.
∵CN⊥AD,∴CN⊥BC,AE∥CF.
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF,∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
11.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠DAF=∠E.
∵F是CD的中点,
∴DF=CF.
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(AAS).
(2)∵△ADF≌△ECF,∴AD=EC.
∵CE=BC,
∴AD=BC.
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴DE∥FC.
∵DE=AD,F是BC边的中点,
∴DE=FC,
∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)过点D作DN⊥BC于点N.
∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=60°,
∴∠BCD=∠A=60°.
∵AB=CD=2,BC=AD=3,
∴FC=BC=,NC=CD=1,DN=,
∴FN=FC-NC=-1=,
∴CE=DF==.
13.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵∠EAD=∠DBC,
∴∠EAD=∠ADB,∴AE∥BD.
(2)∵AE∥BD,
∴∠AED+∠BDE=180°.
∵∠AED=90°,∴∠BDE=90°.
∵CF⊥BD,
∴∠CFD=90°=∠BDE,
∴DE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
又∵∠EAD=∠FBC,∠AED=∠BFC=90°,
∴△ADE≌△BCF,
∴DE=CF,
∴四边形EFCD是平行四边形.
14.2或3 第3课时 三角形的中位线
【基础练习】
知识点
1 三角形的中位线
1.在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=6
cm,则DE= cm.?
2.如图,A,B两地被池塘隔开,小康通过下列方法测出了A,B间的距离:先在直线AB外选一地点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为18
m,由此他就知道了A,B间的距离.下列有关他这次探究活动的结论中,错误的是
( )
A.AB=36
m
B.MN∥AB
C.MN=CB
D.CM=AC
3.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,△ABC的周长为8,则△ADE的周长为 .?
4.如图,在△ABC中,DE是中位线.
(1)若∠ADE=60°,求∠B的度数;
(2)若BC=8
cm,求DE的长.
5.三角形中位线定理是我们非常熟悉的定理.
(1)请你在下面的横线上,完整地叙述出这个定理:
;?
(2)根据这个定理画出图形,写出已知和求证,并对该定理给出证明.
知识点
2 三角形的中位线与平行四边形
6.如图1,以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有
( )
图1
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.如图2,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,△BEO的周长是8,则△BCD的周长为 .?
图2
8.如图3,已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点.求证:AE与DF互相平分.
图3
【能力提升】
9.如图4,在△ABC中,M是BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN.若AB=14,AC=20,则MN的长是
( )
图4
A.2
B.3
C.6
D.17
10.如图5,△ABC的中位线DE=5
cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8
cm,则△ABC的面积为 cm2.?
图5
11.如图6,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=6,依次连接△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连接△A2B2C2的三边中点,得△A3B3C3……则△AnBnCn的周长为 .?
图6
12.如图7,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,过点E作EF∥CD,交BC的延长线于点F,连接CD.
(1)求证:DE=CF;
(2)求EF的长.
图7
13.如图8,O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.
求证:四边形DEFG是平行四边形.
图8
14.在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,F是BC的中点.
(1)如图9①,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图②,请直接写出线段AB,AC,EF的数量关系.
图9
答案
1.3
2.C
3.4
4.解:(1)∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,∴∠B=∠ADE=60°.
(2)∵DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC=4
cm.
5.解:(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
(2)已知:如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.
求证:DE∥BC,且DE=BC.
证明:如图,延长DE到点F,使EF=DE,连接CF.
又∵∠AED=∠CEF,AE=CE,
∴△AED≌△CEF,
∴AD=CF,∠ADE=∠CFE,∴AD∥CF.
又∵AD=BD,∴BD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形,
∴DF∥BC,DF=BC.
又∵DE=EF,∴DE=BC.
即DE∥BC,且DE=BC.
6.C
7.16
8.证明:∵D,E,F分别是△ABC各边的中点,
∴根据中位线定理知DE∥AC,EF∥AB,
∴四边形ADEF为平行四边形,
∴AE与DF互相平分.
9.B
10.40
11.
12.解:(1)证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥BC.
又∵EF∥CD,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴DE=CF.
(2)∵四边形DEFC是平行四边形,
∴DC=EF.
∵D为AB的中点,等边三角形ABC的边长是2,
∴BC=2,AD=BD=1,CD⊥AB,
∴EF=DC=.
13.证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,
∴DG∥BC,DG=BC.
∵E,F分别是OB,OC的中点,
∴EF∥BC,EF=BC,
∴DG∥EF,DG=EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
14.解:(1)证明:∵AE⊥BD,
∴∠AED=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠DAE+∠ADE=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠ABE=∠ADE,
∴AB=AD.
又∵AE⊥BD,
∴BE=DE.
∵F是BC的中点,∴BF=FC,
∴EF=DC=(AC-AD)=(AC-AB).
(2)EF=(AB-AC).
理由:如图,延长AC交BE的延长线于点P.
∵AE⊥BP,
∴∠AEP=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∠PAE+∠APE=90°.
∵AE平分∠BAP,
∴∠BAE=∠PAE,
∴∠ABE=∠APE,
∴AB=AP.
又∵AE⊥BP,
∴BE=PE.
∵F是BC的中点,∴BF=FC,
∴EF=PC=(AP-AC)=(AB-AC).
