苏科版八年级数学上册6.4 用一次函数解决问题（Word版 含解析）

一次函数的应用
20201127
一、利用一个一次函数的方案选择
1．某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品
恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6
710元
且不超过6
810元购进这两种商品共100件．
（1）求这两种商品的进价；
（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？
2．某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌
凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌
凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种
方案的总费用最低？
3．建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这
两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表：
设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题：
（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；
（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？
（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？
二、利用两个一次函数的方案选择
4．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司
生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A
公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件
是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人
数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间
的函数关系式．
（2）问该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．
三、利用一次函数与不等式的关系进行方案选择
5．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印
刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）
之间的关系如图所示．
（1）填空：甲种收费的函数关系式是
，
乙种收费的函数关系式是
_．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份
学案，选择哪种印刷方式较合算？
6．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x
≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽
毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促
销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽
毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的
费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA和yB与x之间的关系式．
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
7．某工厂有甲种原料130
kg，乙种原料144
kg．
现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．
已
知生产每件A产品需甲种原料5
kg，乙种原料4
kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产
品需甲种原料3
kg，乙种原料6
kg，且每件B产品可获利900元．
设生产A产品x件(产品件数
为整数件)，根据以上信息解答下列问题：
（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并
求出最大利润．
四、利用一次函数与图像解决问题
8．某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟
离开起点的距离y(h)与时间x(min)的对应关系如下图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）起点A与终点B之间相距多远？
（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？
（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；
（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200
m？
9．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作
效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．
（2）求乙组加工零件总量的值．
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，
求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
10．已知
A，B两地相距60
km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是
（l1或l2）；甲的速度是
km/h，
乙的速度是
km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5
km？
11．甲、乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶
过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：
（1）分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程（千米）与时间（时）的函数解析式；（不要
求写出自变量的取值范围）
（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点处，求点距山顶的距离；
（3）在（２）的条件下，设乙同学从处继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，
在点处与乙相遇，此时点与山顶距离为1．5千米，相遇后甲、乙各自按原来的路线下
山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？
五、利用一次函数优化问题
12．库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
13．现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
一次函数的应用练习
1．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，点C在边AB上，且＝，点D为OB的中
点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为
A．（2，2）
B．（，）
C．（，）)
D．（3，3）
第1题
第2题
2．
如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．使运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是
（
）
3．如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为
（
　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是林凌从家跑步去体育场，
在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家、图中x表示时间，y表示林茂离家的距
离．依据图中的信息，下列说法错误的是
（
）
A．体育场离林茂家2.5km
B．体育场离文具店1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是60m/min
第3题
第4题
5．一天，小明从家出发匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于
是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的
快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间
相距到达路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则
小明家到学校的路程为
米．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点
B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是
．
第5题
第6题
7．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费
时，y与x的函数关系如图5所示，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
8．有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种
客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到
指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省
费用的租车方案，并求出最低费用．
9．“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路汽骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD—DE—EF所示．
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求E点坐标，并解释点的实际意义．
10．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离（km）与小王的行驶时间（h）之间的函数关系．请你根据图像进行探究：
（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段BC所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
11．快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车体息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行校的路程为千米，慢车行驶的路程为千米．下图中折线OAEC表示与x之间的函数关系，线段OD表示与x之间的函数关系．请解答下判问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，
并解释点F的实际意义．
12．从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x
h后，到达离甲地y
km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为
km/h；他途中休息了
h；
（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，
那么该地点离甲地多远？
13．A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）
的函数关系式，并求W的最大值和最小值．
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运
费W（元），并求W的最大值和最小值．
14．甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程（千米）随时间（分）变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：
（1）乙比甲晚多长时间到达李庄？
（2）甲因事耽误了多长时间？
（3）x为何值时，乙行驶的路程比甲
行驶的路程多1千米？
15．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据函数图象进行以下探究：信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为
km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇
30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
16．在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为、（km），、与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为
km，
；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10
km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
17．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米达到还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B—C—D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．
（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）在图2中，画出当“25≤x≤30”时s关于x的函数的大致图像．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）