2020-2021学年苏科版九年级数学上册2.6 正多边形与圆(word版，含答案解析）

2.6
正多边形与圆
一、选择题（共7小题；共35分）
1.
已知正六边形的边长为
，则它的内切圆的半径为
A.
B.
C.
D.
2.
一元钱硬币的直径约为
，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过
A.
B.
C.
D.
3.
蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由
个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，
的顶点都在格点上，设定
边如图所示，则
是直角三角形的个数为
A.
B.
C.
D.
4.
如图，正六边形
中，，点
是
的中点，连接
，则
的长为
A.
B.
C.
D.
5.
如图，边长为
的正六边形内有两个三角形（数据如图），则
A.
B.
C.
D.
6.
若正方形的边长为
，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
7.
如图，由
个形状大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为
，
的顶点都在格点上，则
的面积是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共5小题；共25分）
8.
如图，
为
的内接三角形，，，则
的内接正方形的面积为
?．
9.
如图，正六边形
内接于半径为
的圆，则
，
两点间的距离为
?．
10.
如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前
个正五边形，要完成这一圆环还需
?
个正五边形．
11.
如图，在
内，
是内接正六边形的一边，
是内接正十边形的一边，
是内接正
边形的一边，那么
?．
12.
若圆内接正方形的边心距为
，则这个圆内接正三角形的边长为
?．
三、解答题（共3小题；共39分）
13.
如图，
的半径为
，
的一个内接正多边形的边心距为
，求它的中心角、边长、面积．
14.
某课题学习小组在探讨一团周长为
的线圈时，发现了如下两个命题：
命题
：如图①，当线圈做成正三角形
时，能被半径为
的圆形纸片完全盖住．
命题
：如图②，当线圈做成正方形
时，能被半径为
的圆形纸片完全盖住．
请你继续探究下列几个问题：
（1）如图③，当线圈做成正五边形
时，请说明能被半径为
的圆形纸片完全盖住；
（2）如图④，当线圈做成平行四边形
时，能否被半径为
的圆形纸片完全盖住?请说明理由；
（3）如图⑤，当线圈做成任意形状的图形时，是否还能被半径为
的圆形纸片完全盖住?若能盖住，请通过计算说明；若不能盖住，请说明理由．
15.
（1）如图①，已知
是
的内接正三角形，点
为
上一动点，求证：；
（2）如图②，四边形
是
的内接正方形，点
为
上一动点，求证：；
（3）如图③，六边形
是
的内接正六边形，点
为
上一动点，请探究
，，
三者之间有何数量关系，并给予证明．
答案
第一部分
1.
B
【解析】根据题意画出图形（如图），
利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
2.
A
3.
D
【解析】
是直角边时，点
共有
个位置，即有
个直角三角形；
是斜边时，点
共有
个位置，即有
个直角三角形，综上所述，
是直角三角形的个数为
．
4.
C
5.
C
【解析】连接
，，作
于点
，如图，
因为正六边形的边长为
，
所以
是边长为
的等边三角形，即两个空白三角形面积和为
，所以
．
6.
B
【解析】，，
.
7.
B
【解析】
第二部分
8.
【解析】如图，连接
并延长交圆于点
，连接
，
则
，，
，
圆内接正方形的边长等于
，
的内接正方形的面积为
．
9.
10.
【解析】
五边形的内角和为
，
正五边形的每一个内角为
．
如图，延长正五边形的两边相交于点
，
则
，．
已经有
个正五边形，
，即完成这一圆环还需
个正五边形．
11.
【解析】如图，连接
，，，
是内接正六边形的一边，
．
是内接正十边形的一边，
，
则
，
又
，
．
12.
【解析】如图，
因为四边形
是
的内接正方形，
所以
，而
，
所以
，而
，
所以
，
在正三角形
中，作
于
，连接
，则
，
所以
，
所以
，
所以
．
所以
．
第三部分
13.
连接
．
在
中，，
，
．
，，
，，
这个内接正多边形是正方形，其面积为
，
中心角为
，边长为
，面积为
．
14.
（1）
如图甲，取正五边形
的外接圆圆心为
，
是正五边形，
，．
，
．
同理，．
正五边形
能被以
为圆心，半径为
的圆形纸片完全盖住．
??????（2）
当线圈做成平行四边形时，能被半径为
的圆形纸片完全盖住．理由如下：
连接
，
交于点
，
，
．
同理，，
平行四边形
能被以
为圆心，半径为
的圆形纸片完全盖住．
??????（3）
当线圈做成任意形状的图形时，能被半径为
的圆形纸片完全盖住．理由如下：
如图乙，取曲线上两点
，，使曲线分成相等的两部分，连接
，在其中一部分上任取一点
，连接
，，（
为
的中点），
则有
．
当线圈做成任意形状的曲线时，都可以被半径为
的圆形纸片完全盖住．
15.
（1）
如图①，延长
至
，使
，连接
．
，，，
四点共圆，
．
，
．
又
，
是正三角形，
，．
又
，，
．
，
为正三角形，
，，
，
．
??????（2）
如图②，连接
，，过点
作
交
于点
．
，
．
，
，
．
又
，
，
．
．
??????（3）
．理由如下：
如图③，过点
作
，在
上截取
，连接
．
，，，
，
，
．
又
，
，
，
．
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