北师大版九年级下册数学 2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册数学 2.5二次函数与一元二次方程 同步练习（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 93.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-14 11:17:53 | ||
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文档简介
2.5二次函数与一元二次方程
同步练习
一．选择题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0
B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x＝﹣3
D．x1＝﹣3，x2＝1
2．若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ ）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2
B．x＞2
C．x＜﹣1
D．x＜﹣1或x＞2
4．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
0
﹣1
0
3
…
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．二次函数y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），则与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（2，0）
C．（3，0）
D．（4，0）
6．已知抛物线y1＝x2+1与双曲线y2＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x＜0
C．x＜0或x＞1
D．x＜0或0＜x＜1
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA＝OC，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜
B．＜a＜
C．
D．＜a＜1
8．若y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，并且不等式4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2+2x+1
B．y＝x2+2x+2
C．y＝2x2+2x+1
D．y＝2x2+2x+2
9．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
10．已知抛物线y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：
①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；
②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；
③y的最小值不大于﹣2；
④若AB＝AC，则．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
11．已知二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是
．
12．二次函数y＝x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是
．
13．如图，若抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，则不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集是
．
14．设函数y＝﹣x2+2（m﹣1）x+m+1的图象如图所示，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为
．
15．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为
；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是
．
三．解答题
16．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且AB＝4，求点A、B的坐标．
17．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交F点A（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上任意一点，是否存在点P使得△AOP的面积为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
18．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．
故选：D．
2．解：∵二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，
∴当y＝0时，0＝kx2+2x﹣1，则△＝22﹣4×k×（﹣1）＝0，
解得，k＝﹣1，
故选：C．
3．解：由图象可知，
当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，
故选：D．
4．解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴顶点坐标为（2，﹣1），
∴抛物线的开口向上，
∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，
∴x＝0，y＝﹣3错误．
故选：A．
5．解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点为（4，0），
所以抛物线与x轴另一个交点的坐标为（4，0）．
故选：D．
6．解：由图可知，x＜0或x＞1时抛物线在双曲线上方，
所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞1．
故选：C．
7．解：∵OA＝OC，A（m，0），
∴C（0，m），即c＝m，
则抛物线解析式为y＝ax2+bx+m，
根据题意知抛物线对称轴x＝﹣＝，
可得b＝﹣am﹣an①，
将点A（m，0）代入y＝ax2+bx+m，得：am2+bm+m＝0，即am+b+1＝0，
∴b＝﹣am﹣1
②，
由①、②可得﹣am﹣1＝﹣am﹣an，
即an＝1，a＝，
∵4＜n＜5，
∴＜a＜，
故选：B．
8．解：由4x≤ax2+bx+c得：ax2+（b﹣4）x+c≥0，
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴a＞0，且（b﹣4）2﹣4ac≤0．
∵ax2+bx+c≤2（x2+1），
∴（2﹣a）x2﹣bx﹣c+2≥0．
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴2﹣a＞0，且b2﹣4（2﹣a）（c﹣2）≤0．
又∵a为整数，
∴a＝1．
故可排除C、D．
∴（b﹣4）2﹣4c≤0且b2﹣4（c﹣2）≤0．
将b＝2，c＝1代入不等式成立，故A正确．
将b＝2，c＝2代入不等式时b2﹣4（c﹣2）≤0不成立，故D错误．
故选：A．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
10．解：①y＝ax2+（2﹣a）x﹣2＝（x﹣1）（ax+2）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴有2个交点，
∴△＝（2﹣a）2+8a＝（a+2）2＞0，
∴a≠﹣2．
∴该抛物线的对称轴为：x＝＝﹣．无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，﹣2）可知，y的最小值不大于﹣2，故③正确；
④∵A（1，0），B（﹣，0），C（0，﹣2），
∴当AB＝AC时，＝，
解得
．故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2﹣4ac＝4﹣4a＝0，
∴a＝1，
故答案为1．
12．解：当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
所以二次函数y＝x2﹣3x+2x的图象与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）．
故答案为（1，0）、（2，0）．
13．解：∵抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，
∴不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集为﹣2＜x＜3，
故答案为：﹣2＜x＜3．
14．解：设点A的坐标为（﹣a，0），点B的坐标为（3a，0）．
由根与系数的关系可知：﹣a+3a＝2（m﹣1），﹣a?3a＝﹣（m+1），
整理得：a＝m﹣1，3a2＝m+1
将a＝m﹣1代入得：3（m﹣1）2＝m+1．
解得：m＝2或m＝（舍去）．
故答案为：2．
15．解：函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；
方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，
如图，由图象得m＜n．
故答案为3，m＜n．
16．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵A在B右边，且AB＝4，
∴B（﹣3，0），A（1，0）．
17．解：（1）抛物线解析式为y＝x（x﹣4），
即y＝x2﹣4x；
（2）存在．
设P（x，x2﹣4x），
∵△AOP的面积为4，
∴×4×|x2﹣4x|＝4，
解方程x2﹣4x＝2得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，2）或（2﹣，2）；
解方程x2﹣4x＝﹣2得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣2）或（2﹣，﹣2）．
综上所述，P点坐标为（2+，2）或（2﹣，2）或（2+，﹣2）或（2﹣，﹣2）．
18．解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴，
∴或；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，
∴对称轴为直线x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤x＝≤2，
∵≤x≤2，
∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣+，
当x＝时，n＝﹣﹣+，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．
同步练习
一．选择题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0
B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x＝﹣3
D．x1＝﹣3，x2＝1
2．若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（ ）
A．1
B．±1
C．﹣1
D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2
B．x＞2
C．x＜﹣1
D．x＜﹣1或x＞2
4．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
0
﹣1
0
3
…
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．二次函数y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），则与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（2，0）
C．（3，0）
D．（4，0）
6．已知抛物线y1＝x2+1与双曲线y2＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞1
B．x＜0
C．x＜0或x＞1
D．x＜0或0＜x＜1
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA＝OC，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜
B．＜a＜
C．
D．＜a＜1
8．若y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，并且不等式4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2+2x+1
B．y＝x2+2x+2
C．y＝2x2+2x+1
D．y＝2x2+2x+2
9．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
10．已知抛物线y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：
①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；
②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；
③y的最小值不大于﹣2；
④若AB＝AC，则．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
11．已知二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是
．
12．二次函数y＝x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是
．
13．如图，若抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，则不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集是
．
14．设函数y＝﹣x2+2（m﹣1）x+m+1的图象如图所示，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为
．
15．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为
；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是
．
三．解答题
16．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且AB＝4，求点A、B的坐标．
17．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交F点A（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上任意一点，是否存在点P使得△AOP的面积为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
18．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
参考答案
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．
故选：D．
2．解：∵二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，
∴当y＝0时，0＝kx2+2x﹣1，则△＝22﹣4×k×（﹣1）＝0，
解得，k＝﹣1，
故选：C．
3．解：由图象可知，
当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，
故选：D．
4．解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴顶点坐标为（2，﹣1），
∴抛物线的开口向上，
∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，
∴x＝0，y＝﹣3错误．
故选：A．
5．解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点为（4，0），
所以抛物线与x轴另一个交点的坐标为（4，0）．
故选：D．
6．解：由图可知，x＜0或x＞1时抛物线在双曲线上方，
所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞1．
故选：C．
7．解：∵OA＝OC，A（m，0），
∴C（0，m），即c＝m，
则抛物线解析式为y＝ax2+bx+m，
根据题意知抛物线对称轴x＝﹣＝，
可得b＝﹣am﹣an①，
将点A（m，0）代入y＝ax2+bx+m，得：am2+bm+m＝0，即am+b+1＝0，
∴b＝﹣am﹣1
②，
由①、②可得﹣am﹣1＝﹣am﹣an，
即an＝1，a＝，
∵4＜n＜5，
∴＜a＜，
故选：B．
8．解：由4x≤ax2+bx+c得：ax2+（b﹣4）x+c≥0，
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴a＞0，且（b﹣4）2﹣4ac≤0．
∵ax2+bx+c≤2（x2+1），
∴（2﹣a）x2﹣bx﹣c+2≥0．
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴2﹣a＞0，且b2﹣4（2﹣a）（c﹣2）≤0．
又∵a为整数，
∴a＝1．
故可排除C、D．
∴（b﹣4）2﹣4c≤0且b2﹣4（c﹣2）≤0．
将b＝2，c＝1代入不等式成立，故A正确．
将b＝2，c＝2代入不等式时b2﹣4（c﹣2）≤0不成立，故D错误．
故选：A．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
10．解：①y＝ax2+（2﹣a）x﹣2＝（x﹣1）（ax+2）．则该抛物线恒过点A（1，0）．故①正确；
②∵y＝ax2+（2﹣a）x﹣2（a＞0）的图象与x轴有2个交点，
∴△＝（2﹣a）2+8a＝（a+2）2＞0，
∴a≠﹣2．
∴该抛物线的对称轴为：x＝＝﹣．无法判定的正负．
故②不一定正确；
③根据抛物线与y轴交于（0，﹣2）可知，y的最小值不大于﹣2，故③正确；
④∵A（1，0），B（﹣，0），C（0，﹣2），
∴当AB＝AC时，＝，
解得
．故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2﹣4ac＝4﹣4a＝0，
∴a＝1，
故答案为1．
12．解：当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
所以二次函数y＝x2﹣3x+2x的图象与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）．
故答案为（1，0）、（2，0）．
13．解：∵抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，
∴不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集为﹣2＜x＜3，
故答案为：﹣2＜x＜3．
14．解：设点A的坐标为（﹣a，0），点B的坐标为（3a，0）．
由根与系数的关系可知：﹣a+3a＝2（m﹣1），﹣a?3a＝﹣（m+1），
整理得：a＝m﹣1，3a2＝m+1
将a＝m﹣1代入得：3（m﹣1）2＝m+1．
解得：m＝2或m＝（舍去）．
故答案为：2．
15．解：函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；
方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，
如图，由图象得m＜n．
故答案为3，m＜n．
16．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵A在B右边，且AB＝4，
∴B（﹣3，0），A（1，0）．
17．解：（1）抛物线解析式为y＝x（x﹣4），
即y＝x2﹣4x；
（2）存在．
设P（x，x2﹣4x），
∵△AOP的面积为4，
∴×4×|x2﹣4x|＝4，
解方程x2﹣4x＝2得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，2）或（2﹣，2）；
解方程x2﹣4x＝﹣2得x1＝2+，x2＝2﹣，此时P点坐标为（2+，﹣2）或（2﹣，﹣2）．
综上所述，P点坐标为（2+，2）或（2﹣，2）或（2+，﹣2）或（2﹣，﹣2）．
18．解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴，
∴或；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，
∴对称轴为直线x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤x＝≤2，
∵≤x≤2，
∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣+，
当x＝时，n＝﹣﹣+，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．