江苏省宝应中学高二数学周周测试卷12（Word版含解析）

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江苏省宝应中学高二数学周周测试卷12
一、单选题（本大题
共8小题，共40分
1．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．不等式成立的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
3．等差数列中，，则的值为（
）
A．
B．
C．10
D．20
4．若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则该椭圆的离心率（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，，则的最小值为（
）
A．1
B．9
C．10
D．16
6．已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．0
7．已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则
①以线段为直径的圆与准线相切；
②以为直径的圆经过焦点；
③若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切；
④，，（其中点为坐标原点）三点共线；
则以上说法中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题（本大题共4小题，计20分）
9．记为等差数列的前n项和.已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知，，且，则下列结论正确的是（
）
A．B．的最小值为16C．的最小值为9
D．的最小值为2
11．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（
）
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
三、填空题（本大题共4小题，计20分）
13．有一个数阵排列如右：
则第40行从左至右第6个数字为______.
14．已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
16．如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为____．
四、解答题（本大题共6小题，计70分）
17．设p：，其中；.
（1）若p：，求a的值；
（2）若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18．设各项都为正数的等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列，设为数列的前项和，求的最小值．
19．如图，在直三棱柱中，，，.是的中点，是的中点，点在线段上，且，是与的交点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若＝，＝，＝0.
（1）求证：k1·k2＝－；
（2）试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．
21．已知椭圆标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于?两点且不过原点.
（1）求椭圆方程；
（2）若，求证：直线经过定点，并求出定点坐标；
（3）若直线??的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.
22．已知数列满足，，，.
（1）若，求，的值；
（2）证明：对任意正实数，成等差数列；
（3）若()，，求数列的通项公式.
试卷第4页，总5页
试卷第3页，总4页
参考答案
1．A
【分析】
根据命题“，”是假命题，由恒成立求解
【详解】
因为命题“，”是假命题，
所以对恒成立，
所以恒成立．
因为，
所以，则，
故．
故选：A
2．C
【分析】
解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可．
【详解】
由，即，解得或
所以不等式成立的一个必要不充分条件，
即选择不等式的解集是其真子集的选项
根据选项可得，选项C满足.
故选：C
3．A
【分析】
利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
由，
所以.
故选：A
4．B
【分析】
根据条件构造关于的方程，求解即可．
【详解】
∵椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，即，，成等比数列，
则有，
又，
则，即
解得离心率．
故选：B.
5．B
【分析】
先整理已知条件得：，则，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
由，
得，
又，，
得，
则，
当且仅当时取等号.
故选：B.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6．A
【分析】
建立空间直角坐标系，求出、，再由，运算即可得解.
【详解】
以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，
则，，，，
则，，
则，
所以直线与体对角线所成角的余弦值为.
故选：A.
7．B
【分析】
根据双曲线的对称性，得到等腰中，为锐角，可得，将此式转化为关于的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率的取值范围．
【详解】
如图，利用双曲线性可得，，
要使是锐角三角形，则只需为锐角，故，所以，
即，即，两边同除以，化简得，解得.
因为，所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的关系，本题根据双曲线的对称性，得到等腰中，为锐角，可得，将此式转化为所要求的关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
8．D
【分析】
由抛物线的性质可判断①；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断②；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线的方程，联立方程组即可判断④.
【详解】
对于①，设，则，
所以线段的中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故①正确；
对于②，连接，如图，
因为，，
所以，所以，
所以即，
所以以为直径的圆经过焦点，故②正确；
对于③，设直线，，
将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，
又，
因为，，
所以，所以，，三点共线，故③正确；
对于④，不妨设，则，
则直线，代入抛物线方程化简得，
则，
所以直线与该抛物线相切，故④正确.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；
②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.
9．AD
【分析】
设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.
【详解】
解：设等差数列的公差为，因为
所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，
解方程组得：，
所以，.
故选：AD.
10．ABD
【分析】
根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项可求的最小值，再求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量求解即可.
【详解】
A选项，由已知得，因为，所以.解得或，又，所以，故A正确.
B选项，由已知得.故(当且仅当，时等号成立).所以，得，故B正确.
C选项，，当且仅当，时等号成立，故C不正确.
D选项，由已知得，因为，所以，即，又，所以.又，所以，所以(当且仅当时等号成立)，故D正确.
11．【解析】由双曲线的定义知：，
由可得，
在中，由余弦定理可得：，解得或，
或，或，
又，可得或，故选ABCD．
12．BCD
【分析】
根据抛物线的标准方程，求得焦点的坐标，可判定A错误；设直线的方程为，根据韦达定理和向量的运算，可判定B正确；设直线的方程为，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C、D正确.
【详解】
由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
所以，故B正确；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，
所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；
因为，
所以，所以，
因为，
所以的中点到轴的距离：
，当且仅当时等号成立，
所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，
综上所述，正确命题为BCD.
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
13．1030
【分析】
利用观察法和累加法得到，进而求解即可
【详解】
第1行从左至右第6个数字：
第2行从左至右第6个数字：；
第3行从左至右第6个数字：；
第4行从左至右第6个数字：；
第5行从左至右第6个数字：；
……………………………………；
第n行从左至右第6个数字：；
利用累加法得：
，
，
得，
故答案为：1030
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于观察得到，
最后，使用累加法求出数列的通项，属于中档题
14．
【分析】
当，有，由题意等价于，恒成立，即，在上恒成立，参变分离可得：，再根据基本不等式性质，即可得解.
【详解】
当，有，
则，，使得成立，
等价于，，
即，在上恒成立，
参变分离可得：，
当，，当时取等，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了恒成立和存在性问题，考查了利用基本不等式求最值，考查转化思想，属于中档题.
15．
【详解】
该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
16．4
【解析】
试题分析：
解：设点
的坐标为：
，
由题意可知：
，
由抛物线中定值的结论可知：
，
据此可知：
，当且仅当
时等号成立，
即
的最小值为4.
点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在.
17．（1）（2）
【分析】
（1）解不等式，根据p：求出a的值；
（2）解不等式得出，再由必要不充分条件的性质得出是的真子集，即可得出实数a的取值范围.
【详解】
（1）不等式可化为
则，因为p：，所以
（2）由得，则，即
因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集
则，即
18．（1）；（2）
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，将用表示即可得到公差d，进一步得到通项公式；（2）由（1）得到，进一步得到，利用裂项相消法求得，再利用的单调性得到最小值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，由，得，即，
又，所以，解得，所以
（2）由（1）可得
所以
又，所以单调递增，所以
所以的最小值为.
19．（1）证明见详解；（2）存在，在靠近点的处.
【分析】
（1）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，即证.
（2）假设上存在点，令，利用线面角的向量求法可得，即可求解.
【详解】
如图，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
因为是的中点，所以，
因为，所以，
所以，
，，设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
所以,
所以平面.
（2）假设上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
令，则,
，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
解得（舍去），，
所以存在点，在靠近点的处.
【点睛】
方法点睛：
利用向量证明线面垂直的常用方法如下：
①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直.
②证明直线的方向向量与平面内某一条直线的方向向量平行.
③证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示.
20．（1）证明见解析；（2）为定值，理由见解析.
【分析】
（1）根据题意＝0，可得＋y1y2＝0，即＝－y1y2，由k1·k2＝即可得解；
（2）当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，和联立，结合韦达定理即可得解，当直线PQ的斜率不存在时也得到相同的结果，即可得解.
【详解】
（1）证明：∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.
又＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，
∴k1·k2＝.
（2）①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由，得.
又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴，
∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
联立得方程组
，
消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
其中＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足>0)．
∴S△POQ
综合①②知△POQ的面积S为定值1.
【点睛】
本题考查了椭圆相关的定值问题，考查了韦达定理的相关应用，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键有两个：
（1）韦达定理的应用，韦达定理是结合各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的必由之路，体现了转化思想；
（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键.
21．（1）；（2）证明见解析，直线过定点；（3）.
【分析】
（1）通过离心率以及，转化求解，，得到椭圆方程．
（2）设直线方程为设，、，，联立方程组，可得，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，得到直线系方程，然后求解定点坐标．
（3）利用（2）的结论，通过直线、、的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，利用弦长公式以及点到直线的距离，求解三角形的面积，推出范围即可．
【详解】
解：（1）由已知得，，
所以椭圆标准方程为.
（2）设直线方程为，
设?，
联立方程组，
，，
由得，
所以，
化简得，
，
化简得，
，所以或(舍去)，
所以直线过定点.
当直线斜率不存在时也符合题意.
（3）由（2）知且，
，，
因为直线??的斜率依次成等比数列，
所以，
即，又，
所以，.
由于直线的斜率存在且不为及，
得且.
设为点到直线的距离，则
，
所以的取值范围为.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．（1），；（2）证明见解析；（3），.
【分析】
（1）分别代入可得；
（2）由，再写一次有，两式相加后得，
从而可得数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，从而可得证结论；
（3）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为，按在奇偶分类讨论写出，利用不等式关系得出，从而求得，再按等差数列的性质得出结论．
【详解】
（1）当时，，所以，
当时，，所以.
（2）因为，
当时，，
两式相加得，，
即，
所以为等差数列，设公差为，为等差数列，设公差为.
所以，
所以成等差数列.
（3）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为.
①当为奇数时，，，
则，即，
所以，故.
②当为偶数时，，，
则，即，
所以，故.
综上可得，.
又，所以.
所以当为奇数时，；
当为偶数时，.
故数列的通项公式为，.
【点睛】
本题考查的递推公式，考查证明等差数列，考查学生的分类讨论思想，运算求解能力，分析问题解决问题的能力．属于难题．
答案第18页，总21页
答案第1页，总19页