上海市2021届高三上学期一模暨春考数学模拟试卷十五（12.8） PDF版含答案

2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷十五
2020.12.8
一．填空题：
2 ?1
1. 行列式 的值为
1 2
2n
2. 计算li
?m ?
n ?n?1
3. 若圆锥的侧面面积为2?，底面面积为?，则该圆锥的母线长为
4．若圆锥的侧面面积为2?，底面面积为?，则该圆锥的体积为 ．
? 2
5．已知幂函数 f(x)? x 的图像过点(2, )，则 f(x)的定义域为 ．
2
?? ?
6．已知角??? ,??，且tan???2，则sin(???)? ．
? 2 ?
1 ?1
7．若 ? 3 ? 2
f(x) x x ，则满足 f(x)?0的x的取值范围是_______________．
2 3
8．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲
3 5
组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种
新产品研发成功的概率为______________．
9．设等差数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，公差为d ．若数列? Sn?也是公差
为d 的等差数列，则{an}的通项公式为an ?_____________．
2
m
10、设奇函数 f(x)的定义域为R，当x?0时， f(x)? x? ?1（这里
x
m为正常数）．若 f(x)?m?2对一切x?0成立，则m的取值范围为 ．
11、如图，已知O 为矩形P1P2P3P4内的一点，满足OP1 ?4，
OP3 ?5，P1P3 ?7，则OP2 ?OP4 的值为 ．
o
12、将实数x，y，z中的最小值记为min?x，y，z?．在锐角ΔPOQ中，?POQ ? 60 ，
PQ ?1，点T 在ΔPOQ的边上或内部运动，且TO? min?TP，TO，TQ?，由T 所组成
的图形为M.设ΔPOQ、M的面积为SΔPOQ、SM ，若SM :(SΔPOQ ?SM)?1:2，则
SM ? ．
二．选择题：
13．已知x?R，则“x?0 ”是“x?3 ”的 （ ）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
? ? ? ? ? ? ? ? ?
14．已知向量a和b的夹角为 ，且 a ?2， b ?3，则?2a?b （ ）．
???a?2b??
3
（A）?10 （B）?7 （C）?4 （D）?1
15. 已知正方体ABCD? A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，
对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条
直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（ ）
A. ①为真命题，②为真命题
B. ①为真命题，②为假命题
C. ①为假命题，②为真命题
D. ①为假命题，②为假命题
16. 某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模
?
型：y ?0.5sin(??x? )?3.24(??0)，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时
6
刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）
A. 16时 B. 17时 C. 18时 D. 19时
三．解答题：
17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
如图，在四棱锥P? ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?底面ABCD，AD?3，
PA? AB ? 4，点E在侧棱PA上，且AE ?1，F为侧棱PC 的中点．
（1）求三棱锥E? ABD的体积；
（2）求异面直线CE与DF所成角的大小．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知?ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，复数z1 ? a?bi，
z2 ?cosA?icosB（其中i是虚数单位），且z1?z2 ?3i．
（1）求证：acosB?bcosA?c，并求边长c的值；
（2）判断?ABC的形状，并求当b? 3时，角A的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2 2
x y ? 3?
如图，已知椭圆C： 2 ? 2 ?1（a ?b?0）过点?1, ?，两个焦点为F1(?1,0)和
a b ? 2?
2 2 2
F2(1,0)．圆O的方程为x ? y ?a ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1且斜率为k（k ?0）的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、
Q两点（点A、P在x轴上方），当| AF2 |，|BF2 |，| AB|成等差数列时，求弦PQ的长．
y
P
A
· O ·
B F1 F2 x
Q
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知函数 f(x)? x|x?a|，其中a为常数.
（1）当a?1时，解不等式 f(x)?2；
（2）已知g(x)是以2为周期的偶函数，且当0? x?1时，有g(x)? f(x)，若a?0，
3 5
且g( )? ，求函数y ? g(x)（x?[1,2]）的反函数；
2 4
（3）若在[0,2]上存在n个不同的点xi（i ?1,2,???,n，n?3），x1 ? x2 ??? xn，使得
| f(x1)? f(x2)|?| f(x2)? f(x3)|?????| f(xn?1)? f(xn)|?8，求实数a的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知数列?an?的前n项和为Sn，且a1 ?1，a2 ?a．
（1）若数列?an?是等差数列，且a8 ?15，求实数a的值；
（2）若数列 *
?an?满足an?2 ?an ?2 (n?N )，且S19 ?19a10，求证：数列?an?是等差数
列；
（3）设数列?an?是等比数列．试探究当正实数a满足什么条件时，数列?an?具有如下性质
*
M ：对于任意的 *
n?2?n?N ?，都存在m?N ，使得数列?Sm ?an??Sm ?an?1??0．
写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a的集合．
参考答案：
一．填空题：
3 2 5 13 2n?1
1、5；2、2；3、2；4、 ?；5、(0,??)；6、 ；7、(1,??)；8、 ；9、 ；
3 5 15 4
3
10、?2,???；11、?4；12、 ；
12
二．选择题：
13、B；14、D；15、B；16、D；
三．解答题：
17．解：（1）依题意，可知EA为点E到底面ABCD的距离，故所求的体积为
1
VE?ABD ? ?SΔABD?EA?2．
3
（2）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、 y、z轴建立空间直角坐标系，易得
P(0，0，4)，C(4，3，0)，D(0，3，0)，E(0，0，1)，
3 ???? ???? 3
故F(2， ，2)，CE ?(?4，?3，1)，DF ?(2，? ，2)，
2 2
设异面直线CE与DF所成的角为?，则
???? ????
CE?DF 3 1066 ? ??
cos?? ???? ???? ? ，Q???0， ，
?
CE ? DF 1066 ? 2?
3 1066 3 1066
??? arccos ， 因此，异面直线CE与DF所成角的大小为arccos ．
1066 1066
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2 2 2 2 2 2
a ?c ?b b ?c ?a
（1）证明：由余弦定理得 cosB ? ,cosA? ，
2ac 2bc
2 2 2 2 2 2
a ?c ?b b ?c ?a
则 acosB?bcosA?a? ?b?
2ac 2bc
2 2 2 2 2 2
a ?c ?b b ?c ?a
? ? ?c
2c 2c
所以 acosB?bcosA?c． ……………………………3分
由题意得 (a?bi)?(cosA?icosB)?3i ，
公众号：上海maths
即 (acosA-bcosB)?(acosB?bcosA)i?3i，
由复数相等的定义可得
acosA-bcosB ?0，且acosB?bcosA?3 ，………………………5分
即 c ?3． ………………………………………………6分
（2）由（1）得 acosA-bcosB ?0． ………………………1分
由正弦定理得 sinA?cosA?sinB?cosB ?0，
即 sin2A?sin2B． ……………………………………………………2分
因为 A?(0,?)、B?(0,?)，
所以 2A?2B 或 2A?2B ??，
? ?
即 A? B或A? B ? ，即A? B或C ? ．
2 2
所以 ?ABC知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分
c
3 ?
当A? B时，cosA? 2 ? ，所以A? ； ……………………6分
b 2 6
? b 3 3
当C ? 时，sin A? ? ，所以A?arcsin ． ……………8分
2 c 3 3
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）由题意，c ?1， ………………………………………………………………（1分）
2 2
x y ? 3?
设椭圆C的方程为 2 ? 2 ?1，将点?1, ?代入，
a a ?1 ? 2?
1 9 2 2 1
2 ? 2 ?1，解得a ?4（a ? 舍去）， ………………………………（3分）
a 4(a ?1) 4
2 2
x y
所以，椭圆C的方程为 ? ?1． ………………………………………………（4分）
4 3
（2）由椭圆定义，| AF1|?| AF2 |?4，|BF1|?|BF2 |?4，两式相加，得
| AB|?| AF2 |?|BF2 |?8，因为| AF2 |，|BF2 |，| AB|成等差数列，所以
8
| AB|?| AF2 |?2|BF2 |，于是3|BF2 |?8，即|BF2 |? ． …………………（3分）
3
? 2 2 64
(x0 ?1) ? y0 ? ,
?? ? 4 15?
设 9
B(x0 , y0)，由? 解得 ? ?，…………………（ 分）
2 2 B ? ?
? , ? 5
?x0 y
? 0 ? ? 3 3 ?
? 1 ,
? 4 3
64 2
（或 设 2 2
B(2cos?, 3sin?) ，则 (2cos??1) ?3sin ?? ，解 得 cos??? ，
9 3
5 ? 4 15?
sin??? ，所以B?? ,? ?）．
3 ? 3 3 ?
? ?
所以，k ? 15，直线l的方程为 y ? 15(x?1)，即 15x? y? 15 ?0，……（6分）
圆 2 2 15
O的方程为x ? y ?4，圆心O到直线l的距离d ? ， ………………（7分）
4
公众号：上海maths
7
此时，弦 2
PQ的长|PQ|?2 4?d ? ． …………………………………………（8分）
2
20. 解：（1）解不等式x x?1 ?2
2
当x?1时，x ?x?2?0，所以1? x?2
2
当x?1时，x ?x?2?0，所以x?1，
综上，该不等式的解集为???,2? ………4分（每行1分）
（2）当0? x?1时，g?x??x x?a ，
因为g?x?是以2为周期的偶函数，
3 1 1 1 1
所以g( )? g(? )? g( )? ?a ，
2 2 2 2 2
3 5
由g( )? ，且a ? 0，得a??2， ………2分
2 4
所以当0? x?1时，g?x?? x(x?2)
所以当1? x?2时，
g?x?? g??x?? g?2?x?? ?2?x??4?x???0,3? ………4分
所以函数 y ? g?x??x??1,2??的反函数为
y ?3? x?1?x??0,3?? ………6分
（3）①当a ? 0时，在?0,2?上 f ?x?? x?x?a?，是?0,2?上的增函数，所以
f ?x1?? f ?x2? ? f ?x2?? f ?x3? ????? f ?xn?1?? f ?xn? ? f ?xn?? f ?x1?? f ?2?
所以 f ?2??2?2?a??8，得a ? ?2； ………2分
②当a ? 4时，在?0,2?上 f ?x?? x?a?x?，是?0,2?上的增函数，所以
f ?x1?? f ?x2? ? f ?x2?? f ?x3? ????? f ?xn?1?? f ?xn? ? f ?xn?? f ?x1?? f ?2?
所以 f ?2??2?a?2??8，得a ? 6； ………4分
③当0? a ? 4时， f ?x?在?0,2?上不单调，所以
f ?x1?? f ?x2? ? f ?x2?? f ?x3? ????? f ?xn?1?? f ?xn? ?2f ?x?
max
2
a a
f( )? ?4， f ?2??2 2?a ?4，
2 4
a
在?0,2?上， f ?x?
max ?max{f ( ), f ?2?}?4.
2
f ?x1?? f ?x2? ? f ?x2?? f ?x3? ????? f ?xn?1?? f ?xn? ?2f ?x?
max ?8，不满足.
综上，a的取值范围为???,?2???6,???. ………8分
a a a
③当2?a?4时，则1? ?2，所以 f(x)在[0, ]上单调递增，在[ ,2]上单调递减，
2 2 2
于是
f(x1)? f(x2) ? f(x2)? f(x3) ????? f(xn?1)? f(xn)
2 2
? a ? a a
?2fmax(x)?2? f( )? f(0)??2? ?
? 2 ? 4 2
2
a
令 ?8，解得 a??4或a?4，不符合题意；
2
a a
④当0?a?2时， f(x)分别在[0, ]、[a,2]上单调递增，在[ ,a]上单调递减，
2 2
f(x1)? f(x2) ? f(x2)? f(x3) ????? f(xn?1)? f(xn)
2 2
? a ? a a a
?2? f( )? f(0)???f(2)? f(a)??2f( )? f(2)?2? ?2(2?a)? ?2a?4
? 2 ? 2 4 2
2
a
令 ?2a?4?8，解得a?2?2 3或a?2?2 3，不符合题意．
2
综上，所求实数a的取值范围为???,?2???6,???
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）设等差数列?an?的公差为d ．由a1 ?1，a8 ?15得1?7d ?15，
解得d ?2． ………………………………………………………2分
则得 a2 ?a1?d ?1?2?3，所以a ?3．…………………………………………4分
10?9 9?8
（2）由S19 ?19a10，得 10?1? ?2?9a? ?2?19?(a?8)，
2 2
解得a ?2， …………………………………………2分
由an?2 ?an ?2，且a1 ?1，a2 ?2，得
n?1
当n为奇数时，an ?a1? ?2?n；
2
n?2
当n为偶数时，an ?a2 ? ?2?n． ………………………………………4分
2
所以对任意 *
n?N ，都有an ?n，当n?2时，an ?an?1 ?1，
所以数列?an?是以1为首项、1为公差的等差数列． …………………………………6分
其它解法，对应给分。
?
（3）由题意 n 1
an ?a ， ……………………………………………1分
①当0?a?1时，a3 ?a2 ?a1 ? Sm，
所以对任意 *
m?N ，都有?Sm ?a2??Sm ?a3??0， ………………………………2分
因此数列?an?不具有性质M ． …………………………………………3分
②当a ?1时，an ?1，Sn ?n，
所以对任意 * 2
m?N ，都有?Sm ?a2??Sm ?a3??(m?1) ?0，
因此数列?an?不具有性质M ． ．…………………………………………4分
1 1
③当1?a?2时， 2
(a?1) ?0? a(2?a)?1? ?a ? loga ?1
2?a 2?a
n
1 a ?1 n
n?loga ? ?a ? Sn ?an?1,
2?a a?1
n
1 a ?1 n
n?loga ? ?a ? Sn ?an?1
2?a a?1
? 1 ?
取?loga ? ? n0(??x??表示不小于x的最小整数)，则Sn0 ?an0?1，Sn0?1 ?an0 .
? 2?a?
所以对于任意 *
m?N ，(Sm ?an0)(Sm ?an0?1)?0，
即对于任意 *
m?N ，Sm都不在区间?an0,an0?1?内，
所以数列?an?不具有性质M ． ………………………………………………6分
n n
a ?1 ?2?a?a ?1
④当a?2时， n
Sn ?an?1 ? ?a ? ? 0，且Sn ?an，
a?1 a?1
即对任意的 *
n?2 (n?N )，都有?Sm ?an??Sm ?an?1??0，
所以当a?2时，数列?an?具有性质M ．……………………………………………7分
综上,使得数列?an?具有性质M 的正实数a的集合为[2,??)． …………………8分
③④的另解：
当a ?1时，?an?单调递增，?Sn?单调递增，且n?2时，Sn ?an．
若对任意 * *
n?2 (n?N )，都存在m?N ，使得?Sm ?an??Sm ?an?1??0，即存在Sm
在区间(an,an?1)内．
观察(a2,a3)，(a3,a4)，…，
发现在(an,an?1)内的Sm只能是Sn． ……………………………………………5分
证明：在n?1个区间(a2,a3)，(a3,a4)，…，(an,an?1)内需要n?1个Sm，
因为S1 ?a2，Sn?1 ?an?1，所以可选择的Sm只能是S2,S3,???,Sn，共n?1个．
由S2 ? S3 ????? Sn，得an ? Sn ?an?1． …………………………………………6分
n
a ?1
所以只需满足 n
Sn ?an?1恒成立，即 ?a ，
a?1
1
得 *
2? n ?a对任意n?N 都成立．
a
? 1 ? ? 1 ?
因为数列?2? n?单调递增，且li
?m
??2? n ??2，所以a?2．
? a ? n ? a ?
综上,使得数列?an?具有性质M 的正实数a的集合为[2,??)．……………………8分