上海市宝山区2021届高三上学期一模考试数学试卷(12月) Word版含答案

上海市宝山区2021届高三一模数学试卷
2020.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 若集合，，则
2. 抛物线的准线方程为
3. 已知复数满足（为虚数单位），则
4. 设向量，，则与的夹角的大小为
（结果用反三角函数值表示）
5. 已知二项式，则其展开式中的常数项为
6. 若实数、满足，则的最大值为
7. 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为
8. 方程在区间上的所有解的和为
9. 已知函数的周期为2，且当时，，那么
10. 设数列的前项和为，对任意，均有，则
11. 设函数（），给出下列结论：
① 当，时，为偶函数；
② 当，时，在区间上是单调函数；
③ 当，时，在区间上恰有3个零点；
④ 当，时，设在区间（）上的最大值为，最小值为
，则；
则所有正确结论的序号是
12. 若定义在上的函数、满足：存在，使得成立，则称
与在上具有性质，设函数与，其中，已
知与在上不具有性质，将的最小值记为，设有穷数列满足
，（，），这里表示不超过的最大整数，若去掉中的一项后，剩下的所有项之和恰可表示为（），则
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 直线的一个法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
14.“函数（，且）的最小正周期为2”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数
的中位数为4的概率为（ ）
A. B. C. D.
16. 下列结论中错误的是（ ）
A. 存在实数、满足，并使得成立
B. 存在实数、满足，并使得成立
C. 满足，且使得成立的实数、不存在
D. 满足，且使得成立的实数、不存在
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
（1）求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点到平面的距离.
18. 已知函数（）.
（1）当时，解不等式；
（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围.
19. 设函数（，）最小正周期为，且的图
像过坐标原点.
（1）求、的值；
（2）在△中，若，且三边、、
所对的角依次为、、，试求的值.
20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，为上的一点.
（1）若点的坐标为（），求△的面积；
（2）若点的坐标为，且直线（）与交于两不同点、，
求证：为定值，并求出该定值；
（3）如图，设点的坐标为，过坐标原点作圆（其中为定值，，且）的两条切线，分别交于点、，直线、的斜率分别记为、，如果为定值，试问：是否存在锐角，使得？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由.
21. 若有穷数列、、、满足，（这里、，，
，常数），则称有穷数列具有性质.
（1）已知有穷数列具有性质（常数），且
，试求的值；
（2）设（、，，，常数），
判断有穷数列是否具有性质，并说明理由；
（3）若有穷数列、、、具有性质，其各项的和为2000，将、、
、中的最大值记为，当时，求的最小值.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. ①④ 12. 3103
二. 选择题
13. C 14. B 15. C 16. A
三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）；（2）.
19.（1），；（2）1.
20.（1），；（2）定值为0；（3）不存在.
21.（1）；（2）具有性质；（3）.