北京第四高级中学校2021届高三上学期12月测试二（12.7）数学试题 Word版含答案

北京四中2020-2021学年度第一学期测试二
数学试卷
（2020.12.07）
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.若全集false，false，false，则（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.已知角false的终边经过点false，则角false可以为（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.圆false的圆心到直线false的距离为1，则false（ ）
A.false B.false C.false D.2
5.函数false在区间false内的零点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
6.在平面直角坐标系false中，点false，点B在圆false上，则false的最大值为（ ）
A.3 B.false C.false D.4
7.设false，则“false是第一象限角”是“false”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.设false，false.若false是false与false的等比中项，则false的最小值为（ ）
A.false B.false C.false D.8
9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是false℃，空气的温度是false℃，false后物体的温度false℃可由公式false求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却false后，物体的温度是40℃，若false取1.099，则t的值约等于（ ）
A.6.61 B.4.58 C.2.89 D.1.69
10.对于数列false，若存在常数M，使得对任意正整数n，false与false中至少有一个不小于M，则记作false，那么下列命题正确的是（ ）
A.若false，则数列false各项均不小于M
B.若false，false，则false
C.若false，则false
D.false，则false
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.若直线false与直线false相互平行，则实数a等于______；这两条平行直线间的距离为______.
12.已知双曲线false，则渐近线方程为______；离心率e为______.
13.已知函数false，且false是函数false的极值点，给出以下几个命题：
①false；②false；③false；④false，
其中正确命题的序号是______.
14.能够说明“存在不相等的正数a，b，使得false”是真命题的一组a，b的值为______.
15.如图放置的边长为1的正方形false沿x轴滚动.设顶点false的轨迹方程是false，则false的最小正周期为______；false在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为______.
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16.（本小题满分14分）
已知等比数列false的各项均为正数，false，false.
（Ⅰ）求数列false的通项公式；
（Ⅱ）设false.证明：false为等差数列，并求false的前n项和false.
17.（本小题满分14分）
已知椭圆false，直线l过点false与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点.
（Ⅰ）设C为false的中点，当直线l的斜率为false时，求线段false的长；
（Ⅱ）当false面积等于1时，求直线l的斜率.
18.（本小题满分14分）
已知函数false满足下列3个条件中的2个条件：
①函数false的周期为π；
②false是函数false的对称轴；
③false且在区间false上单调；
（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数false的解析式；
（Ⅱ）若false，求函数false的最值.
19.（本小题满分14分）
已知抛物线false过点false.过点false作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，
过点M作x轴的垂线分别与直线false，false交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段false的中点.
20.（本小题满分14分）
已知函数false.
（Ⅰ）求曲线false在点false处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的false，使得曲线false在点false处的切线的斜率为false；
（Ⅲ）比较false与-2.01的大小，并加以证明.
21.（本小题满分15分）
已知集合false false，函数false对于false，定义：
false，false，false，
称false为false的满意指数.排列false为排列false的生成列.
（Ⅰ）当false时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；
（Ⅱ）证明：若false和false为false中两个不同排列，则它们的生成列也不同；
（Ⅲ）对于false中的排列false，进行如下操作：将排列false从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上
1-5：DBCAB 6-10：CCCBD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.false，false 12.false，false 13.①③
14.答案不唯一，例：3，false 15.4，false
三、解答题：本大题共6小题，共85分
16.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）解：设等比数列false的公比为q，依题意false. 1分
因为false，false，
两式相除得false， 3分
解得false，舍去false. 4分
所以false. 6分
所以数列false的通项公式为false. 7分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得false. 9分
因为false，
所以数列false是首项为1，公差为false的等差数列. 12分
所以false. 14分
17.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当直线l的斜率为false时，直线l的方程为false.
由false得false，
设false，false，false.
则false，
所以点C的坐标false，false，
所以false.
（Ⅱ）设直线false，
由false，得false，
所以false
false，false.
false
false
false.
原点O到直线l的距离false.
所以false面积为false.
因为false面积等于1，所以false，解得false，
带入判别式检验，符合题意，所以false.
18.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由①可得，false. 1分
由②得：false，false. 2分
由③得，false，false
false 4分
若①②成立，则false，false，false. 5分
若①③成立，则false，false，不合题意. 6分
若②③成立，则false，false与③中的false矛盾，所以②③不成立. 8分
所以，只有①②成立，false. 9分
（Ⅱ）由题意得，false. 12分
所以，当false时，函数false取得最大值1；
当false或false时，函数false取得最小值false. 14分
19.（本小题满分14分）
（1）抛物线C的方程为false，焦点坐标为false，准线方程为false；（2）见解析.
【解析】（1）由抛物线false过点false，得false.
所以抛物线C的方程为false.
抛物线C的焦点坐标为false，准线方程为false.
（2）由题意，设直线l的方程为false，l与抛物线C的交点为false，false.
由false，得false.
则false，false.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线false的方程为false，点A的坐标为false.
直线false的方程为false，点B的坐标为false.
因为false
false
false
false
false，
所以false.
故A为线段false的中点.
20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数false的定义域是false，
导函数为false. [1分]
所以false，又false，
所以曲线false在点false处的切线方程为false. [4分]
（Ⅱ）由已知false. [5分]
所以只需证明方程false在区间（1，2）有唯一解.
即方程false在区间（1，2）有唯一解. [6分]
设函数false， [7分]
则false.
当false时，false，故false在区间（1，2）单调递增. [8分]
又false，false，
所以存在唯一的false，使得false. [9分]
综上，存在唯一的false），使得曲线false在点false处的切线的斜率为false. [10分]
（Ⅲ）false.证明如下： [11分]
首先证明：当false时，false.
设false， [12分]
则false.
当false时，false，false，
所以false，故false在false单调递增， [13分]
所以false时，有false，
即当false时，有false.
所以false. [14分]
21.（本小题满分15分）
解：
（Ⅰ）解：当false时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,-2,1,4,3. 4分
（Ⅱ）证明：设false的生成列是false；false的生成列是与false.
从右往左数，设排列false与false第一个不同的项为false与false，即：false a，
false，false.
显然false，false，false，false，下面证明：false. 6分
由满意指数的定义知，false的满意指数为排列false中前false项中比false小的项的个数减去比false大的项的个数.
由于排列false的前k项各不相同，设这k项中有l项比false小，则有false项比false大，从而false.
同理，设排列false中有false项比false小，则有false项比false大，从而false.
因为false与false是k个不同数的两个不同排列，且false，
所以false，从而false.
所以排列false和false的生成列也不同. 10分
（Ⅲ）证明：设排列false的生成列为false，且false为false中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以false，false. 11分
依题意进行操作，排列false变为排列false，设该排列的生成列为false. 13分
所以false
false
false
false.
所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2. 15分