江苏省江浦高中2021届高三上学期数学检测（十六）（12.7） Word版含解析

江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学年高三数学检测（十六）
一、单选题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （2019全国Ⅰ文）设,则( )
A. B. C. D.
3. “”是“函数有意义”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位:)的关系, 在个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)()得到下面的散点图:由此散点图,在至之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A. B. C. D.
5. 已知是双曲线的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为( )
A. . B. C. D.
6. 已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知定义在上的函数满足:对任意实数都有,,且时,,则的值为( )
A. B. C. D.
8. 若两个正实数,满足,且存在这样的,使不等式有解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. (2020江苏省启东中学高一开学考试)(多选题)下列说法正确的是( )
A. 直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2.
B. 点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1).
C. 过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0.
10. 同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有,,,的正四面体一次,记事件;事件;事件,则( )
A. B. C. D.
11. 在棱长为的正方体中,以为原点,以,,分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系,点为线段上一动点,则到平面距离的可能取值为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数有个零点,则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 若向量,,且,,三点共线,则__________.
14. 若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为__________．
15. 对于数列，定义数列满足：，且，，则__________.
16. 已知是定义在上的奇函数,当时,,函数,如果对,,使得,则实数的取值范围为__________.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 二次函数的最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求的取值范围．
18. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积．
19. 如图，货轮在海上以的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为的方向航行．为了确定船位，在点观察灯塔的方位角是，航行半小时后到达点，观察灯塔的方位角是．求货轮到达点时与灯塔的距离(精确到)．
20. 已知数列满足． （1）求证：为等比数列，并求出的通项公式； （2）若，求的前项和．
21. 【变式训练2】已知椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的上顶点作互相垂直的直线分别交椭圆于两点.求证:直线过定点,并求出该定点坐标.
22. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）是否存在实数，使得对任意的，恒有成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学年高三数学检测（十六）
一、单选题（每小题5分，共8小题40分）
1. 已知集合，，则（D ）
A. B. C. D.
解：∵，∴，∴.又，∴.
选D
2. （2019全国Ⅰ文）设,则(C )
A. B. C. D.
解：因为所以 选C
3. “”是“函数有意义”的（　A　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：函数有意义，即解得满足要求的解集B为，的解集A为，所以，所以“”是“函数有意义”的充分而不必要条件.
选A
4. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位:)的关系, 在个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)()得到下面的散点图:由此散点图,在至之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( D )
A. B. C. D.
解：由图象可知作为发芽率y和温度x的回归方程类型最适宜. 选D
5. 已知是双曲线的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为( A )
A. . B. C. D.
解：因为垂直于轴,所以,,因为,所以,即,即,化简得:,解得.选A
6. 已知函数的图象过点，且点是其对称中心，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（ A）
A. B.
C. D.
解：由函数过点得：解得：∴， ∴， 故答案为：选A
7. 已知定义在上的函数满足:对任意实数都有,,且时,,则的值为(B )
A. B. C. D.
解：对任意实数都有,可得到函数的周期是,又,知函数为偶函数,所以.选B
8. 若两个正实数,满足,且存在这样的,使不等式有解,则实数的取值范围是(C)
A. B. C. D.
解：∵不等式有解,∴.∵,,且,∴,当且仅当,即,时取“”,∴,故,即,解得或,∴实数的取值范围是.选C
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. (2020江苏省启东中学高一开学考试)(多选题)下列说法正确的是(A,B )
A. 直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2.
B. 点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1).
C. 过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0.
解：A中直线在坐标轴上的截距分别为,,所以围成三角形的面积是正确,B中在直线上,且,连线的斜率为,所以B正确,C选项需要条件,,故错误,D选项错误,还有一条截距都为的直线.选A,B
10. 同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有,,,的正四面体一次,记事件;事件;事件,则(AC)
A. B. C. D.
解：由题意,,,因为,是相互独立事件,C与A,B不是互相独立事件,所以是错误的,,故选AC
11. 在棱长为的正方体中,以为原点,以,,分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系,点为线段上一动点,则到平面距离的可能取值为(A,B,C )
A. B. C. D.
解：由题意可知,,,,设, ∴,,设平面的一个法向量为, 则,令,可得, 又,∴到平面距离为, 故选A,B,C.
12. 已知函数有个零点,则的值可能为(A、C、D )
A. B. C. D.
解：根据题意函数有个零点,∵是函数的一个零点,∴方程的根的情况有两种, (1)方程有两个不相等的实数根,且有一个根为,则,解得,代入方程检验可得,符合要求; (2)方程有两个相等的实数根,且均不等于,则,解得,代入方程检验可得两个相等的实数根均不等于,符合要求; 故的值可能是,,∴答案选A、C、D.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 若向量,,且,,三点共线,则__________.-26
解：∵,,三点共线,∴,∴,则,.
14. 若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为__________．
解：由题意可得，圆柱的高为，不妨设底面圆半径为,所以，.
15. 对于数列，定义数列满足：，且，，则__________.8
解：由知数列是公差为的等差数列，又， 所以，，解得.
16. 已知是定义在上的奇函数,当时,,函数,如果对,,使得,则实数的取值范围为__________.(-5,+∞)
解：由题意,可知时,为增函数,所以, 又是上的奇函数,所以时,, 又由在上的最大值为, 所以,,使得, 所以.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 二次函数的最小值为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求的取值范围．
解：（1）设,由题意可求出． （2）若在区间上不单调，则，解得.
18. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积．
解：（1）证明：连接，交于点，连接,∵，，， ∴，又为线段的中点，∴， ∵,为线段,的中点, ∴且， ∵，且且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. ∵底面是菱形，∴,则， 又，∴平面，平面. 故平面平面.
（2）由（1）知平面， ∵，， ∴.
19. 如图，货轮在海上以的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为的方向航行．为了确定船位，在点观察灯塔的方位角是，航行半小时后到达点，观察灯塔的方位角是．求货轮到达点时与灯塔的距离(精确到)．
解：在中，，，，，根据正弦定理，，．货轮到达点时与灯塔的距离是约..．
20. 已知数列满足． （1）求证：为等比数列，并求出的通项公式； （2）若，求的前项和．
解：（1）∵， ∴，∴为等比数列． ∵
（2），．
21. 【变式训练2】已知椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的上顶点作互相垂直的直线分别交椭圆于两点.求证:直线过定点,并求出该定点坐标.
解：(1)由题意得,解得, ∴椭圆的方程为.
(2)由对称思想可知,直线过的定点位于轴上,特值化易得直线过定点. 证明: 设直线的方程为,联立椭圆方程,消去得:,∴,, 设直线的方程为,联立椭圆方程,消去得:,∴,, ∴,, ∴, 故直线过定点.
22. 已知函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）是否存在实数，使得对任意的，恒有成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：（1）．∵， ∴切点为，切线斜率． ∴在处的切线方程为．
（2）在上恒成立， 也就是在上的最大值小于0． ，． ①若，则当时，，单调递增； 当时，，． ∴的最大值为，∴． ②若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． ∴的最大值为，从而． 其中，由，得，这与矛盾． 综合①②可知：当时，对任意的，恒有成立．