人教版九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 解答题专项同步练习（Word版 含解析）

24.1.3
弧、弦、圆心角
一．解答题
1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AC＝BD，试说明：AB＝CD．
2．如图：，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD＝CE．
3．如图，已知在⊙O中，两条弦AB和CD交于点P，且AP＝CP，求证：AB＝CD．
4．如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．
5．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
6．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
7．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
8．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
9．如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为　
　．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
10．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且＝，求证：AC＝BD．
11．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M．
求证：AM＝DM．
12．已知，如图，AD＝BC．求证：AB＝CD．
13．已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
14．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，BD＝AC，求证：AB＝CD．
15．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
16．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．
17．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，对角线AC与BD相交于点E，且AE＝DE，连接AD、CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的全等三角形．
18．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．
求证：AB＝CD．
19．如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
20．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA＝BC，∠C＝24°，求∠A的度数．
参考答案
一．解答题
1．证明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD．
2．证明：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE．
3．证明：∵圆周角∠A和∠C都对着，
∴∠A＝∠C，
在△ADP和△CBP中，
，
∴△ADP≌△CBP（ASA），
∴BP＝DP，
∵AP＝CP，
∴AP+BP＝CP+DP，
即AB＝CD．
4．解：∵＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴CB＝AD＝3．
5．证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴AC＝BD；
（2）∵＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
6．（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．
8．证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AD＝BC．
9．解：（1）连接OC．
∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴弧BC的度数为50°，
故答案为50°．
（2）如图，作OH⊥BC于H．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝?OB?OA＝?AB?OH，
∴OH＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BC＝2BH＝．
10．证明：∵＝，
∴＝，
∴AC＝BD．
11．证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴∠D＝∠A，
∴MA＝MD．
12．证明：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
13．证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC＝OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
14．证明：在△BDE与△CAE中，
，
∴△BDE≌△CAE（AAS）．
∴BE＝CE，DE＝AE，
∴BE+AE＝CE+DE，
即AB＝CD．
15．（1）解：连接AC．
∵为120°，为50°，
∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E
∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴AE＝DE．
16．证明：如图，连结BD
∵PB＝PD
∴∠PBD＝∠PDB，
∴优弧＝优弧，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD．
17．（1）证明：如图，连接OA、OB、OC、OD，
∵AE＝DE，
∴∠ADB＝∠DAC，
∴∠AOB＝∠DOC，
∴AB＝CD；
（2）解：①在△ABD与△DCA中，
．
故△ABD≌△DCA（AAS）；
②在△ABE与△DCE中，
．
故△ABE≌△DCE（AAS）；
③由AB＝DC知，∠ACB＝∠DBC．
在△ABC与△DCB中，
．
故△ABC≌△DCB（AAS）．
18．证明：∵BD＝AC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD
19．解：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BC．
20．解：如图，连接OB，
∵OB＝OA，OA＝BC，
∴∠ABO＝∠A，OB＝BC，
∴∠BOC＝∠C＝24°，
∴∠ABO＝48°，
∴∠A＝48°．