北师大版九年级数学上册 4.8图形的位似题型学案 (word版 含解析)

《图形的相似》题型解读13
图形的位似题型
【知识梳理】
1.定义
（1）一般，如果两个相似多边形每对对应顶点如P、P`所在的直线都经过同一点O，且有OP`=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，是这两个相似多边形的相似比。如图：
（2）位似中心可能在两个图形的同一侧、或异侧、或内部。如图：
2.解题归纳
（1）若位似中心是原点时，图形放大或缩小N倍，对应点的坐标，也随之扩大或缩小N倍，但要注意符号；
（2）若位似中心不是原点，则利用图形相似求对应点的坐标；
（3）当位似图形不明确时，则特别注意要“分类讨论”（A字模型或8字模型）
3.位似中心与旋转中心的区别
（1）概念上的区别
①位似中心：如果两个相似多边形每对对应顶点，如P、P`所在的直线都经过同一点O，且有OP`=k·
OP(k≠0)，
那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
特征：对应点到位似中心的距离之比等于相似比（或位似比）
②旋转中心：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定角度的图形运动。这个定点叫旋转中心。
特征：对应点到旋转中心的距离相等.
（2）作图上的区别
①位似中心：任意两组对应点连线的交点；
②旋转中心：任意两组对应点连线的垂直平分线的交点；
（3）解法上的区别
①位似中心：图形紧盯“A”字模型和“8”字模型，利用位似比就是相似边（对应边之比）解题。
②旋转中心：紧抓垂直平分线中的“中点”与“垂直”
【典型例题】
例1.如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，7），B（6，8），C（8，2）
（1）以O点为位似中心，在第三象限作出△，使△与△ABC的相似比为1：2，画出图形
（2）分别写出的坐标；
（3）如果△ABC内部一点M的坐标为，写出M的对应点M`的坐标；
解析：（1）作图略；（2）（-1，-3.5）、（-3，-4）、（-4，-1）；（3）；
例2.在下图网格中，已知△ABC和点M（1，2），以点M为位似中心，位似比为2：1，画出△ABC的位似图形△，并分别写出的坐标；（3，6）、（5，2）、（11，4）
解：；
例3.
如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为_______
解析：由题可知：位似比为OB：OD=5：2=2.5，且位似中心是原点，所以C点的对应点A点的横、纵坐标是点C横、纵坐标的2.5倍，∴A（2.5，5）
例4.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(2,2)、B(3,1),以原点O为位似中心,
在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD,则端点C的坐标分别为（
）
A.
(4,4)
B.
(3,3)
C.
(3,1）
D.
(4,1)
解析：考查位似图形，基础简单题。当位似中心是原点时，位似图形中两对位点的坐标之比就是相似比，∴A点对应点C的坐标为（4，4）,选A.
例5.如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，若C点坐标为（1，）则点C的对应点C′的坐标为__________________．
解析：由题易得：点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
①当△B′O′C′在△BOC左侧时，（作图过程：画A字模型，延长AB、A0、AC长的2倍到B′、O′、C′，即可得△B′O′C′），如图1，过点C、C′作x轴的垂直交于点M、N，可证△ACM∽△AC′N，则，∵AM=OA+OM=3，CM=，∴C′N=2，AN=9，∴ON=6，∴C′（6，2）；
②当△B′O′C′在△BOC右侧时，（作图过程：画8字模型，延长BA、OA、CA长的3倍到B′、O′、C′，即可得△B′O′C′），如图1，过点C、C′作x轴的垂直交于点M、N，可证△ACM∽△AC′N，则，∵AM=OA+OM=3，CM=，∴C′N=2，AN=9，∴ON=12，∴C′（-12，-2）；
∴C′的坐标为（6，2）或（-12，-2）．
例6.
如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点
P
的坐标为_________
解析：找这两个位似矩形的两组对应点：C与E、B与D，连接CE、BD并延长交于点P，且P点正好在x轴上，紧盯图中“A字或8字模型”，用相似知识解答。∵B（2，4），E（﹣1，2），四边形OABC与ODEF是矩形，∴AB=4,OD=2,OF=1,OA=2,∵OD//AB,∴OD:AB=OP:PA,，即2:4=OP:(OP+2),∴OP=2,∴P点坐标为（-2，0）
例7．已知△ABC
与△DEF
是位似图形，且△ABC
与△DEF
的相似比为，则△ABC
与△DEF
的面积比是(
)
A．
B．
C．
D．
解析：选C，相似三角形的面积比会等于相似比的平方比；
例8.
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，矩形OA`B`C`与OABC关于点O位似，且矩形OA`B`C`的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B`的坐标是（
）
解析：当位似中心是原点时，可用解题技巧求对应点的坐标：位似比是多少，则对应点的坐标扩大或缩小多少倍，由题可得，位似比为1：3，由于题目并未说明矩形OA`B`C`的位置，所以要分类讨论。∵B点的坐标为（6，4），∴点B`的坐标是，选C
例9.
如图，矩形OABC的边OA与x轴重合，B（-1，2），将矩形OABC绕平面内一点P顺时针旋转90°，使A、C两点落在反比例函数y=的图像上，则旋转中心P点的坐标为（
）