人教版八年级数学上册《14.3 因式分解》 同步练习 (word版 含解析)

14.3
因式分解
一．选择题
1．若mn＝﹣2，m+n＝3，则代数式m2n+mn2的值是（　　）
A．﹣6
B．﹣5
C．1
D．6
2．把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（　　）
A．（a﹣2）（m2﹣m）
B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1）
D．m（2﹣a）（m+1）
3．若x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　）
A．﹣3
B．1
C．﹣3，1
D．﹣1，3
4．下列四个多项式：①﹣a2+b2；②﹣x2﹣y2；③1﹣（a﹣1）2；④x2﹣2xy+y2，其中能用平方差公式分解因式的有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5．下列各选项中，因式分解正确的是（　　）
A．（a2+b2）＝（a+b）2
B．x2﹣4＝（x﹣2）2
C．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
D．﹣2y2+6y＝﹣2y（y+3）
6．把多项式﹣2x3+12x2﹣18x分解因式，结果正确的是（　　）
A．﹣2x（x2+6x﹣9）
B．﹣2x（x﹣3）2
C．﹣2x（x+3）（x﹣3）
D．﹣2x（x+3）2
7．把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（　　）
A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）
B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）
C．（x+y﹣1）（x+y+1）
D．（x﹣y+1）（x+y+1）
8．如果x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2），那么k应为（　　）
A．3
B．﹣3
C．1
D．﹣1
9．把x2﹣4x+C分解因式得（x﹣1）（x﹣3），则C的值为（　　）
A．4
B．3
C．﹣3
D．﹣4
10．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A．9
B．6
C．4
D．无法确定
11．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．x（a+2b）＝ax+2bx
B．x2﹣1+4y2＝（x+1）（x﹣1）+4y2
C．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．ax+bx﹣c＝x（a+b）﹣c
12．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足ac+bc＝b2+ab，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
二．填空题
13．若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是　
　．
14．多项式4a3bc+8a2b2c2各项的公因式是　
　．
15．若a+b＝﹣1，ab＝﹣6，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　
　．
16．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝　
　．
17．已知a+b＝2，则a2﹣b2+2a+6b+2的值为　
　．
三．解答题
18．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x2y+6xy﹣9y；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy．
19．对于任意自然数n，代数式2n（n2+2n+1）﹣2n2（n+1）的值都能被4整除吗？请说明理由．
20．利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a＝2018，b＝2019，c＝2020，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
21．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为（x+7）与（x﹣1）
例如：x2+6x﹣7
分析：
解：原式＝（x+7）（x﹣1）
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1
②（拆项法）x2﹣6x+8
③x2﹣5x+6＝　
　．
（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．
参考答案
一．选择题
1．解：m2n+mn2
＝mn（m+n），
当mn＝﹣2，m+n＝3时，
原式＝﹣2×3＝﹣6．
故选：A．
2．解：m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）
＝m（a﹣2）（m﹣1）．
故选：C．
3．解：∵x2+（m﹣1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．
4．解：①﹣a2+b2，③1﹣（a﹣1）2，能用平方差公式分解因式，
②﹣x2﹣y2；④x2﹣2xy+y2，不能用平方差公式分解因式，
即能用平方差公式分解因式的有2个，
故选：C．
5．解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；
C、原式＝（m﹣2）2，符合题意；
D、原式＝﹣2y（y﹣3），不符合题意．
故选：C．
6．解：﹣2x3+12x2﹣18x＝﹣2x（x2﹣6x+9）＝﹣2x（x﹣3）2．
故选：B．
7．解：原式＝x2﹣（y2﹣2y+1）
＝x2﹣（y﹣1）2
＝（x+y﹣1）（x﹣y+1），
故选：B．
8．解：由题意得，x2+kx﹣2＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，
则k＝1．
故选：C．
9．解：根据题意得：x2﹣4x+C＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
则C＝3．
故选：B．
10．解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，
∴m2﹣n2＝3n﹣3m，
∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，
∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，
∵m≠n，
∴（m+n）+3＝0，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．
故选：A．
11．解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：C．
12．解：由ac+bc＝b2+ab得，c（a+b）＝b（a+b），
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：D．
二．填空题
13．解：∵多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴设另一个因式是x+a，
则（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案为：2．
14．解：多项式4a3bc+8a2b2c2各项的公因式是4a2bc，
故答案为：4a2bc．
15．解：∵a+b＝﹣1，ab＝﹣6，
∴a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝（﹣6）×（﹣1）2
＝（﹣6）×1
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
16．解：m4﹣2m2
＝m2（m2﹣2）
＝m2（m+）（m﹣）．
故答案为：m2（m+）（m﹣）．
17．解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+2a+6b+2
＝（a+b）（a﹣b）+2a+6b+2
＝2（a﹣b）+2a+6b+2
＝2a﹣2b+2a+6b+2
＝4a+4b+2
＝4（a+b）+2
＝4×2+2
＝10，
故答案为：10．
三．解答题
18．解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy
＝1﹣（x2+y2﹣2xy）
＝1﹣（x﹣y）2
＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．
19．解：能被4整除．
理由：原式＝2n3+4n2+2n﹣2n3﹣2n2＝2n2+2n＝2n（n+1），
∵n为自然数，
∴n与n+1两数必有一数为偶数，
∴2n（n+1）是4的倍数，
∴对于任意自然数n，代数式2n（n2+2n+1）﹣2n2（n+1）的值都能被4整除．
20．解：（1）解：（1）等式右边＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2），
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），
＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝等式左边．
∴等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]成立．
（2）原式＝[（2018﹣2019）2+（2019﹣2020）2+（2020﹣2018）2]＝3；
（3）①，b﹣c＝②，
①+②，得a﹣c＝，
将优美的等式变形得：
ab+bc+ac
＝a2+b2+c2﹣[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝1﹣
＝
＝．
21．解：（1）①4x2+4x﹣y2+1
＝（4x2+4x+1）﹣y2
＝（2x+1）2﹣y2
＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；
②x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+9﹣1
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）
＝（x﹣4）（x﹣2）；
③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
故答案为：（x﹣2）（x﹣3）；
（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴a+b+c＝2+2+3＝7．
∴△ABC的周长为7．