人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质-课堂互动训练（word解析版）

27.2.2相似三角形的性质
自主预习
1.
若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(
)
A．3∶2
B．3∶5
C．9∶4
D．4∶9
2.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1
cm变成4
cm，那么它的周长由原来的3
cm变成(
)
A.6
cm
B.12
cm
C.24
cm
D.48
cm
3.如图，D、E分别是△ABC中AB、AC边上的中点，则S△ADE∶S△ABC=__________.
3题图
4题图
5题图
4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE交DC于F点，EF∶FB=1∶3，则S△ADE∶S△ABC的值为(
)
A.1∶3
B.1∶9
C.1∶
D.以上答案都不对
5.如图所示，D、E、F分别在△ABC的边上，DE∥BC，EF∥AB，如果AD∶DB=1∶2，则S△DEF∶S△ABC等于(
)
A.1∶3
B.1∶4
C.1∶9
D.2∶9
互动训练
知识点一：相似三角形对应线段的比等于相似比
1.
已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(
)
A.
B.
C.
D.
2.
若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是
，
若其中较小三角形的一条角平分线的长为6
cm，则另一个三角形对应角平分线长
为
cm．
3．如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E和C、F.若BC＝2，则EF的长是
．
3题图
4.
已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4
cm，C′D′＝10
cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8
cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．
知识点二：相似三角形的周长的比等于相似比
5．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶16
6.两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为(
)
A.75，115
B.60，100
C.85，125
D.45，85
7．若两个相似三角形的周长的比为4∶5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为
．
8．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20
cm和25
cm，且BC＝5
cm，DF＝4
cm，求EF和AC的长．
知识点三：相似三角形的面积比等于相似比的平方
9．已知△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为(
)
A．1∶
B.∶1
C．9∶1
D．1∶9
10．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶1
　
10题图
11题图
11．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(
)
A.
＝
B.
＝
C.
＝
D.
＝
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(
)
A．3
B．5
C．6
D．8
12题图
13题图
13．如图，在平行四边形ABCD中，点
E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(
)
A．3∶4
B．9∶16
C．9∶1
D．3∶1
14.将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的(
)
A.9倍
B.3倍
C.81倍
D.18倍
15．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为
．
16.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32
cm2，那么大多边形的面积为
.
17.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，
且S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3，则AD∶AB=______________.
17题图
18．已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4
cm，△ABC的周长为20
cm，△A′B′C′的面积是64
cm2，求：
(1)A′B′边上的中线C′D′的长；
(2)△A′B′C′的周长；
(3)△ABC的面积．
19.某块地的平面如图，∠A=90°，其比例尺为1∶2
000,根据图中标注的尺寸(单位:cm)，求这块地的实际周长和面积.
19题图
知识点四：相似三角形性质的综合应用
20.如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半.若AB=，则此三角形移动的距离AA′是(
)
A.-1
B.
C.
1
D.
20题图
21题图
21.如图,在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC.
设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3,若S1+S3=10，则S2=_______________.
22．在平行四边形ABCD中，M、N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝
．
23．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40
cm，AD＝30
cm.
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长与面积．
23题图
课时达标
1.
如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB∶DE=1∶2，那么下列等式一定成立的是（
）
A．BC∶DE=1∶2
B．△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶2
C．∠A的度数∶∠D的度数=1∶2
D．△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2
2．两个相似三角形的最短边分别为5
cm和3
cm，他们的周长之差为12
cm，那么大三角形的周长为(　
　)
A．14
cm
　B．16
cm
　　C．18
cm
　　D．30
cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是(
)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
3题图
4题图
5题图
4．如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AE，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝(　
　)
A．1∶3
　B．3∶1　　　　C．1∶9
　　D．9∶1
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC=3∶2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）
A．2∶5
B．3∶5
C．9∶25
D．4∶25
6．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为(　　)
A．1
　　　B．
　　　　C．－1
　　D．＋1
6题图
7题图
9题图
7.如图所示,在正方形网格上有两个三角形:△A1B1C1与△A2B2C2,则△A1B1C1的面积与△A2B2C2的面积之比等于(
)
A.4∶1
B.3∶1
C.5∶2
D.5∶3
8．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为
．
9．如图，在△ABC中，DE∥AC，AD:DB=2:1，F为AC上任意一点，△DEF的面积为4，则S△ABC=
．
10．一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为
　
　.
11.如图，D是△ABC的边AB上一点，∠B=∠ACD，AC=1，△ACD与△BDC的面积之比为2∶1，则AD的长为___________.
10题图
11题图
12题图
12.如图，在△ABC中,AD∶DB=1∶2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为_____________.
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AB上一点，Q为BC上一点，且PQ⊥AB，若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的，AB=5
cm，PB=2
cm，求△ABC的面积.
13题图
14.如图,在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是BE的中点，AE与DF相交于点H，则S△EFH与S△ADH的比值是多少?
14题图
15.
等腰△ABC中，顶角为A，AD⊥BC于D点，AD=12
cm，BC=10
cm，等腰△A′B′C′中，A′D′⊥B′C′于D′点，且△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=1∶3.
(1)求A′B′的长；(2)求A′D′的长；(3)求△A′B′C′的周长；(4)求△A′B′C′的面积.
16．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18
cm，EG＝4
cm，求CF的长．
16题图
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.
(1)求证：△AEF∽△CDF；
(2)求△AEF与△CDF的周长之比；
(3)如果△CDF的面积为20
cm2，求△AEF的面积．
17题图
18．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
18题图
拓展探究
1．阅读下面的短文，并解释下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间，如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．例如：甲、乙是边长分别为a，b的不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a:b)，设S甲，S乙分别表示这两个正方体的表面积，则：
；
V甲，V乙分别表示这两个正方体的体积，则：．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是(
)
A.
两个球体
B.
两个圆锥体
C.
两个圆柱体
D.
两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比都等于
；
②相似体的表面积之比等于
；
③相似体的体积之比等于
．
(3)假定在完全正常发育的情况下，不同时期的同一人的人体是相似的，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了八年级时，身高为1.65米，问他的体重为多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)?
2.
如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点.
连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
2题图
27.2.2相似三角形的性质答案
自主预习
1.
A.
解析：由相似三角形对应线段的比等于相似比可得.
2.
B.
解析：由相似三角形的周长比等于相似比可得.
3.
1∶4.
解析：两三角形的相似比为,故面积比为.
4.
B.
解析：由△DEF∽△CBF求得DE与BC的比,再由△ADE∽△ABC求得面积的比.
5.
D.
解析：由△ADE∽△ABC，得.DE到BC的距离与△ABC的高的比等于2∶3，所以.
答案：D
互动训练
1.
A.
2.
8∶9；
.
3.
5.
4.
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，
C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高，
∴＝.
∴＝.
∴A′E′＝12
cm.
5.
C.
6.
A.
解析：设较小的周长为x,则较大的为(x+40),由题意,得,解之,得x=75.
答案：A
7.
20，25.
8.
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴＝.
∴EF＝BC＝×5＝(cm)．
同理＝，
∴AC＝DF＝×4＝(cm)．
∴EF的长是
cm，AC的长是
cm.
9.
D.
10.
B.
11.
B.
12.
D.
13.
B.
14.
B.
15.
4∶9.
16.
72
cm2.
解析：两个相似三角形面积的比等于相似比的平方.答案：72
cm2
17.
1∶2.
解析：两三角形的面积比为,故两三角形的相似比为.答案：1∶2
18．(1)8
cm　(2)40
cm　(3)16
cm2
19.
解：根据平面图所示各线段的长度,算出四边形的周长为32
cm，根据比例尺转化为640
m，图上四边形的面积可分为△ABD和△BCD的面积的和，因为△ABD为直角三角形，所以BD=5.又CD=12，BC=13，所以△BCD为直角三角形，四边形的面积为×3×4+×12×5=36.
利用比例尺折合为14
400
m2.
20.
A.
解析:
∵A′C′∥AC,
∴△A′DB∽△ACB.
∴.
∵AB=,S△A′DB=S△ACB,
∴
∴A′B=1.∴AA′=AB-A′B=-1.
答案：A
21.
4.解析：∵△ABC∽△HFG∽△DCE，∴S△ABC∶S△DCE=1∶4.
∴S1∶S3=1∶4.
∴S1=2.
∴S2=2S1=4.
答案：4
22.
或．
23.
解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC.
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH相交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．∴EF＝DM.
设正方形EFGH的边长为x.
∵△AEH∽△ABC，∴＝.
∴＝.∴x＝.
∴正方形EFGH的边长为
cm，面积为
cm2.
课时达标
1.
D.
解析：A.
BC与EF是对应边，则BC∶DE=1∶2不一定成立，故本项错误；
B.
△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶4，故本选项错误；
C.
∠A的度数∶∠D的度数=1∶1，故本选项错误；
D.
△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2正确，故本选项正确．故选D．
2.
D.
3.
A.
4.
C.
5.
C.
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．
∵DE∶EC=3∶2，∴，∴．故选：C．
6.
C.
7.
C.
解析：设正方形网格上的每个小正方形的边长为a,
则=,
=,
故∶==5∶2.
答案：C
8.
5∶4.
9.
36.
10.
1∶3
11.
解析：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC,
∵
△ACD与△BDC的面积之比为2∶1，∴△ACD与△ABC的面积之比为2∶3，即=,
AC=1，∴AD=.
答案：
12.
8.
解析：∵S△ADE∶S△ABC=1∶9,∴S△ADE=1.∴四边形的面积为8.
答案：8
13.
解：∵∠C=∠QPB，∠B=∠B,
∴△BPQ∽△BCA.
又∵S△BPQ∶S△BCA=1∶5,
∴.
∴QB=.
∴QP=1.
∴S△BPQ=1.
∴S△BCA=5.
14.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.
∵E是BC的中点,∴BE=BC=AD.
∵F是BE的中点,∴EF=BE=AD.
又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC,即AD∥FE,
∴
△EFH∽△ADH.
∴S△EFH∶S△ADH=EF2∶AD2=1∶16.
15.
解：(1)因为BD=CD(等腰三角形三线合一)，所以BD=5
cm.
所以AB=13
cm，AD=12
cm，BC=10
cm.
所以△ABC周长为36
cm,面积为60
cm.
因为△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶3,
所以周长比为1∶3,面积比为1∶9,所以A′B′=39
cm.
(2)A′D′=36
cm.
(3)△A′B′C′周长为108
cm.
(4)S△A′B′C′=540
cm2.
16.
解：∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7.
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，
∴＝.∴＝.
∴CF＝7
cm.
17.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴
△AEF∽△CDF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.
∵AE∶EB＝2∶3，设AE＝2k，则BE＝3k，DC＝5k.
又∵△AEF∽△CDF，∴＝＝.
∴△AEF与△CDF的周长之比为2∶5.
(3)∵△AEF∽△CDF，
∴＝()2.
∵＝，△CDF的面积为20
cm2，
∴△AEF的面积为
cm2.
18.
解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴＝()2.
又∵点E是AB的中点，∴＝.
∴＝.∴S△AEF＝S△ABD.
∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8.
拓展探究
1．（１）Ａ　
（２）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方；
（３）60.75千克.
2.
解：（1）∵PE∥DQ，∴∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.
∴
△APE∽△ADQ.
（2）∵△APE∽△ADQ，△PDE∽△ADQ，及S△PEF=，
得S△PEF==.
∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值.
（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.