27.3位似（第1课时）
自主预习
1.下列说法中，正确的个数是(
)
①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；
③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；
④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的,且位似比相等.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.位似图形的中心可能在两个图形__________,也可能在两个图形__________,还可能在两个图形的__________.
3.指出下列各组位似图形的位似中点.
3题图
4.如图，△ACB与△DFE是位似图形，则.
4题图
互动训练
知识点一：位似图形的概念及性质
1.下列说法错误的是(
)
A.
相似图形不一定是位似图形
B.
位似图形一定是相似图形
C.
同一底版的两张照片是位似图形
D.
放幻灯时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形
2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2，且它们面积和为80，则较小的多边形的面积是(
)
A.16
B.32
C.48
D.64
3.按如下方法,将△ABC的三边缩小为原来的,如图,任取一点O,连结AO、BO、CO,并取它们的中点D、E、F，得△DEF.
则下列说法中正确的个数是(
)
①△ABC与△DEF是位似图形
②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为2∶1
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1
A.1
B.2
C.3
D.4
3题图
4题图
4.如图,五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3.
若位似中心P点到点A的距离为6，则P到A′的距离为________________.
5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE和△ABC是位似图形，DE=1，BC=3，AB=6，求AD的长.
5题图
知识点二：利用位似图形进行作图
6.画出图中位似图形的位似中心.
6题图
7.利用位似的方法把下图缩小一倍，要求所作的图形在原图内部.
7题图
8.如图，已知O是四边形ABCD的边AB上的任意一点，且EH∥AD，HG∥DC，GF∥BC.试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否位似，并说明你的理由.
8题图
9.
如图，在△ABC中，BC=1，AC=2，∠C=90°.
9题图
(1)在方格纸①中，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且相似比为2∶1；
(2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”，请你利用“基本图形”，借助旋转、平移或轴对称变换，在方格纸②中设计一个以点O为对称中心，并且以直线l为对称轴的图案.
知识点三：位似图形的应用
10.一般室外放映的电影胶片上,每一个图片的规格为3.5
cm×3.5
cm,放映的银幕的规格是2
m×2
m,若影机的光源距胶片20
cm时,问银幕应拉在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个银幕?
11.如图，已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5，求矩形ABCD与矩形EFGH的面积比.
11题图
12.在直角坐标系中，有一个Rt△AOB，且两直角边长分别为OA=4，OB=3，如图.
(1)请直接写出A、B两点的坐标.
(2)将△AOB作下列运动，画出相应的图形，指出3个顶点的坐标发生的变化(不必写计算过程).
①关于原点对称；
②将△AOB以O点为位似中心，缩小1倍.
12题图
课时达标
1.如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（
）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．B与D、C与E是对应位似点
D．AE︰AD是相似比
1题图
2题图
2.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是(
)
A.
cm
B
.
cm
C.
cm
D.1
cm
3.在图中，①中的两个图形是位似图形,③中的两个图形也是位似图形,②中的两个图形不是位似图形.
(1)分别指出图①③各自的位似中心.
(2)在图①中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系?在图③中再试一试,还有类似的规律吗?
3题图
4.如图，已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，则AB∥A′B′，BC∥B′C′吗?说明理由.
4题图
5.如图中的图案是由A字图案(虚线图案)经过变换后得到的,试问该变换是位似变换吗?为什么?
5题图
6.如图,△ABC和△A′B′C′为位似图形,写出六个顶点的坐标,并指出△ABC和△A′B′C′的位似比.
6题图
7.已知图，作出一个新图形，使新图形与原图形的位似比为2∶1.
7题图
8.如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P1、P2、O在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.
(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式?
(2)若b1=3.2
cm，b2=2
cm，①号“E”的测试距离l1=8
m,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少?
8题图
9.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积为32
dm2,上下空白各1
dm,两边空白各0.5
dm,设印刷部分从上到下的长为x
dm,四周空白处的面积为S
dm2.
(1)求S与x的关系式;
(2)当要求空白处的面积为18
dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?
(3)内外两个图形是位似图形吗?如果是,请说明理由.
9题图
拓展探究
1.如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：
①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；
②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；
③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.
其中，能将△ABC变换成△PQR的是(
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
1题图
2题图
2.如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是__________.
3.正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8，如图所示，
3题图
解答下列问题：
(1)⊙A的半径为__________；
(2)请在图中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，观察你所画的图形知⊙D的圆心D点的坐标是__________；⊙D与x轴的位置关系是__________；⊙D与y轴的位置关系是__________；⊙D与⊙A的位置关系是__________.
(3)画出以点E(-8，0)为位似中心，将⊙D缩小为原来的的⊙F.
27.3位似（第1课时）答案
自主预习
1.
C.
解析：位似图形是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,因而①对,②错.若两个位似图形全等,则其对应线段的比为1,因而位似中心到任意一对对应点的距离之比等于1,即位似中心在两个图形之间,因而③对.相似多边形中的对应三角形相似,因而△ABC∽△A′B′C′.又因为过这两个相似三角形对应点的直线都经过位似中心,所以△ABC与△A′B′C′也是位似的,且位似比为,即为原多边形的位似比.因而④对.
答案：C
2.
之间，同侧，内部.
解析：根据位似图形的意义.
3.
(1)
P点；(2)
P点.
解析：由位似图形意义.
4.
DP、EP、DE.
解析：对应点到位似中心的距离的比等于相似比.
互动训练
1.
C.
解析：位似是相似的特例，选项A、B都正确；选项C不能确定两张照片的位置，它们不一定位似；选项D是正确的.答案：C
2.
A.
解析：位似形必定相似，具备相似形的性质，其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比.
相似比为1∶2，则面积比为1∶4，由面积和为80，得到它们的面积分别为16，64.答案：A
3.
D.
解析：此题缩小图形的根据是位似图形的性质.这样作出的图形与原图形位似,位似比为=,即△ABC∽△DEF,且相似比为.因而周长为2∶1,面积比为4∶1.
答案：D
4.
9.
解析：由位似中心到两图形对应点的比等于相似比可求得答案.
5.解：∵△ADE与△ABC是位似图形,∴△ADE∽△ABC.所以.
∵DE=1,
BC=3,
AB=6,
∴.
∴AD=2,即AD的长为2.
6.如图所示
7.
解：(1)在五边形ABCDE内部任取一点O.
(2)以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
(3)分别在射线OA、OB、OC、OD、OE上取点A′、B′、C′、D′，使OA∶OA′=OB∶OB′=OC∶OC′=OD∶OD′=OE∶OE′=2.
(4)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.
得到所要画的多边形A′B′C′D′E′(如图).
7题图
8.
解：四边形EFGH∽四边形ABCD.
理由：∵EH∥AD，∴△OEH∽△OAD.
∴∠1=∠A，∠2=∠3，.
同理∠4=∠5，∠6=∠7，，
∠8=∠9，∠10=∠B，.
∴∠2+∠4=∠3+∠5，即∠EHG=∠ADC.
∴∠6十∠8=∠7+∠9，即∠HGF=∠DCB.
∴.
∴OE=k·OA，OF=k·OB.∴，即.
∴∠1=∠A，∠EHG=∠ADC，∠HGF=∠DCB，∠10=∠B，.
∴四边形EFGH∽四边形ABCD.
∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点O，不经过点O的其它三边平行,
∴四边形EFGH与四边形ABCD是位似形.
9.
如图，
9题图
10.
解：位似比为k=,设出银幕应拉在离镜头x
m的地方,则由位似图形的性质得,所以x=
m,故银幕应拉在离镜头
m的地方.
11.
解：由位似可得,两个矩形相似,
∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=(OB∶OF)2.
∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=9∶25
12.
解：(1)
A
(4,
0),
B(0,3).
(2)
①
A1(-4,0),
B1(0,-3),
O(0,0).
如图:
②如图,
A2(2,0),
B2(0,),
O(0,0).
课时达标
1.
D.
2.
D.
解析：易得△ABO∽△CDO,
所以.
所以CD=1(cm).答案：D
3.
(1)①③的位似中心分别为O、P点.
(2)经过测量计算可推测得到对应点到位似中心的距离等于相似比.
4.
解：AB∥A′B′，BC∥B′C′.
理由如下:因为△ABC和△A′B′C′是位似图形，
所以△ABC∽△A′B′C′.
所以=.
所以△OA′B′∽△OAB.
所以∠OA′B′=∠OAB.所以A′B′∥AB.同理可得BC∥B′C′.
5.
解：不是位似变换,原因一是看形状不同,二是4∶8≠4∶4,所以对应边不成比例.所以不是位似变换.
6.解：六个顶点坐标为A(-1,4)，A′(-0.5,2)，B(6,2)，B′(3,1)，C(2,1)，C′(1,0.5)，
位似比为2∶1.
7.
解法一：(1)取关键点A、B、C、D,在图外取点P，作射线AP、BP、CP、DP；
(2)在它们上面分别取A′、B′、C′、D′,使得PA′=2PA，PB′=2PB，PC′=2PC，PD′=2PD.
(3)顺次连结A′、B′、C′、D′，四边形A′B′C′D′即为所求.如图(1),
(1)
(2)
(3)
解法二：(1)如图(2),在原图上取关键点A、B、C、D，在图形外取一点P，作出射线PA、PB、PC、PD；
(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD;
(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.
解法三:(1)如图(3),在原图上取关键点A,B,C,D,在图内取一点P,作射线PA,PB,PC,PD;
(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使PA=AA′,PB=BB′,PC=CC′,PD=DD′;
(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.
8.
解：(1)∵△OD2P2∽△OD1P1,
∴b1∶b2=l1∶l2.
(2)由b1∶b2=l1∶l2,
得l2=5
m.
9.
解：(1)根据题意,得S=2×x×0.5+2××1+4×1×0.5=x++2,
即S=x++2.
(2)根据题意,得x++2=18,整理,得x2-16x+64=0.所以(x-8)2=0.
所以x=8.所以x+2=10.
所以这张广告纸的长为10(dm),宽为+2×0.5=5(dm).
(3)内外两矩形是位似图形,理由如下:因为内,外两矩形的长,宽的比都为2,
所以.
因为矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′.
因为AC和BD，A′C′和B′D′都相交于O点,
所以矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形.
拓展探究
1.
D.
解析：本题考查图形变换的各种特征.
答案：D
2.
(5，4).
3.
(1)5.
(2)如图，(-5，6)，相离，相切，外切.
(3)连接DE，取DE的中点F，以F为圆心，2.5为半径作圆.
解析：本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化.
(1)连接AC，根据垂径定理，有勾股定理可以计算；
(2)⊙A的平移实质是圆心的平移，因此点D的坐标为(-5,6)，由点D的坐标看，⊙D与x轴相离，与y轴相切，与⊙A外切；
(3)圆都可以看作是位似图形，位似中心在两圆圆心的连线上.27.3位似（第2课时）
自主预习
1．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则（
）
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似
1题图
2题图
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．（，1）
B．（-，-1）
C．（8，16）或（﹣16，﹣8）
D．（8，16）或（﹣8，﹣16）
互动训练
知识点一：位似图形的坐标变化
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（
）
A．（2，1）
B．（-1，-2）
C．（2，1）或（-2，-1）
D．（1，2）或（-1，-2）
1题图
2题图
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,6)，B(-9,-3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（
）
A．(-9,1)或(9,-1)
B．(-3,-1)
C．(-1,2)
D．(-3,-1)或(3,1)
3．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(?1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C′．设点A的横坐标是a，则点A对应的点A′的横坐标是_________．
3题图
4题图
4.
如图，正方形ABCD和正方形OEFG中,
点A和点F的坐标分别为
(3，2)，
(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___________________．
5．如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
5题图
6．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2，-2)，B(-5，-4)，C(-1，-5).
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标.
6题图
7．按下列要求在如图格点中作图：
（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．
7题图
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为
．
课时达标
1．如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（
）．
A．(-3,2)
B．(-3,1)
C．(2,-3)
D．(-2,3)
2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(
)
A．(2,1)
B．(2,0) C．(3,3)
D．(3,
1)
3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为
.
2题图
3题图
5题图
4．在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2,3)，D(1,0)．现以原点O为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为
．
5．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1,0)与点A′(－2,0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是
.
6．如图，△ABC在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3)，C(6,2)，并写出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′．
6题图
7．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），
B（﹣3，4）C（﹣2，6）.
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
7题图
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上，A（-1，3），
B（-3，1），C（0，1）．
（1）在网格内把△ABC以原点O为位似中心放大，使放大前后对应边的比为1：2，画出位似图形
△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标．
拓展探究
1．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．
2.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1,3),
A1(2,3),
A2(4,3),
A3(8,3),
B(2,0),
B1(4,0),
B2(8,0),
B3(16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是
,B4的坐标是
；
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是
,
Bn的坐标是
.
3．在已知三角形内求作内接正方形．
4．在已知半圆内求作内接正方形．
27.3位似（第2课时）答案
自主预习
1.
C.
解析：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．
2.
D.
解析：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的4倍，得到△OA'B'，
A(2，4)，∴点A的对应点A′的坐标是：（2×4，4×4）或[2×(-4),4×(-4)]，
即（8，16）或（-8，-16）．故选：D．
互动训练
1.
C.
解析：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴两矩形面积的相似比为：1︰2，
∵B的坐标是（4，2），∴点B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．故选：C．
2.
D.
解析：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选D．
3.
-3-2a.
解析：如图，过A点和A′点作x轴的垂线，垂足分别是D和E，
∵点A的横坐标是a，点C的坐标是（-1，0）．∴DC=-1-a，OC=1
又∵△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍,
∴CE=2CD=-2-2a，∴OE=CE-OC=-2-2a-1=-3-2a故答案为：-3-2a
3题图
4.
(1，0)或(－5，－2)
5.解：如图所示，以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，新图形为四边形A′B′C′D′，新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），
C′（8，10），D′（6，2）．
5题图
6.
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；B2(10，8).
6题图
7题图
7.
解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求；
（2）如图所示：△BA″C″，即为所求．
8.
解：（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，∴经过（1）旋转后坐标变为（，）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．
课时达标
1.
A.
解析：如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(-3,2)．故选A．
2．A.
3.(-2,
-)
4.
(4,6)或(－4，－6)
5.
6
6.
（1）由点A(2,3)，C(6,2)，确认出坐标原点O的位置，由此画出x轴和y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示：
由点B在平面直角坐标系中的位置得：点B坐标为B(2,1)；
（2）根据位似的定义，分别连接OA，OB，OC，将它们分别延长至点A'，B'，C'，使得OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC，然后顺次连接点A'，B'，C'，即可得到△A'B'C'，，如图所示：
7.
解：（1）如图：△A1B1C1即为所求；
（2）如图：△A2B2C2即为所求.
7题图
8题图
8.
解：（1）如图所示：
（2）由网格中的图形可得：A1（2，-6），B1（6，-2），C1（0，-2）．
拓展探究
1.解：⑴如图所示:
△A1B1C1,即为所求；
⑵如图所示△A2B2C2，即为所求；A2坐标(－2，－2)
2.解：(1)
(16,3),
(32,0)；
(2)
(2n,
3),
(2n+1,
0).
3.解：利用位似图形的性质进行作图，如图，已知△ABC,
3题图
作法：(1)在AB上任取一点G＇，作G′D′⊥BC；
(2)以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D＇E＇F＇G＇；
(3)连结BF＇，延长交AC于F；
(4)作FG∥CB，交AB于G，从F，G各作BC的垂线FE，GD，
那么DEFG就是所求作的内接正方形．
4.
解：利用位似图形的性质进行作图，如图,
作法略.
正方形EFGH即为所求．
