沪科版九年级数学上册 第22章 《相似形》达标检测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学上册 第22章 《相似形》达标检测卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-13 21:34:03 | ||
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文档简介
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沪科版九年级数学上册
第22章
达标检测卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
姓名：______ 班级：______ 分数：______
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．观察下列每组图形，相似图形是
( )
2．已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是( )
A．5x＝3y
B．x＋y＝8
C.＝
D.＝
3．已知△ABC∽△DEF，其相似比为1
∶4，则它们的面积比是( )
A．1
∶2
B．1
∶4
C．1
∶6
D．1
∶16
4．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适(人体正常体温约为37
℃)，这个气温大约为( )
A．23
℃
B．28
℃
C．30
℃
D．37
℃
5．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD
∶DF＝3
∶1，BE＝10，那么CE等于
( )
A.
B.
C.
D.
6．如图，在正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，E是AB的中点，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
7．如图，△OE′F′与△OEF关于原点O位似，相似比为1
∶2，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，则点E的对应点E′的坐标为( )
A．(2，1)
B.
C．(2，－1)
D.
8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
9．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高CD为9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为(保留到整数，1丈＝10尺)
( )
A．162丈
B．163丈
C．164丈
D．165丈
10．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，MN，则下列结论：①PM＝PN；②＝；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC.其中正确的( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在比例尺为
1∶25
000
000的地图上，2
cm所表示的实际长度是
千米．
12．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2
m，镜子与建筑物的距离是20
m．他的眼睛距地面1.5
m，那么该建筑物的高是
.
第12题图
第13题图
第14题图
13．★如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G，则图中共有
对相似三角形．
14．★在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B落在AC上的点D处，如图，若△ABC与△DMC相似，则BM的长度为
.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α，x的值．
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；
(2)计算△A′B′C′的面积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，P为△ABC边BC上的中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD，求证：△ADC∽△CDP.
18．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测出AD＝30
m，DC＝25
m，DE＝30
m，那么你能算出池塘的宽AB吗？
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于点E.
(1)求证：CD2＝DE·DA；
(2)当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC·BE.
(1)求证：△BCD∽△BDE；
(2)如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
六、(本题满分12分)
21．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12
m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6
m，两个路灯的高度都是9.6
m，且AP＝QB.
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
七、(本题满分12分)
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝8
cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1
cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2
cm/s.如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
八、(本题满分14分)
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
猜想：如图①，点D在BC边上，BD
∶BC＝2
∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为______．
探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD
∶BC＝1
∶2，求的值．
应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝______．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．观察下列每组图形，相似图形是
( C )
2．已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是( B )
A．5x＝3y
B．x＋y＝8
C.＝
D.＝
3．已知△ABC∽△DEF，其相似比为1
∶4，则它们的面积比是( D )
A．1
∶2
B．1
∶4
C．1
∶6
D．1
∶16
4．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适(人体正常体温约为37
℃)，这个气温大约为( A )
A．23
℃
B．28
℃
C．30
℃
D．37
℃
5．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD
∶DF＝3
∶1，BE＝10，那么CE等于
( C )
A.
B.
C.
D.
6．如图，在正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，E是AB的中点，则有( B )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
7．如图，△OE′F′与△OEF关于原点O位似，相似比为1
∶2，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，则点E的对应点E′的坐标为( C )
A．(2，1)
B.
C．(2，－1)
D.
8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( A )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
9．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高CD为9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为(保留到整数，1丈＝10尺)
( D )
A．162丈
B．163丈
C．164丈
D．165丈
10．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，MN，则下列结论：①PM＝PN；②＝；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC.其中正确的( B )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在比例尺为
1∶25
000
000的地图上，2
cm所表示的实际长度是
500
千米．
12．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2
m，镜子与建筑物的距离是20
m．他的眼睛距地面1.5
m，那么该建筑物的高是
15
m
.
第12题图
第13题图
第14题图
13．★如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G，则图中共有
4
对相似三角形．
14．★在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B落在AC上的点D处，如图，若△ABC与△DMC相似，则BM的长度为
或
.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α，x的值．
解：(1)如图中，∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝，α＝40°，
∴x＝9.
(2)如图中，∠D＝180°－65°－70°＝45°，
∵△ABO∽△CDO，
∴α＝∠D＝45°.∴＝，
即＝，∴x＝m.
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；
(2)计算△A′B′C′的面积．
解：(1)如图．
(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，P为△ABC边BC上的中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD，求证：△ADC∽△CDP.
证明：∵AD是△ABC边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∴CD2＝PD·AD，即＝，
又∠CDP＝∠ADC，
∴△ADC∽△CDP.
18．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测出AD＝30
m，DC＝25
m，DE＝30
m，那么你能算出池塘的宽AB吗？
解：由题意可得：AB∥DE，
则△DCE∽△ACB，故＝，
∵AD＝30
m，DC＝25
m，DE＝30
m，
∴＝，解得AB＝66.
答：池塘的宽AB为66
m.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于点E.
(1)求证：CD2＝DE·DA；
(2)当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．
(1)证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD
∶AD＝DE
∶CD，
∴CD2＝DE·AD.
(2)解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵CD2＝DE·AD，∴BD2＝DE·AD，
∴BD
∶AD＝DE
∶BD.
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC.
∵∠BED＝47°，
∴∠ABC＝47°.
∴∠ABC的度数是47°.
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC·BE.
(1)求证：△BCD∽△BDE；
(2)如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
(1)证明：∵BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°，
∵BD2＝BC·BE，
∴＝，∴△BCD∽△BDE.
(2)解：易证△BDE∽△BAD，∴BD2＝BE·BA，
∵BD2＝BC·BE，∴BA＝BC＝10，
易证△ADE∽△ABD，∴AD2＝AE·AB，
∴AE＝＝3.6.
六、(本题满分12分)
21．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12
m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6
m，两个路灯的高度都是9.6
m，且AP＝QB.
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
题图 答图
解：(1)如题图，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，
＝，即＝，∴AP＝AB，
同理可得BQ＝AB，
而AP＋PQ＋BQ＝AB，∴AB＋12＋AB＝AB，∴AB＝18.
答：两路灯的距离为18
m.
(2)如答图，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴＝，即＝，
解得BN＝3.6
m.
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6
m.
七、(本题满分12分)
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝8
cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1
cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2
cm/s.如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，
则PB＝(6－t)cm，BQ＝2t
cm，
∵∠B＝90°，∴分两种情况：
①当＝时，即＝，解得t＝2.4；
②当＝时，即＝，解得t＝；
综上所述，2.4秒或秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
八、(本题满分14分)
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
猜想：如图①，点D在BC边上，BD
∶BC＝2
∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为______．
探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD
∶BC＝1
∶2，求的值．
应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝______．
解：猜想：如图①，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∵AF∥BC，
∴＝＝＝1，
∵BD
∶BC＝2
∶3，
∴BD
∶AF＝2
∶3，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴＝＝；
探究：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②，
设DC＝k，则BC＝2k，
∵AF∥BC，
∴＝＝1，即AF＝BC＝2k，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，∴＝＝＝；
应用：CE＝AC＝3，BC＝2CD＝4，
在Rt△BCE中，BE＝＝5，
∴BF＝2BE＝10，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴＝＝，
∴BP＝
BF＝×10＝6.
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沪科版九年级数学上册
第22章
达标检测卷
(考试时间：120分钟 满分：150分)
姓名：______ 班级：______ 分数：______
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．观察下列每组图形，相似图形是
( )
2．已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是( )
A．5x＝3y
B．x＋y＝8
C.＝
D.＝
3．已知△ABC∽△DEF，其相似比为1
∶4，则它们的面积比是( )
A．1
∶2
B．1
∶4
C．1
∶6
D．1
∶16
4．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适(人体正常体温约为37
℃)，这个气温大约为( )
A．23
℃
B．28
℃
C．30
℃
D．37
℃
5．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD
∶DF＝3
∶1，BE＝10，那么CE等于
( )
A.
B.
C.
D.
6．如图，在正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，E是AB的中点，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
7．如图，△OE′F′与△OEF关于原点O位似，相似比为1
∶2，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，则点E的对应点E′的坐标为( )
A．(2，1)
B.
C．(2，－1)
D.
8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
9．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高CD为9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为(保留到整数，1丈＝10尺)
( )
A．162丈
B．163丈
C．164丈
D．165丈
10．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，MN，则下列结论：①PM＝PN；②＝；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC.其中正确的( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在比例尺为
1∶25
000
000的地图上，2
cm所表示的实际长度是
千米．
12．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2
m，镜子与建筑物的距离是20
m．他的眼睛距地面1.5
m，那么该建筑物的高是
.
第12题图
第13题图
第14题图
13．★如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G，则图中共有
对相似三角形．
14．★在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B落在AC上的点D处，如图，若△ABC与△DMC相似，则BM的长度为
.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α，x的值．
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；
(2)计算△A′B′C′的面积．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，P为△ABC边BC上的中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD，求证：△ADC∽△CDP.
18．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测出AD＝30
m，DC＝25
m，DE＝30
m，那么你能算出池塘的宽AB吗？
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于点E.
(1)求证：CD2＝DE·DA；
(2)当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC·BE.
(1)求证：△BCD∽△BDE；
(2)如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
六、(本题满分12分)
21．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12
m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6
m，两个路灯的高度都是9.6
m，且AP＝QB.
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
七、(本题满分12分)
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝8
cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1
cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2
cm/s.如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
八、(本题满分14分)
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
猜想：如图①，点D在BC边上，BD
∶BC＝2
∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为______．
探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD
∶BC＝1
∶2，求的值．
应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝______．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．观察下列每组图形，相似图形是
( C )
2．已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是( B )
A．5x＝3y
B．x＋y＝8
C.＝
D.＝
3．已知△ABC∽△DEF，其相似比为1
∶4，则它们的面积比是( D )
A．1
∶2
B．1
∶4
C．1
∶6
D．1
∶16
4．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适(人体正常体温约为37
℃)，这个气温大约为( A )
A．23
℃
B．28
℃
C．30
℃
D．37
℃
5．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，如果AD
∶DF＝3
∶1，BE＝10，那么CE等于
( C )
A.
B.
C.
D.
6．如图，在正△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，E是AB的中点，则有( B )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
7．如图，△OE′F′与△OEF关于原点O位似，相似比为1
∶2，已知E(－4，2)，F(－1，－1)，则点E的对应点E′的坐标为( C )
A．(2，1)
B.
C．(2，－1)
D.
8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( A )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
9．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山AB位于树的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高CD为9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山AB的高为(保留到整数，1丈＝10尺)
( D )
A．162丈
B．163丈
C．164丈
D．165丈
10．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，MN，则下列结论：①PM＝PN；②＝；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC.其中正确的( B )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在比例尺为
1∶25
000
000的地图上，2
cm所表示的实际长度是
500
千米．
12．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2
m，镜子与建筑物的距离是20
m．他的眼睛距地面1.5
m，那么该建筑物的高是
15
m
.
第12题图
第13题图
第14题图
13．★如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC分别与AD，AE相交于点F，G，则图中共有
4
对相似三角形．
14．★在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC的一角沿着MN折叠，点B落在AC上的点D处，如图，若△ABC与△DMC相似，则BM的长度为
或
.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α，x的值．
解：(1)如图中，∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝，α＝40°，
∴x＝9.
(2)如图中，∠D＝180°－65°－70°＝45°，
∵△ABO∽△CDO，
∴α＝∠D＝45°.∴＝，
即＝，∴x＝m.
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；
(2)计算△A′B′C′的面积．
解：(1)如图．
(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，P为△ABC边BC上的中线AD上的一点，且BD2＝PD·AD，求证：△ADC∽△CDP.
证明：∵AD是△ABC边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∴CD2＝PD·AD，即＝，
又∠CDP＝∠ADC，
∴△ADC∽△CDP.
18．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E，使DE⊥AC，测出AD＝30
m，DC＝25
m，DE＝30
m，那么你能算出池塘的宽AB吗？
解：由题意可得：AB∥DE，
则△DCE∽△ACB，故＝，
∵AD＝30
m，DC＝25
m，DE＝30
m，
∴＝，解得AB＝66.
答：池塘的宽AB为66
m.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于点E.
(1)求证：CD2＝DE·DA；
(2)当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．
(1)证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD
∶AD＝DE
∶CD，
∴CD2＝DE·AD.
(2)解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵CD2＝DE·AD，∴BD2＝DE·AD，
∴BD
∶AD＝DE
∶BD.
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC.
∵∠BED＝47°，
∴∠ABC＝47°.
∴∠ABC的度数是47°.
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD2＝BC·BE.
(1)求证：△BCD∽△BDE；
(2)如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．
(1)证明：∵BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°，
∵BD2＝BC·BE，
∴＝，∴△BCD∽△BDE.
(2)解：易证△BDE∽△BAD，∴BD2＝BE·BA，
∵BD2＝BC·BE，∴BA＝BC＝10，
易证△ADE∽△ABD，∴AD2＝AE·AB，
∴AE＝＝3.6.
六、(本题满分12分)
21．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12
m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6
m，两个路灯的高度都是9.6
m，且AP＝QB.
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
题图 答图
解：(1)如题图，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，
＝，即＝，∴AP＝AB，
同理可得BQ＝AB，
而AP＋PQ＋BQ＝AB，∴AB＋12＋AB＝AB，∴AB＝18.
答：两路灯的距离为18
m.
(2)如答图，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴＝，即＝，
解得BN＝3.6
m.
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6
m.
七、(本题满分12分)
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝8
cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1
cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2
cm/s.如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，
则PB＝(6－t)cm，BQ＝2t
cm，
∵∠B＝90°，∴分两种情况：
①当＝时，即＝，解得t＝2.4；
②当＝时，即＝，解得t＝；
综上所述，2.4秒或秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
八、(本题满分14分)
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
猜想：如图①，点D在BC边上，BD
∶BC＝2
∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为______．
探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD
∶BC＝1
∶2，求的值．
应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝______．
解：猜想：如图①，
∵BE是AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∵AF∥BC，
∴＝＝＝1，
∵BD
∶BC＝2
∶3，
∴BD
∶AF＝2
∶3，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴＝＝；
探究：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图②，
设DC＝k，则BC＝2k，
∵AF∥BC，
∴＝＝1，即AF＝BC＝2k，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，∴＝＝＝；
应用：CE＝AC＝3，BC＝2CD＝4，
在Rt△BCE中，BE＝＝5，
∴BF＝2BE＝10，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB，
∴＝＝，
∴BP＝
BF＝×10＝6.
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精品试卷·第
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