沪科版九年级数学上册 第23章 《解直角三角形》达标检测卷（含解析）

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沪科版九年级数学上册
第23章
达标检测卷
(考试时间：120分钟　　　满分：150分)
姓名：______　　　班级：______　　　分数：______
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．计算：2sin
30°＝
(　　)
A．1
B.
C．2
D．2
在Rt△ABC，∠C＝90°，sin
B＝，则sin
A的值是
(　　)
A.
B.
C.
D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为(　　)
A.
B．m·cos
α
C．m·sin
α
D．m·tan
α
4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1
∶，坝外斜坡的坡度i＝1
∶1，则两个坡角的和为
(
　)
A．90°
B．60°
C．75°
D．105°
5．如图，要测量小河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点D，若测得BD＝60米，∠ADB＝40°，则AB等于
(　　)
A．60tan
40°
米
B．60tan
50°
米
C．60sin
40°
米
D．60sin
50°
米
6．如图，已知在平面直角坐标系x
Oy内有一点A(2，3)，那么OA与x轴正半轴的夹角α的余弦值是
(　　)
A.
B.
C.
D.
7．在△ABC中，cos
B＝sin(∠B－30°)＝sin(90°－∠A)，那么△ABC是
(　　)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4
km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离(即OB的长)为(　　)
A．4
km
B．(＋1)km
C．2(＋1)km
D．(＋2)km
9．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cos
A的值等于(　　)
A.
B.
C.或
D.或
10．★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为AC上一点，连接DE，并过点D作FD⊥ED，垂足为D，交BC于点F.若AC＝BC＝14，AE
∶EC＝4
∶3，则tan∠EFC的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知：tan
α＝，则锐角α＝
.
12．比较大小：cos
35°
sin
65°.
13．如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为
米．
14．★如图，点D在钝角△ABC的边BC上，连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA
∶CB＝5
∶7，则∠BAD的余弦值为
.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
(1)cos245°＋sin
60°·tan
30°－tan
30°；
(2).
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知∠A＝60°，b＝10，求a，c；
(2)已知c＝2，b＝3，求a，∠A.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝3，AD⊥BC于D，求CD.
18．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10
m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度．(结果精确到0.01，参考数据：sin
9°≈0.156，cos
9°≈0.988，tan
9°≈0.158)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．19．某商场为缓解某市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5
m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．(参考数据：sin
18°＝0.31，cos
18°＝0.95，tan
18°＝0.325)(结果精确到0.1
m)
20．如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
六、(本题满分12分)
21.(广元中考)如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5
km处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离6
km处是学校B.(参考数据：sin
36.5°≈0.6，cos
36.5°≈0.8，tan
36.5°≈0.75).
(1)求学校A，B两点之间的距离；
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆P，使得A，B两所学校到体育馆P的距离之和最短，求这个最短距离．
七、(本题满分12分)
22．在△ABC中，∠A＝90°，sin
B＝，点D在边AB上，若AD＝AC，求tan∠BCD的值．
八、(本题满分14分)
23．【阅读新知】
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即：如图①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：
a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C.
利用这个结论可求解下列问题：
例：在△ABC中，已知a＝2，b＝2，c＝＋，求∠A.
解：∵a2＝b2＋c2－2bccos
A，
cos
A＝＝＝.
∴∠A＝60°.
【应用新知】
(1)在△ABC中，已知b＝c
cos
A，a＝c
sin
B，试判断△ABC的形状；
(2)如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为2
海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里．求此时C处到灯塔B的距离．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．计算：2sin
30°＝
(　A　)
A．1
B.
C．2
D．2
在Rt△ABC，∠C＝90°，sin
B＝，则sin
A的值是
(　B　)
A.
B.
C.
D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为(　A　)
A.
B．m·cos
α
C．m·sin
α
D．m·tan
α
4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1
∶，坝外斜坡的坡度i＝1
∶1，则两个坡角的和为
(
C
　)
A．90°
B．60°
C．75°
D．105°
5．如图，要测量小河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点D，若测得BD＝60米，∠ADB＝40°，则AB等于
(　A　)
A．60tan
40°
米
B．60tan
50°
米
C．60sin
40°
米
D．60sin
50°
米
6．如图，已知在平面直角坐标系x
Oy内有一点A(2，3)，那么OA与x轴正半轴的夹角α的余弦值是
(　D　)
A.
B.
C.
D.
7．在△ABC中，cos
B＝sin(∠B－30°)＝sin(90°－∠A)，那么△ABC是
(　B　)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4
km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离(即OB的长)为(　C　)
A．4
km
B．(＋1)km
C．2(＋1)km
D．(＋2)km
9．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cos
A的值等于(　C　)
A.
B.
C.或
D.或
10．★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为AC上一点，连接DE，并过点D作FD⊥ED，垂足为D，交BC于点F.若AC＝BC＝14，AE
∶EC＝4
∶3，则tan∠EFC的值为(　D　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知：tan
α＝，则锐角α＝
30°
.
12．比较大小：cos
35°
＜
sin
65°.
13．如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为
100
米．
14．★如图，点D在钝角△ABC的边BC上，连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA
∶CB＝5
∶7，则∠BAD的余弦值为
.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
(1)cos245°＋sin
60°·tan
30°－tan
30°；
解：原式＝＋－
＝1－.
(2).
解：原式＝
＝－7－4.
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知∠A＝60°，b＝10，求a，c；
(2)已知c＝2，b＝3，求a，∠A.
解：(1)a＝b
tan
60°＝30；
c＝＝20.
(2)a＝＝.
∵sin
A＝＝，
∴∠A＝30°.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝3，AD⊥BC于D，求CD.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，∵∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB
sin
B＝3.
在Rt△ADC中，∵∠C＝60°，
∴CD＝＝.
18．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10
m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度．(结果精确到0.01，参考数据：sin
9°≈0.156，cos
9°≈0.988，tan
9°≈0.158)
解：在Rt△ABD中，
∠ABD＝30°，AB＝10
m，
∴AD＝AB
sin∠ABD
＝10×sin
30°
＝5(m)，
在Rt△ACD中，
∠ACD＝9°，sin
9°＝，
∴AC＝＝≈32.05(m)，
答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．19．某商场为缓解某市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5
m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．(参考数据：sin
18°＝0.31，cos
18°＝0.95，tan
18°＝0.325)(结果精确到0.1
m)
解：在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10
m，
∵tan∠BAD＝，
∴BD＝10×tan
18°，
∴CD＝BD－BC
＝10×tan
18°－0.5
＝2.75
m.
在△ABD中，∠CDE＝90°－∠BAD＝72°，
∵CE⊥ED，∴sin∠CDE＝，
∴CE＝sin∠CDE×CD
＝sin
72°×2.75
＝cos
18°×2.75＝0.95×2.75＝2.612
5≈2.6
m，
∵2.6
m＜2.75
m，且CE⊥AE，∴小亮说的对．
答：小亮说的对，CE的长为2.6
m.
20．如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，
得到Rt△ACD与Rt△BCD.
设CD＝x海里，在Rt△BCD中，
tan∠CBD＝，
∴BD＝，
在Rt△ACD中，tan
A＝，
∴AD＝，
∴AD－BD＝AB，即－＝60，解得x＝30.
BD＝＝15.
答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．
六、(本题满分12分)
21．25．(14分)(广元中考)如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5
km处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离6
km处是学校B.(参考数据：sin
36.5°≈0.6，cos
36.5°≈0.8，tan
36.5°≈0.75).
(1)求学校A，B两点之间的距离；
(2)要在公路MN旁修建一个体育馆P，使得A，B两所学校到体育馆P的距离之和最短，求这个最短距离．
题图　
解：(1)过点A作CD∥MN，BE⊥MN，如图．
在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5
km，
∵sin
36.5°＝＝0.6，
∴CA＝3
km，MC＝4
km，
　
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝6
km，
∵sin
45°＝＝，∴BE＝ME＝6
km，
∴AD＝CD－CA＝ME－CA＝3
km，
BD＝BE－DE＝BE－CM＝2
km，
在Rt△ABD中，AB＝
km.
作点B关于MN的对称点G，
连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为体育馆．
此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG，
即A，B两所学校到体育馆P的距离之和最短为AG长．
在Rt△ADG中，AD＝3，
DG＝DE＋EG＝DE＋BE＝4＋6＝10(km)，
∴AG＝＝＝(km).
答：最短距离为
km.
七、(本题满分12分)
22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sin
B＝，点D在边AB上，若AD＝AC，求tan∠BCD的值．
解：作DH⊥BC于H.∵∠A＝90°，
sin
B＝＝，设AC＝3k，BC＝5k，
则AB＝4k.∵AC＝AD＝3k，∴BD＝k.
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A，
∴△BHD∽△BAC，＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC－BH＝k，∴tan∠BCD＝＝.
八、(本题满分14分)
23．【阅读新知】
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即：如图①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：
a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C.
利用这个结论可求解下列问题：
例：在△ABC中，已知a＝2，b＝2，c＝＋，求∠A.
解：∵a2＝b2＋c2－2bccos
A，
cos
A＝＝＝.
∴∠A＝60°.
【应用新知】
(1)在△ABC中，已知b＝c
cos
A，a＝c
sin
B，试判断△ABC的形状；
(2)如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为2
海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里．求此时C处到灯塔B的距离．
解：(1)∵b＝c
cos
A，a＝c
sin
B，
∴cos
A＝，sin
B＝，
∴a2＝b2＋c2－2bccos
A＝b2＋c2－2bc×
＝c2－b2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴a＝c
sin
B＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)∵∠ADC＝180°－80°－50°＝50°，
∴CA＝CD＝6，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(2)2＋62－2×2×6×
＝12，
∴BC＝2.
答：C处到灯塔B的距离为2
海里
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精品试卷·第
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