北师大版九年级数学上册 4.4 探索三角形相似的条件 同步练习试题（Word版 含解析）

4.4 探索三角形相似的条件
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝ D．＝
2．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．＝ B．＝ C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB
3．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（　　）
A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BC
B．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似
C．若，则△AEF与△ABC相似
D．若AF?BE＝AE?FC，则△AEF与△ABC相似
6．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的是（　　）
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列说法，其中正确的有（　　）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
10．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是　 　．（写出一个即可）
11．如图，若△ABC∽△EBD，需添加的一个条件是　 　（填写一个条件即可）．
12．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN＝　 　时，△AMN与原三角形相似．
三．解答题
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF?DF＝CF?BF．求证：△CAB∽△DAE．
14．在△ABC中，BC＝10cm，AC＝6cm，点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A移动，若P，Q同时出发，设运动时间为ts，则△CPQ能否与△CBA相似？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
15．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．

参考答案
一．选择题
1．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；
当＝时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
2．解：A、根据两边成比例夹角相等，可以证明三角形相似，本选项不符合题意．
B、无法判断三角形相似，本选项符合题意．
C、根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．
D、根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．
故选：B．
3．解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
4．解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意；
故选：D．
5．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．
选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．
选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．
选项D正确．理由：∵AF?BE＝AE?FC，
∴＝，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
故选：D．
6．解：设第个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、、．则
②△BCD的各边长分别为1、、2；
③△BDE的各边长分别为2、2、2（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、、（为△ABC各边长的倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、、（为△ABC各边长的倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、、．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故选：B．
7．解：A、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：B．
8．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．解：各有一个角是60°的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；
顶点为80度的等腰三角形与底角为80度的等腰三角形不相似，所以②错误；
各有一个角是100°的两个等腰三角形的底角都为40度，它们相似，所以③正确；
腰与底边成比例的两个等腰三角形相似，所以④错误．
故选：B．
二．填空题
10．解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝时，△ACP∽△ABC，
故答案为：∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
11．解：由题意可得：∠ABC＝∠DBE，
∴当∠DEB＝∠A或∠BDE＝∠BCA或时，△ABC∽△EBD，
故答案为：∠DEB＝∠A或∠BDE＝∠BCA或（答案不唯一）．
12．解：由题意可知，AB＝10，AC＝5，AM＝2，
①若△AMN∽△ABC，
则
即，
解得：AN＝1；
②若△AMN∽△ACB，
则，
即，
解得：AN＝4；
故AN＝1或4．
故答案为：1或4．
三．解答题
13．证明：∵EF?DF＝CF?BF．
∴，
∵∠EFC＝∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴∠CEF＝∠B，
∴∠B＝∠AED，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴△CAB∽△DAE．
14．解：设运动时间为ts，则BP＝2t，CP＝10﹣2t，CQ＝t，
∵∠PCQ＝∠ACB＝90°，
∴当△CPQ和△CAB相似时，有∠CPQ＝∠B或∠CPQ＝∠A，
当∠CPQ＝∠B时，则有＝，
∴＝，
解得t＝．
当∠CPQ＝∠A时，则有＝，
∴＝，
解得t＝．
综上所述，t的值为或．
15．证明：∵∠FEC＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∵ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠D，
∴△AEF∽△DCE．
16．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）证明：∵△BDE∽△CAD，
∴∠BED＝∠CDA，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA
即∠AED＝∠ADB．
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABD．