苏科版八年级上册 第六章 一次函数应用：一次函数与不等式（二）（Word版 含解析）

第六章
一次函数应用：
一次函数与不等式（二）
1．设有一列数a1，a2，…，an，…，简记为{an}．若数列{an}满足：an＝kn+b（n为正整数，k＞0）（可以把an看作n的一次函数）；数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≤m成立的所有n中的最大值．
（1）若k＝，b＝，求b5；
（2）若k＝2，b＝﹣1，求满足bm＝2011的m的值；
（3）是否存在k和b，使得bm＝3m+2（m为正整数）？如果存在，求k和b的取值范围；如果不存在，请说明理由，
2．在如图坐标系下画出函数y1＝﹣2x+5的图象．
（1）正比例函数y2＝x的图象与y1图象交于点A，画出y2的图象并求A点坐标；
（2）根据图象直接写出y2≤y1时自变量x的取值范围．
（3）y1与x轴交点为B，求△OAB的面积．
3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：
在函数y＝|2x+b|+kx（k≠0）中，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图形，直接写出不等式|2x+b|+kx≤x﹣1的解集．
4．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3）
（1）求m，a的值；
（2）根据图象，直接写出不等式2x＞ax+4的解集．
5．小彤根据学习函数的经验，对函数的函数图象与性质进行了探究，下面是小彤探究过程，求补充完整：
（1）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
n
6
7
8
…
y
…
m
0
﹣1
3
2
…
则m＝　
　，n＝　
　；
（2）在平面直角坐标系xOy中，补全此函数图象；
（3）若函数的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　
　；
（4）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
6．我们学习过用列表、描点、连线的方法作出函数图象，探究函数性质．请运用已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象并探究该函数的性质．列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
﹣
a
﹣6
b
﹣6
﹣3
﹣
﹣1
…
（1）直接写出a、b的值：a＝　
　，b＝　
　；并描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数图象，写出该函数的两条性质：
性质1：　
　；
性质2：　
　；
（3）请结合所画函数图象，直接写出不等式﹣＞﹣2x+1的解集．
7．在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝k1x+b1与x轴交于点B（12，0），与直线l2：y2＝k2x交于点A
（6，3）．
（1）分别求出直线l1和直线l2的表达式；
（2）直接写出不等式k1x+b1＜k2x的解集；
（3）若点D是直线l2上一点，且S△COD＝S△AOC，试求点D的坐标．
8．已知函数y＝，请根据已学知识探究该函数的图象和性质．
（1）列表，写出表中a、b、c的值：a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0.6
a
3
b
3
1.2
c
…
（2）描点、连线，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：　
　．
（3）已知函数y＝x+2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式≥x+2的解集：　
　．
9．如图，一次函数y1＝x+1的图象与正比例函数y2＝kx（k为常数，且k≠0）的图象都经过A（m，2）．
（1）求点A的坐标及正比例函数的表达式；
（2）利用函数图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
10．已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
参考答案
1．解：（1）∵k＝，b＝，
∴n+≤5，
∴n≤，
∴nmax＝11，
∴b5＝11；
（2）∵k＝2，b＝﹣1，
∴2n﹣1≤m，
∴n≤，
∴bm＝nmax＝2011，
∴m＝4021或4022；
（3）存在．
kn+b≤m，nmax＝3m+2，
∴﹣1＜3m+2≤，
若＞3，则﹣1＜3m+2不成立；
若＜3，则3m+2≤不成立；
∴＝3，即k＝，则3b+1＞﹣2≥3b，
∴﹣1＜b≤﹣．
2．解：（1）解方程﹣2x+5＝x得x＝2，则A（2，1），
如图，
（2）x≤2时，y2≤y1；
（3）当y＝0时，﹣2x+5＝5，解得x＝，则B（，0），
∴△OAB的面积＝×1×＝．
3．解：（1）将x＝0，y＝1；x＝﹣1，y＝3分别代入函数y＝|2x+b|+kx（k≠0）得：
解得：或（舍）
∴y＝|2x+1|﹣2x．
（2）当2x+1≥0，即x≥﹣时，y＝1；
当2x+1＜0，即x＜﹣时，y＝﹣1﹣4x；
∵y＝1为平行于x轴的直线，y＝﹣1﹣4x为过（﹣1，3）、（﹣，5）的射线
故可作图如下：
这个函数的一条性质为：函数图象不过原点．
（3）由（2）中图象可知不等式|2x+b|+kx≤x﹣1的解集为x≥4．
4．解：（1）把（m，3）代入y＝2x得，2m＝3，
解得，
∴点A的坐标为（，3），
∵函数y＝ax+4的图象经过点A，
∴，
解得；
（2）由图象得，不等式2x＞ax+4的解集为．
5．解：（1）当x＝﹣1时，y＝＝＝；
当y＝2，则＝2，解得x＝5，
∴m＝，n＝5，
故答案为，5；
（2）如图所示：
（3）由图象可得，当x1＜3时，y1＜1；当3＜x2＜x3时，1＜y3＜y2．
∴y1、y2、y3之间的大小关系为y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
（4）由图象可得，不等式的解集为x＜2或3＜x＜7．
6．解：（1）当x＝﹣2时，y＝＝﹣3，
∴a＝﹣3；
当x＝0时，y＝＝﹣9，
∴b＝﹣9，
画出函数图象如图：
（2）由图象可知，
①当x＞0时，y随x值的增大而增大，当x＜0时，y随x值的增大而减小；
②函数的图象关于y轴对称；
故答案为当x＞0时，y随x值的增大而增大，当x＜0时，y随x值的增大而减小；函数的图象关于y轴对称；
（3）由图象可知，不等式﹣＞﹣2x+1的解集是x＞2．
7．解：（1）把点A（6，3），B（12，0）代入直线l1：y1＝k1x+b1得，
解得，
∴直线l1的表达式为y1＝﹣x+6；
将A（6，3）代入直线l2：y2＝k2x得，3＝6k2，
解得k2＝，
∴直线l2的表达式为y2＝x；
（2）由图象可知：不等式k1x+b1＜k2x的解集为x＞6；
（3）将x＝0代入y1＝﹣x+6得，y1＝6，
∴C（0，6），
∴S△AOC＝＝18，
设D（x，），
∵S△COD＝S△AOC＝＝9，
∴|x|＝9，
解得|x|＝3，
∴x＝±3，
∴D（3，）或（﹣3，﹣）．
8．解：（1）当x＝﹣2时，a＝＝1.2，
当x＝0时，b＝6，
当x＝3时，c＝＝0.6，
故答案为：1.2，6，0.6；
（2）如图所示：
性质：函数关于y轴对称；（答案不唯一：或函数有最大值是6）；
故答案为：函数关于y轴对称；
（3）由图象得：不等式≥x+2的解集是：x≤1；
故答案为：x≤1．
9．解：（1）将点A的坐标代入y1＝x+1，
得m+1＝2，
解得m＝1，
故点A的坐标为（1，2），
将点A的坐标代入y2＝k
x，
得k＝2，
则正比例函数的表达式为y2＝2x
（2）结合函数图象可得，当y1＞y2时，x＜1．
10．解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积＝×6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．