沪教版（上海）初中数学七年级第一学期 10.5 可以化成一元一次方程的分式方程 教案

§10.5
可以化成一元一次方程的分式方程
教学目标:
1.使学生在与整式方程的对比中理解分式方程.
2.理解可化为一元一次方程的分式方程的一般解法，领会转化的数学思想，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程.
3.使学生知道增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程必须验根，并掌握验根的方法.
重点与难点：
1.重点：理解分式方程的概念,掌握解可以化为一元一次方程的分式方程的一般步骤.
2.难点：理解分式方程验根的必要性,
掌握验根的方法.
教学过程:
一．复习旧知：
1.我们学过哪些方程？一元一次方程、二元一次方程、三元一次方程.
我们把这类分母中不含未知数的方程叫做整式方程．
2.什么叫方程的解？使方程的两边相等的未知数的值叫做方程的解.
二.创设情境、引入新课:
师：今天老师有这样一个问题,想请同学们帮忙解答,请看问题：
繁华的徐家汇,坐落着两所百年老校,徐汇中学至市四中学的距离约为1千米，自行车的速度是步行速度的5倍，若从徐汇中学出发抵达市四中学，骑自行车可比步行提前12分钟到达，那么骑自行车和步行的平均速度各是多少？
师：如何解决这个问题？
可以选择列方程.
师：如何设元？
解：设步行速度为x千米/小时，那么骑自行车的速度是5x千米/小时.
师：根据哪个条件来设的？自行车的速度是步行速度的5倍.
列表分析如下:
师：哪个量最容易填？
路程(千米)
速度(千米/小时)
时间(小时)
步行
1
x
自行车
1
5x
师：等量关系找到吗？
根据条件:
“骑自行车可比步行提前12分钟到达”，
得：步行时间-骑自行车时间=,
可列出方程：
三.探索新知、概括定义：
师：这个方程和我们以前所学过的方程有何不同？
它的主要特点是分母中含有未知数.
师：你是如何想到把这个方程叫做分式方程的？
我们学习过的数可以分为：整数和分数；学习过的式有整式和分式；自然可以联想到所学的方程有整式方程和分式方程.
四.合作交流、探究解法：
我们这节课就来研究分式方程.
板书：_____________________分式方程
板书：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．书P83
师：强调:分母里含未知数、方程缺一不可.
分式方程和整式方程的根本区别是分母中是否含有未知数.
练习：判断下列各式中，哪些是分式方程？
（1）；（2）；（3）；（4）
（5）；
解:（1）、（2）、（4）是分式方程；（3）、（5）是分式.
师：知道了什么是分式方程，下面就来研究分式方程的解法.
例题1：解方程：，
师：你能把这个方程转化为学过的方程来解吗？
可以转化为学过的整式方程（一元一次方程）.
整式方程和分式方程根本的区别是一个分母中有未知数，一个没有未知数，而实现转化就是要把分母中的未知数去掉，也就是去分母.
师：为什么要乘以2x？如果乘以4x、8x可以吗？
2x正好是分式的最简公分母.
为了计算简便乘以最简公分母.
例题1：解方程：
解：方程两边同时乘以2x，得：（强调：不要漏乘整数项）
师：这是一个什么方程？一元一次方程.
因为我们现在学过一元一次整式方程.
所以今天我们研究：可以化为一元一次方程的分式方程.完整课题.
x=
师：如果我们想检验一下这种解法，就需要检验一下所求出的数是不是原方程的解.
检验：将x=代入原方程，得:
，右边=
∵左边=右边，∴x=是原方程的解(根).
师：一元方程的解也叫做方程的根，一元即一个未知数.
师：解分式方程并不神秘，可以想想一般方法是什么？
板书：解分式方程的一般方法：
分式方程
整式方程
师：知道了解分式方程的一般方法，请大家再来解下面这题：
例题2：解方程：,
(先由学生独立思考,再提问一个学生:目标.方法.最简公分母?)
解法一：方程两边同时乘以x-1，得
x+x-1=1
得x=1
有没有不同解法？
解法二：
1=
-1
∴原方程无解.
师：发现问题了？
两种解法一个有解，一个无解，谁错了？都没有错.
①方程两边去分母乘错了吗？整式方程解错吗？
是整式方程的根吗？是.
是原分式方程的根吗？不是.
那么哪一步有可能出现问题？去分母.
②我们来看解法二，等式1=-1原来不成立，通过乘以了x-1恰好是0，使原来不相等的两边也相等了，就产生了不适合原方程的根.
也可以这样理解：原分式方程的未知数是在x≠1的范围内取值的，而整式方程的未知数是在所有的有理数的范围取值，因此在分式方程转化为整式方程的过程中扩大了未知数x的取值范围，就产生了不适合原方程的根.
在分式方程的变形过程中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原分式方程的增根.
这就是说,把一个分式方程的两边乘以同一个整式后,有增根的可能性.
③解分式方程有可能产生增根,所以必须检验.如何检验?
如能保证求解过程正确：
（1）代入原方程检验，使原分式方程的各分母均不为零的根是原分式方程的根.(只要有一个分母值为零,即是增根.)
（2）如能保证求解过程正确，可代入最简公分母检验.使最简公分母等于零的根是原分式方程的增根，应当舍去.
一元一次方程只有一个根，若是分式方程的增根舍去后，原分式方程无解.使最简公分母不等于零的根则是原分式方程的根.
如能保证求解过程正确，用代入最简公分母的这种验根方法比较简便．
完善例2的检验过程：
检验：把x=1代入x-1，
x-1=0
∴x=1是原方程的增根，舍去
∴原方程无解.
师：我们可以归纳解分式方程的一般步骤：
板书：解分式方程的一般步骤：
1.方程两边都乘以最简公分母,化整式方程.
2.解这个整式方程.
3.检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
五.练习巩固、深化提高：
练习：
（1）
（）
（2）（x=2是增根，原方程无解）
练习2：这个同学观察仔细,由这个方程形式的特殊性,想到通过移项，得到3=1(矛盾等式).虽然采用的方法不同，同样可得出方程无解的结论.
六.总结反思:
这节课我们一起学习了____方程.
解这个新方程是将它转化为_____.
转化的一般方法是_____.
转化的过程中有可能产生____.
因此必须____.
在保证计算正确的前提下，可以只代人____检验.
如是增根，则应该___.
师：现在可以帮老师求出步行和骑自行车的速度分别是多少了吗?
七.布置作业:
练习册：10.5
思考题：
师：能解分式方程吗?请试一试.
虽然这个整式方程还不会解,但我们已经会运用转化的思想方法把这个分式方程转化为整式方程.今后我们还将学习其他形式的分式方程.今天的课就到这里,谢谢大家!
对同一教学内容不同教学设计的比较和反思
一堂成功的数学课在教案设计、课件制作上都应该是经过了深思熟虑，反复推敲和修改的。而在修改教案和课件的过程中，我们也能学习到很多。下面我就谈谈我对七年级上《能化为一元一次方程的分式方程》反复修改教案和课件后的体会。
三处改动：
　　改动一：删掉了整式方程的复习和例题辨析部分。本堂课的主要内容是探索分式方程的解法，若在这里安排这个内容，占用过多的时间，以致后面不能进行充分的训练，不能突出重点。而修改后的教案设计中,在
本节课一开始复习整式方程概念，直接切题，不会浪费时间，整个过程也显得紧凑，给后面的练习节约了很多的时间。
改动二：把例一从解方程：
改成了解方程：。在设计例一时，最开始的想法是让学生明白将分式方程转化为整式方程的一般方法是去分母。但由于此方程的特殊性，在上试讲课时发现，很多学生容易按比例的运算，直接交叉相乘，给了学生一些误导，不便于学生找一般规律，后来就换成了后一个方程，这个方程就要求学生必须先找最简公分母，更具有一般性。
　　改动三：解方程：,
解法一：方程两边同时乘以x-1，得
x+x-1=1，x=1
解法二：，得=
-1，原方程无解.
把增根的引入换到了例二两种解法之后
，对于初学解分式方程的学生来说，最不好理解的就是为什么要验根？增根产生的原因是什么？把增根概念的引入放到学生练习之后，提出两种解法的矛盾，引出学生的思考。　这一环节是本节课的难点，此时我设置了一个问题串，降低难度，并且此环节的内容可以说是适度．考虑学生的认知水平，关于增根的过多知识点我大胆舍去，只把目标定于了解解分式方程产生增根的原因和掌握验根的方法，最后统一认识，从而突破本节课的难点．　
个人简介：
夏文依，女，34岁。2000年毕业于上海师范大学数学系，现任教于上海市徐汇中学.
分式方程
整式方程
方法:去分母
目标:转化
（一元一次方程）
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