沪教版（上海）数学八年级第二学期-21.3 （1）无理方程 教案

基本信息表：
课题
21.4（1）无理方程
课型
新授课
年级
八
班级
1
周次
一、教学目标：
1、会识别无理方程，理解无理方程、有理方程、代数方程的概念；
2、知道无理方程会产生增根的原因，掌握无理方程验根的方法；
3、经历探索运用一次平方的方法把无理方程转化为整式方程的过程，掌握简单的无理方程的解法和一般步骤；
4、通过把求无理方程的解转化为求整式方程的解，体会数学“化归”思想.
二、教学设计分析：
重点：理解无理方程的概念；掌握解无理方程的一般步骤.
难点：理解无理方程产生增根的原因；正确地解无理方程并进行检验.
三、教学方法设计与教学准备：
方法：讲练结合、学生实践
准备：课件
四、教学过程：
一、问题引入
1、出示问题：用一根30cm长的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为5cm，
应该怎样弯折？
方法一：设另一条直角边长为，则斜边长为，
根据题意，可得方程
.
方法二：设另一条直角边长为，则斜边长为，
根据题意，可得方程
.
2、观察：以上两个方程有何异同？
方法二所得的方程与之前学习过的方程有什么区别？
二、新课学习
（一）无理方程的概念
1、下列方程是什么方程？
2、引出课题：
是什么方程呢？引出“无理方程”
3、无理方程的概念：方程中含有根式,且被开方数里含有未知数,这样的方程叫做无理方程.
无理方程也可叫做根式方程.
引导学生抓住关键词：根式、被开方数、未知数
4、概念辨析：
练习：判断下列方程是不是无理方程
（二）代数方程的分类
（1）回顾实数与代数式的分类
整数
整式
有理数
有理式
实数
分数
代数式
分式
无理数
无理式
（2）引出代数方程的分类
整式方程
有理方程
代数方程
分式方程
无理方程
（三）无理方程的解法
1、例题：解方程
（1）思考：通过什么方法可以解无理方程？解法的依据是什么？
学生活动：类比以前学习的分式方程、一元二次方程、二元一次方程组等的解法和思路，
体会方程的转化是问题的关键，从而运用等式两边同时平方的方法把无理方程转化
为整式方程，再进行求解。依据的是等式性质和二次根式的性质。
（2）辨析：求出的整式方程的解是不是原无理方程的解？如何检验？
学生活动：通过把求得的整式方程的解代入原方程，发现使方程左右两边不相等，即产生
增根。
追问：为什么会产生增根？
分析：无理方程中被开方数的取值范围是，从而得到未知数相应的取值范围。而
整式方程中未知数的取值范围是一切实数，说明在转化的过程中未知数的允许取值范围
被扩大，就可能产生增根。
结论：无理方程必须检验。
（3）学生完成检验过程，完整解方程的步骤。
（4）归纳：
解简单的无理方程的方法：
无理方程
有理方程
解简单的无理方程的一般步骤（流程图）：
开始
去根号
解有理方程
检验
是
否
原方程的根
增根，应舍去
写出原方程的根，结束
2、尝试实践：
练习：在横线上填上适当的数、式或符号，把解方程的过程补充完整.
解方程：
解：两边平方，得
整理，得
解这个方程，得
，
检验：把
分别代入原方程的两边，左边=
，右边=
，
由左边
右边，可知
是原方程的
；
把
分别代入原方程的两边，左边=
，右边=
，
由左边
右边，可知
是原方程的
.
所以，原方程的根是
.
交流体会：完成练习后有什么新的发现或是感想要与同学们交流的？
归纳：无理方程的增根除了使方程两边不相等的情况以外，还有使被开方数小于零的情况.
3、拓展（一题多解）：解方程
学生活动：学生独立尝试解决，再进行小组交流，全班汇报.
三、课堂小结
谈谈你本节课的收获
（从概念、解题的方法、值得注意的关键点等方面进行交流.
）
四、布置作业
1、必做题：练习册
21.4（1）
2、选做题：解方程
五、板书设计：
21.4（1）可化为一元二次方程的分式方程
1、无理方程的概念
2、代数方程的分类
整式方程
有理方程
代数方程
分式方程
无理方程
3、解无理方程的方法和一般步骤
无理方程
有理方程
流程图：
开始
去根号
解有理方程
检验
是
否
原方程的根
增根，应舍去
写出原方程的根，结束
学历案：
（一）现象：
1、个别学生总是遗漏解无理方程的检验步骤；
2、解无理方程时对于方程的整理和变形技巧不够熟练，错误率较高.
（二）原因：
1、学生对于增根产生的原因理解不够透彻，导致没有重视检验的必要性；
2、解方程时过于机械，按部就班，没有从简便的角度认真思考，也没有观察方程中各项系
数的关系等.
（三）对策：
1、更透彻的从我们解无理方程是渗透的转化思想和采用的去根号的方法入手，通过演示和比较，让学生更透彻的理解无理方程的增根产生的原因，进一步认识到检验的必要性.
2、培养学生对数字的敏感度和观察能力，养成边解方程边整理化简的好习惯.
去根号
两边同时乘方
去根号
两边同时乘方
4