人教版八年级上册14.3.2 公式法因式分解（平方差公式）课件（共23张ppt）

公式法因式分解
（平方差公式）
学习目标
会用平方差公式分解因式，能综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解.
通过乘法公式(a+b)(a-b)＝a2-b2的逆向变形，进一步増强观察、归纳能力.
温故知新
1、什么叫把多项式分解因式?
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法
多项式（和）
因式分解
整式乘法
因式（积）
因式分解与整式乘法是互逆过程
提公因式法
温故知新
认真阅读课本第116和117页的内容，完成下列问题.
先学后教
（限时5分钟）
知识精讲
a
a
b
a-b
b
b
a-b
前面我们学习整式乘法是曾通过计算两个图形阴影部分的面积，验证一个等式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
或 a2-b2=(a+b)(a-b)
知识精讲
整式乘法
因式分解
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
平方差公式：
典例解析
例3：分解因式：
(1)4x2 － 9; (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
=(2x)2-32
a2﹣b2
=(2x+3)(2x-3)
=(a+b)(a -b)
“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式
例3：分解因式：
(1)4x2 － 9; (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
=(2x)2-32
a2﹣b2
=(2x+3)(2x-3)
=(a+b)(a -b)
整体思想
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
典例解析
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2
检测
例4：分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y)
(2)原式＝ab(a2-1)
分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
＝ab(a+1)(a-1)
典例解析
解题技巧：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
检测
1. 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②，得
解得
解题技巧：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
拓展题
2.计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400.
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
解题技巧：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
3. 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n.
∵n为整数，
∴8n能被8整除，
解题技巧：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
当堂训练
1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
?
?
?
?
?
?
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
① x2+y2
② x2-y2
③ -x2-y2
④ -x2+y2
⑤ x2-25y2
⑥ m2-1
-(x2+y2)
y2-x2
(x+5y)(x-5y)
(m+1)(m-1)
“两项、异号、平方形式”
2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
D
3.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
4.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
5.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2=_________________;
(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3) 9xy3-36x3y=_________________;
(4) -a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
6.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值
是_______.
4
7.已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
∴原式=-40×5=-200．
解：(m+2n)2-(3m-n)2
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)(2m-3n).
∵4m+n=40，2m-3n=5，
=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
8. (1)992-1能被100整除吗？
解：(1)因为 992-1=(99+1)×(99-1)=100×98，
所以(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数，（2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能被100整除.
(2)（2n+1)2-25=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)
=4(n+3)(n-2).
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止
课堂总结