人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.3正多边形和圆（共26张ppt）

第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
【学习目标】
1.了解正多边形的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，
3.熟练掌握正三边形、正方形、正六边形的有关计算。
4.会用等分圆的方法画正多边形，会用等分圆设计图案
【课】前预习】
1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠D=（ ）
A．90° B．120° C．150° D．240°
2．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A:∠B:∠C:∠D的可能的值是（ ）
A．1:2:3:4 B．1:3:2:4 C．1:4:2:3 D．1:2:4:3
3．已知AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧 上的点，则 的度数为（ ）
A．135° B．130° C．120° D．110°4．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（　　）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
5．在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为（ ）
A．36° B．72° C．144度 D．36°或144°
【课前预习】答案
1．A
2．D
3．C
4．B
5．D
问题1，什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
⌒
⌒
B
4
⌒
⌒
1
2
3
A
C
D
E
⌒
5
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形。
⌒
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⌒
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
O
·
中心角
半径R
边心距r
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC=
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
O
A
B
C
D
E
F
R
P
r
练习：分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R
在Rt△OBD中 ∠OBD=30°,
边心距＝OD=
在Rt△ABD中 ∠BAD=30°,
·
A
B
C
D
O
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
·
A
B
C
D
O
E
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120 °
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
A
O
C
B
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．
课堂练习：
1、O是正
圆与　　　　圆的圆心。
△ABC的中心，它是△ABC的
2、OB叫正△ABC的　　　　　，它是正△ABC的
　 圆的半径。 　　　　　
3、OD叫作正△ABC的　　　　　，它是正△ABC的 圆的半径。
A
B
C
　.O
D
外接
内切
半径
外接
边心距
内切
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的
A
B
C
D
.O
E
中心
边心距
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 　　　　，
它是正五边形ABCDE的　　　　　圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的　　　　角，
它的度数是
D
E
A
B
C
.O
F
边心距
内切
中心
72度
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是　　　　
它的度数是
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？　
B
A
E
F
C
D
.O
∠AOB
60度
【课后练习】
1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠D=（ ）
A．90° B．120° C．150° D．240°
2．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A:∠B:∠C:∠D的可能的值是（ ）
A．1:2:3:4 B．1:3:2:4 C．1:4:2:3 D．1:2:4:3
3．已知AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧 上的点，则 的度数为（ ）
A．135° B．130° C．120° D．110°
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径 B．相等的弦所对的弧相等
C．圆内接四边形的对角互补 D．三个点确定一个圆
11．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于_______cm2．
12．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
13．圆中一条弦所对的圆心角为60°，那么它所对的圆周角的度数为______．
14．已知⊙O的半径2，则其内接正三角形的面积为 ．
15．若正多边形的边长为2，内角和是720°，则该正多边形的面积是________．
【课后练习】答案
1．C 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．B 10．B
11．
12．1800°
13．30°或150°
14．3 ．
15．