木料中的数学（圆柱）
学习目标
1.引导学生经历回忆、整理知识的过程，建构知识体系，体会知识整理复习的方法，掌握圆柱与圆锥的相关特点与特征,能熟练地运用公式进行圆柱表面积、体积以及圆锥体积的计算。
2.通过让学生对知识的整理,提高学生自主获取知识与概括知识的能力。在练习、讨论、合作中发展学生的空间观念,并进一步提高运用知识解决实际问题的能力。
3.通过整理、交流、合作、探究等体验探究的乐趣,感受数学的价值,培养学生“学数学、用数学”的意识和创新的精神。
教学重点：掌握圆柱与圆锥的相关特点与特征,并能熟练地进行圆柱、圆锥表面积或体积的计算。
教学难点：通过对知识进行整理,提高学生自主获取知识与概括知识的能力。
教学过程
教师活动
学生活动
评价要点
(课件出示图片)老师给同学们带来一些工艺品的图片,请欣赏。同学们,知道这些精美的工艺品是用什么材料制作出来的吗?今天老师就带领同学们去木艺加工厂参观一下,(出示课件)这么多木头,我们先选择这段木桩来研究。(出示课件)观察这个圆柱形木头，回想圆柱有什么特征？加工厂要对这段木头进行加工改造,会怎样改造呢?让我们去车间看一看第一车间刷刷的部分是圆柱的什么？对了是圆柱的表面，那请同学们回想有关圆柱表面积的知识？我们是如何推导侧面积和表面积计算公式的？根据学生的回答追问侧面展开一定是长方形吗？小师傅们如果让你给这个木桩刷油漆。你想怎么刷？能不能提出数学问题？要想解决你提出的问题需要那些数据？追问：还可以是什么？知道底面半径和高可以吗？知道底面周长和高呢？现在老师给你提供数据，试着解决你提出的问题，只列算式不计算。学生展示自己的问题和解答过程。只刷一个底和侧面。(生活中有只求一个底和侧面的例子吗?)B.只刷侧面。(举生活中的例子)C.三个面全刷。第二车间削要把圆柱削成圆锥体,怎么削才能最大呢?现在请同学们观察圆柱和圆锥，它们之间有什么相同点和不同点？
还有相同点吗？引导学生回想转小棒的活动这时圆锥的体积与圆柱的体积有什么关系?请同学们回想我们是怎么推导圆柱体积和圆锥体积的？现在请你快速算出圆柱和圆锥的体积。(4)加工厂把圆柱削成了陀螺,你能算出这个陀螺的体积吗?现在我们需要停下来回想反思一下，看我们在参观的过程结合一段圆柱形木头用数学的眼光去观察它发现其中蕴含的数学问题，并且从特征、表面积、体积三个方面梳理了有关圆柱和圆锥的知识，还自己提出了一些问题并一一解决了，你们真的很了不起。相信你们对圆柱和圆锥的理解与应用有了更进一步的提升。下面我们还继续参观吧？第三车间锯师：这个车间的师傅在干什么？对了工人师傅在锯木头，那小师傅们你会怎么锯？能不能提出数学问题？(1)横锯。根据学生的表述,进行课件演示,请学生解答。如果再锯一次,表面积增加几个面呢?还可以怎么锯？(2)竖锯。根据学生的表述,进行课件演示,这时表面积比原来增加了多少?
学生回答是用木头制成的。学生回答圆柱有两个底面是大小相等的圆，一个侧面是曲面，高有无数条。学生举手表述推导过程预测学生可能表述不完整直接说侧面展开是长方形学生认识到沿高展开可能是长方形也可能是正方形，斜着剪开是平行四边形，不规则剪开是不规则图形学生提出可以全刷，部分刷，问题都是求刷漆面积。学生提出要想解决问题需要知道圆柱形木桩的底面直径和高。学生展示交流他们的问题和解答。学生说出削成和圆柱等底等高的圆锥。学生说出相同点侧面都是曲面，底面都是圆，不同点圆锥有一个底面，圆柱有两个底面，圆锥一条高，圆柱有无数条高。学生说出圆柱和圆锥都可以由平面图形旋转得到教师展示教具学生表述推导过程学生列出算式挑学生板演，集体核对答案学生展示讲解他们解答过程。学生展示并讲解他们解答过程。
学生能说出圆柱的特征学生能够说出侧面积推导过程表面积计算公式学生知道需要什么数据学生能够正确解答问题。学生能正确解答并能举例学生能够说出圆柱和圆锥的相同点和不同点学生能够说出推导过程学生能正确解答学生能正确解答学生能体会锯一次增加两个面学生能正确解答学生能正确解答
教师小结同学们通过参观我们知道木材有很大的作用，现实生活中很多人为了牟利就乱砍乱伐树木，看看这张图片你有什么感想？我们要做森林的小卫士今天这节复习课我们在参观的过程中整理了知识，你们太棒了。处处留心皆学问，希望同学们以后能够善于思考，学会用数学的眼光去观察生活，利用数学知识解决生活中的实际问题。
学生讨论爱护树木，不乱砍乱伐树木，保护环境从我做起。方中圆
圆中方
教材：学习了正方形及圆的面积之后整合的一节课
课题：方中圆
圆中方的面积关系
教学目标：
经历综合运用知识推导计算面积比的过程。
2、能综合运用所学知识，推导计算出面积比。
3、能运用推导出的规律解决一些数学问题。
4、积极参加数学活动，发展数学思维，感受利用这个规律解题的简单
重难点分析：
重点：面积比的推导过程及应用
难点：面积比的推导过程及应用
教具：PPT
教学过程
一、创设情境，导入新课
生活中因为有了棱角分明的“正方形”而个性鲜明，因为有了完整和谐的“圆”而婀娜多姿。当正方形和圆巧妙结合后，刚中有柔---更加令人神往。想不想欣赏一下它们在现实生活中的一些巧妙结合。
生：想
师：让我们一起来欣赏
出示图片
古代建筑上的窗户
屏风（客厅的装饰
隔断）咱们学校的窗户
师：前两个跟后面这一个有什么区别和联系？
联系：都是由正方形和圆组合成的图形
区别：前两个是正方形里最大的圆，后面一个是圆里最大的正方形。
像这样，正方形与它里面最大的圆组合成的图形称为“方中圆”，圆与它里面最大的正方形组合成的图形称为“圆中方”。
出示不是圆中方或者方中圆的图片让学生辨认，进一步加深学生对方中圆圆中方的理解。
所以一定要理解清正方形与它里面最大的圆组合成的图形称为“方中圆”，圆与它里面最大的正方形组合成的图形称为“圆中方”。其实在它们里面隐藏着很多数学规律，今天这节课我就跟同学们一同探求“方中圆
圆中方”里，正方形与圆面积的比例关系，巧妙利用它们中存在的面积关系,可以灵活解决一些面积计算题，相信同学们一定会有很多美妙的发现。
探究新知
举例求出
出示这两个图
上图中两个圆的半径都是1米，你能求出正方形和圆的面积比吗？（圆周率用π表示）
师：要想求面积比应该先求什么？再求什么？
生：先求正方形跟圆的面积，再求他们的比
学生独立求出
方中圆：S方=(1×2)2=4(m2)
圆中方：S方==2(m2)
S圆=π×12=π(m2)
S圆=π×12=π(m2)
S方：S圆=4:π
S方：S圆=2:π
一般验证
如果圆的半径不是1米，正方形和圆的面积发生变化吗？假如是2米呢？3米呢？......
生：不变（如果有说变的可以让他用2米验证一下）
师：你说不变也得一个一个去验证，如果咱们这样一个个去验证是永远验证不完的。当我们遇到这么多数不好一个个去表示的时候，咱们可以用什么来代替？
生：字母
师，对，可以用字母。若把半径设为r，请同学们分别计算方中圆、圆中方中正方形和圆的面积比，看它们的比是否不变。
（小组合作）老师巡视指导
方中圆：S方=(r×2)2=4r2(m2)
圆中方：S方==2r2(m2)
S圆=π×r2=πr2(m2)
S圆=π×r2=πr2(m2)
S方：S圆=4r2:πr2
S方：S圆=2r2:πr2
=4:π
=
2:π
让学生去讲台上板演并讲解（学生讲完教师可以进行补充）
师：
师：我们从特殊到一般分别推导计算出了在方中圆、圆中方里正方形和圆的面积比分别为4:π和2:π，掌握了这个规律，会使有些问题变的非常简单。
师：同学们，想不想挑战一下？
生：想！
三、巩固练习
小方桌的边长是1米，把它的四边撑开就成了一张圆桌（如图），圆桌桌面的面积是（
）平方米？
S方=1×1=1(m2)
S方：S圆=2:π
S圆=1÷2×π==1.57(m2)
2、要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸张，至少需要面积为（
）平方厘米的正方形纸片。
方法一：S方：S圆=4:π
方法二：12.56÷3.14=4
S圆=12.56(cm2)
4=2×2
S方=12.56÷π×4=16(cm2)
半径=2cm
正方形边长=2×2=4cm
正方形面积=4×4=16cm2
3、已知圆的面积是9.42
平方厘米，则阴影部分的面积是（
）平方厘米？
圆中方：
S方：S圆=2：π
设阴影部分的面积为x’
则4x：9.42=2：π
3.14×4x=9.42×2
X=1.5
或者：9.42÷3.14×2×=1.5(cm2)
全课小结
今天这节课我们有哪些收获？（学到了些什么）
学生发言《木材加工问题》教学设计
一.新课导入
师：同学们，在我们的生活中，有许多用品是用木材做成的。如，写字台、床、门窗等等。谁知道这些家具是怎样由一棵大树变成供人们使用的生活用品的？
学生发言。
师：树木是重要的环境资源，是我们国家的公共财物，随意砍伐树木是违法的。今天
这节课我们就来解决几个和木材有关的问题。
板书：木材问题
二、探究新知
师：请同学们看图，这是某林场生产的一批柳树圆木，从图中，你了解到哪些信息?
生1：这批圆木有150根。
生2：每根圆木的长是2米，直径是28厘米。
师：对，这批圆木有150根。这些圆木有多重呢?谁知道要计算这批木材有多重，可以怎么办?
生：称一根圆木有多重。用每根木材的质量乘150，就是这批木材的质量。
师：很聪明，知道了一根圆木的质量，就能计算出这批圆木的质量。我告诉大家，木料专家们经过多次实验，得出了每立方米柳木重450千克的结果。
师：知道了1立方米柳木重450千克，你们能计算出这批柳树圆木的质量吗?怎样算?
生：先算出150根圆木的体积有多少立方米，再乘450。
师：根据一根圆木的尺寸，你们能计算150根圆木的体积吗?试一试!要注意，圆木的长和直径的单位不一样。
学生计算，教师巡视指导。
师：谁来说一说你是怎样想的?
生：先统一单位，再算出一根圆木的体积，最后用圆木的体积乘150，就是这批圆木的体积。
28厘米：=028米
3.14
×(0.28÷2)2×2=0.12088(立方米)
0.123088×150×450=8308.44(千克)≈8.31(吨)
师：很好。利用圆柱的体积公式和每立方米柳木重450千克的常识，我们计算出了这批柳木重8.31吨。你们知道吗?每立方米柳木重450千克，在木材行业中有一个名称叫做“容重”。
师：什么是容重呢?就是1立方米木料的质量。另外，木材专家还发现．不同的木料，它们的容重也不一样，比如，l立方米的水曲柳就比1立方米的柳木重200多千克。我们教材“知识窗”中，介绍了常见木料的容重，大家看一下。
课件出示知识窗内容。
指名回答。
师：同学们，我们刚才算的150根柳木的质量是木材砍伐下来时的质量。大家都知道，木材在加工之前，需要晾干。木材专家研究的结果是：湿木头的含水率是15%。
板书：湿木头的含水率是15%
师：根据我们已学过的知识，你能解释一下“含水率15%”是什么意思吗？
生：木材中水分占木材质量的15%
师：对，含水率就是木材中水分所占的百分比，含水率15％就是木材中水分占总质量的15％。现在，请同学们算一算，这批柳木晾干后重多少吨呢?
学生算完后，全班订正。
师：木材晾干后就可以加工了。现在木材加工厂要把这批柳树圆木加工成一种最大的方木。
师：谁知道什么样的木头叫方木?
出示方木图。
师：同学们请看．这是一小块方木。你能说出它的特点吗?
学生可能说：
方木是一种长方体。
长方体有两个面是正方形的。
横截面是正方形的木材叫方木。
师：同学们知道什么叫方木了，那大家想一想，把一根圆柱形柳木加工成方木以后，木头的什么没变?什么变了?
生：木头的长没变，横截面变了。一个是圆形的，一个是正方形的。体积也变小了。
学生说不完整，教师补充。
师：那么，要求圆木加工成方木后的体积，关键是要求什么?
生：关键是求方木横截面的面积。
师：怎样计算方木横截面的面积呢?我们一起通过画图来研究一下。这是在圆木横截面上画出的一个最大的正方形。
边说边用课件演示。
师：我们连接正方形的对角线，把它分成两个三角形。
边说边画。
师：观察这两个三角形，你发现了什么?
生：这两个三角形完全相等，三角形的底边等于圆的直径。
师：观察得真仔细。我们再画三角形的高。
边说边画图。
师：你发现三角形的高和圆有什么关系?
生：三角高等于圆的半径。
师：通过画图，我们知道了这个正方形可以分成两个完全一样的三角形，又知道了三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径。那么，这个正方形的面积．也就是方木横截面的面积，你们能计算出来吗?试一试!
学生自主计算，教师巡视，个别措导。
师：谁来说一说你是怎样算的，方木横截面的面积是多少?
生：圆木横截面的直径等于方木横截面正方形的对角线，把正方形分成了两个完全相同的直角三角形，高是直径的一半，先求出一个三角形的面积，乘2就是正方形的面积。
0.28×0.14÷2×2=0.0392(平方米)
师：方木横截面的面积计算出来，那方木的体积就很容易了，现在，请同学们自己完成教材第45页问题(1)、(2)。
学生自主计算，老师个别指导。
答案：
（1）0.392×2≈0.078(立方米)
（2）0.078×
l
50=11.7(立方米)
师：问学们计算出每根方木的体积是0.078立方米．又计算出了150根方木的体积是11.7立方米，估计一下，几根这样的方木大约有1立方米。说一说是怎样想的。
学生实际计算。然后。全班订正。
可能出现两种方法：
1÷0.078≈13(根)
150÷11.7≈13(根)
三、巩固新知
师：这节课．我们解决了关于木材的一些问题，特别是用画图的方法解决了求圆内最大正方形面积的问题。观察圆木横截面上的正方形，我们已经算出这个正方形的面积是0.0392平方米，也知道正方形边长乘边长等于它的面积。
师：现在，请同学们估算一下：这个正方形的边长有20厘米吗?为什么?
学生可能回答：
因为20×20=400平方厘米，而0.0392平方米=392平方厘米。
师：这个正方形的边长大约是多少厘米?请同学们用计算器试着算一算。得数保留一位小数。
学生独立计算，教师巡视了解学生的方法和结果。
师：谁来说一说你是怎样算的，计算的结果是什么？
学生可能出现以下方法：
19×19=361(平方厘米)
19.5×19.5=380.25(平方厘米)
19.7×19.7=388.09(平方厘米)
19.8×19.8=392.04(平方厘米）
所以正方形边长大约是1
9.8厘米
学生如果出现其他方法，只要合理就给予肯定。
四、课堂小结
师：今天你有哪些收货？《木材加工问题》教学设计
教学内容：
冀教版小学数学六年级下47、48页
教学目标：
知识与技能：
能综合运用所学知识，解决有关木材的现实问题。
过程与方法：
结合具体情境，经历综合运用知识解决有关木材问题的过程。
情感态度与价值观：
获得运用数学知识解决简单实际问题的成功体验，发展数学应用意识，提高解决问题的能力，培养学生爱护森林资源的意识。
教学重点：
解决有关木材的实际问题，能表达解决问题的过程
教学难点：
求圆内最大正方形的面积
教学过程：
一、创设情境
师：同学们,在我们的生活中，有许多用品是用木材做成的。如，写字台、床、门窗等等。谁知道这些家具是怎样由一棵大树变成供人们使用的生活用品的？
树木是重要的环境资源，是我们国家的公共财物，随意砍伐树木是违法的。我们在电视和新闻报道中，经常看到一些工人伐木的镜头，这就是林场在按照国家的计划把成材的树木采伐下来，先锯成圆木，晾干后再加工成方木，用方木就可以加工成各种物品。在这一过程中蕴含着什么数学问题呢？今天这节课我们就来学习木材加工问题。（多媒体演示过程）
板书：木材问题
二、探究新知
1、一起探究（一）
（多媒体出示）
(
湿木头的含水率是
15%
)
每根圆木的尺度如下：
师：请同学们看图，这是某林场生产的一批柳木圆木，从图中那了解到可那些信息？
（生自由发言）
解决问题：
（1）这批圆木的体积有多少立方米？
（2）已知每立方米柳木重450千克，这批柳木大约重多少吨？
（3）这批柳木晾干后大约重多少吨？
（学生独立完成，填写学习单，并板演展示）
师：每立方米柳木重450千克，在木材行业中有一个名称叫做“容重”，木材专家还发现不同木料的容重也不一样，走，我们一起去“兔博士网站”长长见识
（多媒体出示兔博士网站信息）
师：同种体积的木料，哪种木料最重，哪种木料最轻？
（生自由发言）
2、一起探究（二）
把圆木加工成最大的方木
师提问
（1）横断面是正方形的木材叫做方木，同学们请看，这是一小块方木，你能说出它的特点吗？
（2）把一根圆木加工成最大的方木以后，什么变了，什么没变？
（3）你知道加工成最大的方木是什么意思吗？
（生自由发言）
小组讨论：
（1）圆木加工成方木，怎样才能使横断面正方形的面积最大？画出图形
（2）怎样求圆内最大正方形的面积？写出推导过程
（3）怎样计算每根方木的体积？
（学生四人一组讨论，小组派代表板演，全班汇报）
解决问题：
（1）每根方木的体积大约是多少立方米？（得数保留三位小数）
（2）这批圆木能加工出多少立方米方木？
（3）几根这样的方木大约有1立方米？
（学生独立完成，填写学习单，并板演展示）
师：这节课，我们解决了关于木材的一些问题，特别是用画图的方法解决了求圆内最大正方形面积的问题。观察圆木横截面上的正方形，我们已经算出这个正方形的面积是0.0392平方米，也知道正方形边长乘边长等于面积。现在，请同学们估算一下，这个正方形的边长大约有多少厘米？请同学们用计算器试着算一算？
（学生交流估算的方法和结果，教师参与交流，介绍开平方的方法并进行激励性谈话）
师：同学们用我们以前学的知识解决了这么难的问题，真棒！你们知道吗？到了中学，学习了开方的知识之后，这个计算问题就非常容易了。
三、总结
说说你本节课的收获，与大家一起分享吧！
四、板书设计
木材加工问题
圆木
最大的方木
学生板演区：
圆内最大的正方形的面积：
（略）
2×半径2
直径×半径
