2020-2021学年江苏淮安高三上数学第二次月考试卷 Word版含解析

2020-2021学年江苏淮安高三上数学月考试卷
一、选择题
?
1. 向量a→=(1,?2)，b→=(2,?1)，则a→?b→=(? ? ? ? )




A.5 B.3 C.4 D.?5
?
2. 集合A=x|?1



A.?1,2 B.?3,3 C.0,1 D.0,1,2
?
3. α=30?是sinα=12的(? ? ? ? )


A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
?
4. 函数fx=lnx?2x+1的零点所在的大致区间是(? ? ? ? )




A.2,e B.1,2 C.e,3 D.3,+∞
?
5. 函数f(x)=sin2x+π3，若x1x2<0，且f(x1)+f(x2)=0，则|x2?x1|的取值范围为(? ? ? ? )




A.π6,+∞ B.π3,+∞ C.2π3,+∞ D.4π3,+∞
?
6. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P3,4，则cos2α+βcosβ+sin2α+βsinβ的值是(? ? ? ? )




A.?925 B.725 C.?725 D.925
?
7. 已知函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)，x1，x2为函数f(x)的两个极值点，若|x1?x2|的最小值为π2，则(? ? ? ? )
A.f(x)在(?5π12,π12)上单调递减
B.f(x)在(?5π12,π12)上单调递增
C.f(x)在(?2π3,π3)上单调递减
D.f(x)在(?2π3,π3)上单调递增
?
8. 已知函数fx=e?x+2mx+m,?x<0,exx?1,?x≥0, (e为自然对数的底)，若Fx=fx+f?x且Fx有四个零点，则实数m的取值可以(? ? ? ? )




A.1 B.2 C.e D.2e
二、多选题
?
9. 已知向量a→=2,?1，b→=(?3,2)，c→=(1,1)，则(? ? ? ? )


A.a→//b→ B.a→+b→⊥c→
C.a→+b→=c→ D.c→=5a→+3b→
?
10. 下列函数中，存在极值点的是(? ? ? ? )




A.y=x?1x B.y=2|x| C.y=?2x3?x D.y=xlnx
?
11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=60?, ∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3.
则下列说法正确的是(? ? ? ? )


A.ac的最小值是4 B.ac的最大值是4
C.a+2c的最小值是2+22 D.a+2c的最小值是3+22
?
12. 设函数f(x)=sin(ωx?π6)(ω>0)，已知f(x)在[0,?π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是(? ? ? ? )
A.在(0,?π)上存在x1，x2，满足f(x1)?f(x2)=2
B.f(x)在(0,?π)有且仅有1个最小值点
C.f(x)在(0,π2)单调递增
D.ω的取值范围是[136,196]
三、填空题
?
13. 等腰直角三角形ABC中， ∠C=90?,CA=CB=2，则有CA→?AB→=________.
?
14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA?bsinB=4csinC，cosA=?14，则bc=________.
?
15. 设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA?sinC)，设D是BC边的中点，且△ABC的面积为3，则AB→?(DA→+DB→)等于________.
?
16. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数，将y=fx的图象沿x轴向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y=gx．已知y=gx的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω=________，若y=gx的图象在其某对称轴处对应的函数值为?2，则g(x)在0,π上的最大值为________．
四、解答题
?
17. 已知△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC(acosC+ccosA)+b=0.
(1)求角C的大小；

(2)若b=2，c=23 ，求△ABC的面积.
?
18. 如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+12AB→，若△ABC的面积为23.

(1)求m的值；

(2)求|AP→|的最小值．
?
19. 已知函数f(x)=log121?axx?1的图像关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；

(2)若当x∈(1,?+∞)时，f(x)+log12(x?1)?
20. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=c(sinB+cosB)．

(1)求∠ACB的大小；

(2)若∠ACB=∠ABC，点A，D在BC的异侧，DB=2,DC=1，求平面四边形ABDC面积的最大值．
?
21. 某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．

(1)分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；

(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值．
?
22. 已知函数f(x)=12x2?alnx+1(a∈R).
(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)若?2≤a<0，对任意x1,x2∈[1，2]，不等式|f(x1)?f(x2)|≤m|1x1?1x2|恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏淮安高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可.
【解答】
解：由题意得a→?b→=1×2+?2×?1=4.
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
首先解一元二次不等式求出集合B，再根据交集的定义求解即可得结果.
【解答】
解：因为B=x?3所以A∩B=0,1.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
“α=π6”?“sinα=12”，反之不成立，例如α=5π6．即可判断出结论．
【解答】
解：“α=30?”?“sinα=12”，反之不成立，例如α=150?．
因此“α=30?”是“sinα=12”的充分不必要条件．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．
【解答】
解：∵ 函数fx=lnx?2x+1在(0,?+∞)上连续且单调递增，
且f(1)=0?2+1=?1<0，
f(2)=ln2?1+1=ln2>0，
∴ f(1)f(2)<0，
∴ 根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是(1,?2).
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x1)+f(x2)=0?f(x1)=?f(x2)，
|x2?x1|可视为直线y=m与函数y=f(x)、
函数y=?f(x)的图象的交点的横坐标的距离，
作出函数y=f(x)与函数y=?f(x)的图象如图所示，
设A，B分别为直线y=m与函数y=f(x)、
函数y=?f(x)的图象的两个相邻交点，
因为x1x2<0，
且当直线y=m过y=f(x)的图象与y轴的交点0,32时，
直线为y=32，|AB|=π3，
所以当直线y=m向上移动时，线段AB的长度会增加，
当直线y=m向下移动时，线段AB的长度为π2，
所以|x2?x1|>π3．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
二倍角的正弦公式
任意角的三角函数
两角和与差的余弦公式
【解析】
.
【解答】
解：由题意，角α终边经过点P(3,4)，
则由三角函数定义可求出sinα=45，cosα=35，
于是由二倍角公式可求出cos2α=925?1625=?725，
而cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=cos[(2α+β)?β]=cos2α，
所以cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=?725.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
【解析】
利用辅助角公式将函数f(x)化简为f(x)＝2sin(ωx+π3)，由题可知，最小正周期T＝π，从而求得ω的值和f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性即可得解．
【解答】
解：函数f(x)=sinωx+3cosωx=2sin(ωx+π3)，
由题意可知，T2=π2?T=π，
即2πω=π，
∴ ω=2，
∴ f(x)=2sin(2x+π3)．
令2x+π3∈(2kπ?π2,?2kπ+π2)，k∈Z，
则函数f(x)的单调递增区间为(kπ?5π12,?kπ+π12)，k∈Z，
当k=0时，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(?512π,π12)，
即B正确；
令2x+π3∈(2kπ+π2,?2kπ+3π2)，k∈Z，
则函数f(x)的单调递减区间为(kπ+π12,?kπ+7π12)，k∈Z，
选项A和C的单调递减区间均不符合题意．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
导数的几何意义
函数的零点与方程根的关系
函数奇偶性的判断
【解析】
根据定义域为R，且F?x=Fx，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x>0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题．
【解答】
解：∵ 函数的定义域为R，且F?x=f?x+fx=Fx，
∴ 函数Fx是偶函数，
∵ ?f(x)=e?x+2mx+m，x<0，ex(x?1)，x≥0，（e为自然对数的底），
∴ ?f?x=e?x?x?1，?x≤0，e2?2mx+m，?x>0，
又因为Fx有四个零点，
所以只需研究x>0时函数Fx=0有两个不等根即可，
即e2x?1+ex?2mx+m=0在0,+∞上有两个互异根，
即xe2=2mx?12?在0,+∞上有两个根，
令Hx=xe2，Lx=2mx?12过定点12,0,
∵ H′x=exx+1>0，
所以Hx在0,+∞上是增函数，
下面求Hx过12,0的切线斜率．
设切点为Qt,tet，t>0，
则切线斜率为k=ett+1，
故切线为y?tet=ett+1x?t，
将12,0代入得：?tet=ett+112?t，
即2t2?t?1=0，
解得：t=1或t=?12（舍），
此时切线斜率k=2e，作出Hx与Lx图象：
可见，当Lx与Hx相切，即2m=2e时，只有一个公共点；
当m>e时，就会有两个交点．故m的值可以为2e．
故选D.
二、多选题
9.
【答案】
B,D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
平行向量的性质
【解析】
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力．
【解答】
解：a→+b→=?1,1，
a→+b→?c→=?1+1=0，
故a→+b→⊥c→．
设c→=λ1a→+λ2b→(λ1,λ2∈R)，
则(1,1)=λ1(2,?1)+λ2(?3,2)=(2λ1?3λ2,?λ1+2λ2)，
则2λ1?3λ2=1,?λ1+2λ2=1,所以λ1=5,λ2=3,
所以c→=5a→+3b→．
故选BD.
10.
【答案】
B,D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
逐项根据极值的定义以及导数符号可得．
【解答】
解：A求导得，y′=1+1x2>0，
函数在(?∞,?0)和(0,?+∞)上单调递增，
所以函数无极值点；
B中x=0?是函数的极小值点；
C求导得，y′=?6x2?1<0恒成立，
函数在R上递减，所以函数无极值点；
D求导得，y′=1+lnx，当x∈(0,?1e)时，y′<0，
当x∈(1e,?+∞)时，y′>0，
x=1e时，y′=0，
所以x=1e是函数的极小值点.
故选BD.
11.
【答案】
A,D
【考点】
解三角形
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
首先利用条件构造得到a×c=c+a，再由基本不等式求解即可.
【解答】
解：由题意，BD为∠ABC的平分线，
则由S△ABC=S△ABD+S△BCD，
可知12AB?BC?sin60?=12AB?BD?sin30?+
12BD?BC?sin30?，
化简得3AB?BC=AB?BD+BC?BD，
∵ BD=3，
∴ AB?BC=AB+BC，
即a?c=c+a，
则由基本不等式可知a+c≥2ac，
解得ac≥4，所以ac的最小值为4，
故A正确，B错误；
而由a?c=c+a可知a=cc?1，其中c>1，
于是由基本不等式可知：
a+2c=cc?1+2c=1+1c?1+2c
=3+1c?1+2(c?1)≥3+22，
当且仅当1c?1=2(c?1)，即c=1+22时取等号，
故D正确，C错误.
故选AD.
12.
【答案】
A,B
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
由题意根据f(x)在区间[0,?π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+|OA|,?32T+|OA|)，再用ω表示周期，得ω的范围．
【解答】
解：当x=0时，y=sin(?π6)=?12,
又∵ ω>0，
∴ 画出函数f(x)=sin(ωx?π6)大致图象如图所示：
又ω>0，所以x>0时f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
∵ 函数在[0,?π]仅有3个零点时，
∴ (π，0)的位置在C?D之间（包括C，不包括D），
令f(x)=sin(ωx?π6)=0，
则ωx?π6=kπ，
解得：x=(π6+kπ)?1ω(k∈Z)，
∴ f(x)图象在y轴右侧与x轴的第一个交点横坐标为π6ω，
最小正周期T=2πω，
∴ π6ω+T≤π<π6ω+32T，
即π6ω+2πω≤π<π6ω+32?2πω，
解得136≤ω<196，故D错误；
可知在区间[0,?π]上，函数f(x)达到最大值和最小值，
∴ 存在x1，x2，满足f(x1)?f(x2)=2，故A正确；
由大致图象得，f(x)在(0,?π)内有且只有1个最小值，故B正确；
∵ ω最小值为136，
∴ 0∴ x∈(0,?π2)时，函数f(x)不单调递增，故C错误．
故选AB.
三、填空题
13.
【答案】
?2
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
可画出图形，根据题意CA→⊥CB→，且CA→=2，从而可得出CA→?AB→=CA→?CB→?CA→=?CA→2,进而求得结果.
【解答】
解：如图，
可知CA→⊥CB→，且CA→=CB→=2，
∴ CA→?CB→=0，
∴ CA→?AB→=CA→?CB→?CA→
=CA→?CB→?(CA→)2
=0?2
=?2．
故答案为：?2．?
14.
【答案】
6
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
【解答】
解：∵ △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA?bsinB=4csinC，cosA=?14，
∴ 由余弦定理、正弦定理可得
a2?b2=4c2，cosA=b2+c2?a22bc=?14，?
解得3c2=12bc，
∴ bc=6．
故答案为：6.
15.
【答案】
2
【考点】
解三角形
平面向量数量积的性质及其运算律
余弦定理
正弦定理
【解析】
先根据正余弦定理求出A=2π3，bc＝4，再将DA→，DB→化为AB→，AC→后用数量积可得．
【解答】
解：∵ (b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA?sinC)，
∴ (b+c)sinB=(a+c)(sinA?sinC)，
∴ (b+c)b=(a+c)(a?c)，
即b2+c2?a2=?bc，
∴ cosA=b2+c2?a22bc=?12，
∴ A=2π3，
∴ S△ABC=12bcsinA，
即3=12bc×32，
∴ bc=4，
∴ AB→?(DA→+DB→)=AB→?[?12(AB→+AC→)+12CB→]
=AB→?[?12(AB→+AC→)+12(AB→?AC→)]
=?AB→?AC→=?bc?cosA
=?4×(?12)
=2.
故答案为：2.
16.
【答案】
1,3
【考点】
余弦函数的周期性
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
【解析】
利用函数为偶函数，求出φ=π2，根据三角函数平移变换规律得到g(x)=Acos12ωx+ωπ6，再利用周期性和最大最小值求出ω，A，求出g(x)解析式，再利用余弦函数性质求解即可．
【解答】
解：y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为偶函数，
则φ=π2+kπ(k∈Z)，
又0<φ<π，∴ φ=π2，
∴ f(x)=Asinωx+π2=Acosωx．
由题意得：g(x)=Acos12ωx+ωπ6，
且y=g(x)相邻对称中心之间距离为2π，
则T=4π，∴ 2π12ω=4π，∴ ω=1，
∴ g(x)=Acos12x+π6．
由g(x)在某对称轴处对应的函数值为?2，可得A=2．
∴ g(x)=2cos12x+π6．
∵ x∈[0,π]，则12x+π6∈π6,2π3，
∴ cos12x+π6∈?12,32．
∴ g(x)∈[?1,3]．
∴ g(x)在[0,π]上的最大值为3.
故答案为：1；3．
四、解答题
17.
【答案】
解：(1)?△ABC中，∵ 2cosCacosC+ccosA+b=0，
由正弦定理可得2cosCsinAcosC+sinCcosA+sinB=0，
∴ 2cosCsinA+C+sinB=0，
即2cosCsinB+sinB=0.
又0?∴ sinB≠0，
∴ cosC=?12，
即C=120?．
(2)由余弦定理可得，
232=a2+22?2×2acos120?=a2+2a+4，
又a>0，
∴ 解得a=2，
∴ S△ABC=12absinC=3，
∴ △ABC的面积为3．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cosCsinB+sinB=0,?可得cosC=12，即可得解C的值．
（2）由已知及余弦定理得解得a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】
解：(1)?△ABC中，∵ 2cosCacosC+ccosA+b=0，
由正弦定理可得2cosCsinAcosC+sinCcosA+sinB=0，
∴ 2cosCsinA+C+sinB=0，
即2cosCsinB+sinB=0.
又0?∴ sinB≠0，
∴ cosC=?12，
即C=120?．
(2)由余弦定理可得，
232=a2+22?2×2acos120?=a2+2a+4，
又a>0，
∴ 解得a=2，
∴ S△ABC=12absinC=3，
∴ △ABC的面积为3．
18.
【答案】
解：(1)AP→=AC→+CP→=AC→+kCD→
=AC→+k(AD→?AC→)
=AC→+k(23AB→?AC→)
=2k3AB→+1?kAC→
=mAC→+12AB→，
得到1?k=m，2k3=12，
∴ m=14．
(2)结合△ABC的面积为23，
得到12|AC→|?|AB→|?32=23，
得到|AC→|?|AB→|=8，
∴ |AB→|=8|AC→|，
∴ |AP→|=116|AC→|2+14|AB→|2+18?|AC→|?|AB→|
=1+116|AC→|2+16|AC→|2≥3，
当且仅当116|AC→|2=16|AC→|2时等号成立，
∴ |AP→|的最小值为3．
【考点】
解三角形
基本不等式在最值问题中的应用
向量的加法及其几何意义
向量的模
【解析】
? ?
?
【解答】
解：(1)AP→=AC→+CP→=AC→+kCD→
=AC→+k(AD→?AC→)
=AC→+k(23AB→?AC→)
=2k3AB→+1?kAC→
=mAC→+12AB→，
得到1?k=m，2k3=12，
∴ m=14．
(2)结合△ABC的面积为23，
得到12|AC→|?|AB→|?32=23，
得到|AC→|?|AB→|=8，
∴ |AB→|=8|AC→|，
∴ |AP→|=116|AC→|2+14|AB→|2+18?|AC→|?|AB→|
=1+116|AC→|2+16|AC→|2≥3，
当且仅当116|AC→|2=16|AC→|2时等号成立，
∴ |AP→|的最小值为3．
19.
【答案】
解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称
∴ f(x)为奇函数，
∴ f(?x)=?f(x)，
即log121?axx?1=?log121+ax?x?1，
化简得：1?a2x21?x2=1，
a2x2=x2，在函数定义域内恒成立，
∴ a2=1，
∴ a=±1，
当a=1时，1?axx?1=?1不合题意；
当a=?1时，fx=log121+xx?1，
定义域是?∞,?1∪1,+∞，符合题意．
∴ a=?1.
(2)∵ a=?1，
∴ f(x)=log121+xx?1，
∵ 当x∈(1,?+∞)时，f(x)+log12(x?1)∴ log121+xx?1+log12(x?1)=log12(1+x)而在1,+∞上，gx=log12x+1是减函数，
g1=log121+1=?1，
∴ gx∴ m≥?1，
即m的取值范围是[?1,+∞).
【考点】
函数恒成立问题
对数函数的单调性与特殊点
对数函数的值域与最值
对数函数的定义域
对数及其运算
奇函数
【解析】
（1）根据奇函数性质和对数的运算性质即可解得
（2）根据对数函数的单调性即可求出
【解答】
解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称
∴ f(x)为奇函数，
∴ f(?x)=?f(x)，
即log121?axx?1=?log121+ax?x?1，
化简得：1?a2x21?x2=1，
a2x2=x2，在函数定义域内恒成立，
∴ a2=1，
∴ a=±1，
当a=1时，1?axx?1=?1不合题意；
当a=?1时，fx=log121+xx?1，
定义域是?∞,?1∪1,+∞，符合题意．
∴ a=?1.
(2)∵ a=?1，
∴ f(x)=log121+xx?1，
∵ 当x∈(1,?+∞)时，f(x)+log12(x?1)∴ log121+xx?1+log12(x?1)=log12(1+x)而在1,+∞上，gx=log12x+1是减函数，
g1=log121+1=?1，
∴ gx∴ m≥?1，
即m的取值范围是[?1,+∞).
20.
【答案】
解：(1)在△ABC中，∵ a=c(sinB+cosB)，
∴ sinA=sinC(sinB+cosB)，
∴ sin(π?B?C)=sinC(sinB+cosB)，
∴ sin(B+C)=sinC(sinB+cosB)，
∴ sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，
∴ sinBcosC=sinCsinB.
又∵ B∈(0,?π)，故sinB≠0，
∴ cosC=sinC，即tanC=1．?
又∵ C∈(0,?π)，
∴ ∠ACB=π4．?
(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴ BC2=12+22?2×1×2×cosD=5?4cosD．?
又∠ABC=∠ACB=π4，
∴ △ABC为等腰直角三角形，
∴ S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54?cosD.
又∵ S△BDC=12×BD×DC×sinD=sinD，
∴ SABDC=54?cosD+sinD=54+2sin(D?π4)，
∴ 当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+2．
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
三角形的面积公式
三角函数的最值
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在△ABC中，∵ a=c(sinB+cosB)，
∴ sinA=sinC(sinB+cosB)，
∴ sin(π?B?C)=sinC(sinB+cosB)，
∴ sin(B+C)=sinC(sinB+cosB)，
∴ sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，
∴ sinBcosC=sinCsinB.
又∵ B∈(0,?π)，故sinB≠0，
∴ cosC=sinC，即tanC=1．?
又∵ C∈(0,?π)，
∴ ∠ACB=π4．?
(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴ BC2=12+22?2×1×2×cosD=5?4cosD．?
又∠ABC=∠ACB=π4，
∴ △ABC为等腰直角三角形，
∴ S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54?cosD.
又∵ S△BDC=12×BD×DC×sinD=sinD，
∴ SABDC=54?cosD+sinD=54+2sin(D?π4)，
∴ 当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+2．
21.
【答案】
解：(1)由已知xy=3000，
∴ y=3000x，其定义域是(6,?500)．
S=(x?4)a+(x?6)a=(2x?10)a，
∵ 2a+6=y，
∴ a=y2?3=1500x?3，
∴ S=(2x?10)(1500x?3)=3030?(15000x+6x)，
其定义域是(6,?500)．
(2)S=3030?(15000x+6x)≤3030?26x?15000x
=3030?2×300=2430，
当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6,?500)时，等号成立，
此时，x=50，y=60，Smax=2430．
答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）总面积为xy＝3000，且2a+6＝y，则y=3000x，a=y2?3=1500x?3（其中6（2）由（1）知，占地面积S＝3030?6x?15000x=3030?(6x+15000x)，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．
【解答】
解：(1)由已知xy=3000，
∴ y=3000x，其定义域是(6,?500)．
S=(x?4)a+(x?6)a=(2x?10)a，
∵ 2a+6=y，
∴ a=y2?3=1500x?3，
∴ S=(2x?10)(1500x?3)=3030?(15000x+6x)，
其定义域是(6,?500)．
(2)S=3030?(15000x+6x)≤3030?26x?15000x
=3030?2×300=2430，
当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6,?500)时，等号成立，
此时，x=50，y=60，Smax=2430．
答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
22.
【答案】
解：(1)易知f(x)不是常值函数，
因为f(x)=12x2?alnx+1在[1,2]?上是增函数，
所以f′(x)=x?ax≥0恒成立，
所以a≤x2?，
只需a≤(x2)min=1.
(2)因为?2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2] 上单调递增，
不妨设1≤x1≤x2≤2，
则|f(x1)?f(x2)|≤m?|1x1?1x2|，
可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，
设h(x)=f(x)+mx=12x2?alnx+1+mx ，
则h(x1)≥h(x2)，所以h(x)为[1,2] 上的减函数，
即h′(x)=x?ax?mx2≤0在[1,2]上恒成立，
等价于m≥x3?ax在[1,2] 上恒成立，
设g(x)=x3?ax，所以m≥g(x)max，
因为?2≤a<0，所以g′(x)=3x2?a>0 ，
所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，
所以g(x)max=g(2)=8?2a≤12（当且仅当 a=?2 时等号成立）.
所以m≥12，即m的最小值为12.
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)易知f(x)不是常值函数，
因为f(x)=12x2?alnx+1在[1,2]?上是增函数，
所以f′(x)=x?ax≥0恒成立，
所以a≤x2?，
只需a≤(x2)min=1.
(2)因为?2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]?上单调递增，
不妨设1≤x1≤x2≤2，
则|f(x1)?f(x2)|≤m?|1x1?1x2|，
可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，
设h(x)=f(x)+mx=12x2?alnx+1+mx?，
则h(x1)≥h(x2)，所以h(x)为[1,2]?上的减函数，
即h′(x)=x?ax?mx2≤0在[1,2]上恒成立，
等价于m≥x3?ax在[1,2]?上恒成立，
设g(x)=x3?ax，所以m≥g(x)max，
因为?2≤a<0，所以g′(x)=3x2?a>0?，
所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，
所以g(x)max=g(2)=8?2a≤12（当且仅当?a=?2?时等号成立）.
所以m≥12，即m的最小值为12.