(共24张PPT)
第六章
实数
6.1
平方根
第2课时
用计算器求一个数
的算术平方根
1
课堂讲解
估算
用计算器求一个正数的算术平方根
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
你能计算
吗？
1
知识点
估算
探究1
能否用两个面积为1
dm2的小正方形拼成一个面积为
2
dm2的大正方形？
（来自教材）
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4
个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2
dm2的大
正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为x
dm，则x2
=
2.
由算术平方根的意义可知x=
，
所以大正方形的边长是
dm.
（来自教材）
（来自教材）
探究2
有多大？
因为
12
=
1，22=4，所以1<
<2;
因为
1.
42
=
1.
96，1.
52=2.
25，所以
1.4<
<1.5;
因为
1.412
=
1.988
1，1.422
=
2.016
4，
所以
1.41<
<1.42；
因为
1.
4142
=
1.
999
396，1.
4152=2.
002
225，
所以
1.414<
<1.415；
……
（来自教材）
如此进行下去，可以得到
的更精确的近似值.
事实
上，
=1.
414
213
562
373…，它是一
个无限不循环
小数.
实际上，许多正有理数的算术平方根(例如
等)都是无限不循环小数.
归
纳
求一个正数(非完全平方数)的算术平方根的近似值，
一般采用夹逼法．
“夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一
点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到
理想的精确程度．
2
知识点
用计算器求一个正数的算术平方根
请同学们互相看一下各自的计算器，拿同一类型
计算器的同学坐到一起，这样便于讨论问题.
请同学
们看下图中所示的计算器，我们首先来熟悉一下这个
计算器的操作程序，如果你的计算器与这个计算器是
同一类型的话，
可以操作一下，
其余的同学看
看操作步骤.
归
纳
大多数计算器都有
键，用它可以求出一个正
数的算术平方根(或其近似值)，应注意的是，不同型
号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一
定要按照说明书进行操作．
（来自教材）
用计算器求下列各式的值：
(1)
；
(2)
(精确到
0.001).
例2
解：
(1)依次按键
3136
，
显示：56.
∴
=56.
(2)依次按键，
2
，
显示：1.414
213
562.
∴
≈1.414.
1
用计算器求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
(精确到
0.01).
（来自教材）
解：
用计算器计算，若按键顺序为
，则相应的算式是( )
A.
×5－0×5÷2＝
B．(
×5－0×5)÷2＝
C.
－0.5÷2＝
D．(
－0.5)÷2＝
2
4
·
5
-
0
·
5
÷
2
=
C
3
(中考·湘西州)计算
的结果精确到0.01是
(可用科学计算器计算或笔算)( )
A．0.30
B．0.31
C．0.32
D．0.33
C
小丽想用一块面积为
400
cm2
的正方形纸片，沿着边的方
向裁出一块面积为
300
cm2的
长方形纸片，使它的长宽之
比为
3:
2.
她不知能否裁得出
来，正在发愁.
小明见了说：“别发愁，一定能用一块
面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
例3
（来自教材）
解：
设长方形纸片的长为3x
cm，宽为2x
cm.
根据边长
与面积的关系得
3x
?
2x=300，6x2
=300，
x2
=50，
x
=
.
因此长方形纸片的长为
cm.
因为50>49，所以
>7.
由上可知
>21，即长方形纸片的长应该大
于21
cm.
（来自教材）
因为
=20，所以正方形纸片的边长只有20
cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法.
小丽不能用这块正方
形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
（来自教材）
总
结
估算
(a≥0)时，可以采用夹逼法，首先确定
的
整数部分，根据算术平方根的定义，有m2＜a＜n2，其中
m，n是连续的非负整数，则m＜
＜n，则
的整数部
分为m；同理可得
的小数部分，如此进行下去，可得
的近似值．
1
比较下列各组数的大小：
解：
(1)因为
≈2.83，
≈3.16，所以
<
；
(2)因为
≈8.06，所以
>8；
(3)因为
≈0.62，所以
＞0.5；
(4)由(3)知
<1.
练一练
2
【中考·天津】估计
的值在（ ）
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
【中考·重庆】估计
＋1的值应在（ ）
A．3和4之间
B．4和5之间
C．5和6之间
D．6和7之间
3
C
B
4
【中考·南京】若
，则下列结论中正确的是（ ）
A．1B．1C．2D．2B
1.
利用计算器求一个正数的算术平方根，有时它的
算术平方根是准确数，有时它的算术平方根是近
似数．
2.
采用算术平方根比较法比较大小时，被开方数大
的算术平方根就大；即若a≥b≥0时，
≥
≥0；
反之亦成立．
1
知识小结
已知
≈4.80，
≈15.17，则
的值
约为（ ）
A．0.480
B．0.048
0
C．0.151
7
D．1.517
2
易错小结
B
易错点：弄错小数点移动的位数与方向.
0.002
3是由23的小数点向左移动四位得到的，则它的算术平方根是由
的小数点向左移动两位得到的．本题易错之处在于小数点移动方向或位数出现错误．(共31张PPT)
第六章
实数
6.1
平方根
第1课时
算术平方根
1
课堂讲解
算术平方根的定义
求算术平方根
算术平方根的非负性
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
(1)根据图填空：
x2=_______,
y2=_______,
z2=_______,
w2=_______,
(2)x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数?你能
表示它们吗?
2
x2+1
y2+1
z2+1
1
知识点
算术平方根的定义
问题1：正数3的平方等于9，若x2=9，则正数x=____.
正数4的平方等于16，若x2=16，则正数x=____.
说说6和36这两个数又怎样的关系呢？
问题2：(1)
0的平方是___，如果x2=0，那么x=____.
(2)
0的算术平方根是___.
问题3：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块
面积为25
dm2的正方形画布，画上自己的得
意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应
取多少？
你一定会算出边长应取5
dm.
说
一说，你是怎样算出来的？
因为52=25，所以这个正方形画
布的边长应取5
dm.
（来自教材）
填表：
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个
正数的问题.
（来自教材）
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，
即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方
根．
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为
读作
“根号a”．
下列说法正确的是(
)
A．3是9的算术平方根
B．－2是4的算术平方根
C.
(－2)2的算术平方根是－2
D．－9的算术平方根是3
例1
A
导引：
要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等
于9，所以3是9的算术平方根；因为－2不是正
数，所以－2不是4的算术平方根；因为(－2)2
＝4，而22＝4，所以2是(－2)2的算术平方根；
负数没有算术平方根．
总
结
算术平方根具有双重非负性：这个数是非负数，
它的算术平方根也是非负数．
1
【中考·宜宾】9的算术平方根为( )
A.
3
B．－3
C．±3
D．
2
下列说法正确的是( )
A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根
B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根
C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术
平方根
D．以上说法都不对
A
A
2
知识点
求算术平方根
(1)
正数的算术平方根是一个正数；
(2)
0的算术平方根是0；
(3)
负数没有算术平方根；
(4)
被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
（来自教材）
求下列各数的算术平方根：
(1)
100；
(2)
；
(3)
0.0001.
例2
解：
(1)因为102
=
100，所以100的算术平方根是10，
即
(2)因为(
)2
=
，所以
的算术平方根是
，
即
；
(3)因为0.012
=0.0001，所以0.0001的算术平方
根是0.01，即
=0.01.
总
结
(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数
的算术平方根，分清求
与81的算术平方根的不
同意义，不要被表面现象迷惑．
(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因
此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有
用．
1
求下列各数的算术平方根：
(1)
0.0025；
(2)
81；
(3)
32.
（来自《教材》）
解：
(1)因为0.052＝0.002
5，所以0.002
5的算术平方
根是0.05，即
＝0.05；
(2)因为92＝81，所以81的算术平方根是9，
即
＝9；
(3)因为32＝9，9的算术平方根是3，所以32的算
术平方根是3，即
＝3.
练一练
2
求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
（来自《教材》）
解：
3
【中考·武汉】计算
的结果为（ ）
A．6
B．－6
C．18
D．－18
设
＝a，则下列结论正确的是( )
A．a＝441
B．a＝4412
C．a＝－21
D．a＝21
4
A
D
5
下列说法：
①－4的算术平方根是－2；
②3的算术平方根是9；
③
是7的算术平方根；
④64的算术平方根是8.其中错误的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
6
一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A．a＋1
B．a2＋1
C.
D.
B
7
如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，再用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）
A.
B．2
C.
D.
C
3
知识点
算术平方根的非负性
问题1:
(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是
______，即
＝______.
(2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是______，
即
＝______.
(3)因为_____2=0，所以0的算术平方根是______，
即
＝______.
8
8
8
0.5
0.5
0.5
0
0
0
问题2:
讨论：在
中，被开方数a是一个______数，
算术平方根
是一个______数.
非负
非负
归
纳
所以算术平方根
具有双重非负性：
1.
被开方数a是非负数，即a
≥0;
2.
算术平方根
本身是非负数，即
若
＝0，求x2
015＋y2
016的值．
例3
导引：
非负数与非负数的和为0当且仅当这两个非负数
为0时成立，可列方程求出x，y的值，从而求出
代数式的值．
∵
≥0，
≥0，
＝0，
∴x－1＝0，y＋1＝0，∴x＝1，y＝－1.
∴x2
015＋y2
016＝12
015＋(－1)2
016＝2.
解：
总
结
算术平方根和绝对值一样，都是非负数，当
几个非负数的和等于0时，其中每一个非负数都
为0.
(1)
中，被开方数a是_______，即a_______0；
(2)
是________，即
________0，即非负数的
算术平方根是_______；负数没有算术平方根，
即当a________0时，
无意义．
1
非负数
≥
非负数
≥
非负数
＜
练一练
2
下列说法中不正确的有（ ）
①一个数的算术平方根一定是正数；
②100的算术平方根是10，记作
＝10；
③(π－3.14)2的算术平方根是π－3.14；
④a2的算术平方根为a.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
3
【中考·自贡】若
＋b2－4b＋4＝0，则ab的值等于（ ）
A．－2
B．0
C．1
D．2
D
4
【中考·济宁】若
＋
＋1有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥
B．x≤
C．x＝
D．x≠
C
1.
表示的是a的算术平方根，由算术平方
根的定义知它具有“双重”非负性：a≥0，
≥0，即算术平方根及它的被开方数都
为非负数．
2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对
应的算术平方根也越大；反之亦然．
1
知识小结
求
的算术平方根．
2
易错小结
解：
因为
＝9，
＝3,
所以的算术平方根是3.
易错点：误将求
的算术平方根求成a的算术平方根造
成错误.
注意本题是求
的算术平方根，而不是求81的算术平方根．(共32张PPT)
第六章
实数
6.1
平方根
第3课时
平方根
1
课堂讲解
平方根的定义
平方根的性质
求平方根(开平方)
与
的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
想一想
（1）9的算术平方根是3,也就是说，3的平方是9.
还有其他的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于
的数有几个？平方等于0.64的
数呢？
1
知识点
平方根的定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2
=
a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二
次方根)
.
如:±3是9的平方根,
或说成9的平方根是±3.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
下列说法中正确的是( )
A．9的平方根是±3，应表示为92＝±3
B．±3是9的平方根，应表示为±
＝3
C．9开平方能得到9的平方根，即
＝±3
D．9的算术平方根是3，应表示为
＝3
例1
导引：
正确把握并准确运用平方根、算术平方根的定义．
D
总
结
（来自《点拨》）
必须弄清以下符号的意义：±
(a≥0)表示非负数a
的平方根，
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，把非负
数a开平方，它的平方根可用±
表示．
1
平方根概念的起源与几何中的正方形有关.
如果一个正方形的面积为A，那么
这个正方形的边长是多少？.
（来自教材）
解：
正方形的面积是边长的平方，根据算术平方根的定义可得：正方形的边长是
(A＞0)．
练一练
2
如果x2＝a，那么下列说法错误的是( )
A.
若x确定，则a的值是唯一的
B.
若a确定，则x的值是唯一的
C.
a是x的平方
D.
x是a的平方根
B
3
“±
”的意义是（ ）
A．a的平方根
B．a的算术平方根
C．当a≥0时，±
是a的平方根
D．以上均不正确
C
议一议
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
2
知识点
平方根的性质
平方根的性质
（1）平方根的性质：
一个正数有两个平方根；0只有一个平方
根，它是0本身；负数没有平方根.
（2）平方根的表示方法：
正数a有两个平方根，一个是a的算术平
方根
,另一个是
，它们互为相反
数.这两个平方根合起来可以记作
读作“正、负根号a”.
（来自教材）
求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
例2
解：
(1)因为62=36，所以
=6；
(2)因为0.92=0.81，所以
；
(3)因为
，所以
.
总
结
求一个式子的值，先分析式子的意义，特别是看
清它表示的是算术平方根还是平方根，就是看清符号，
最后的结果不改变它的正负性．
1
判断下列说法是否正确：
(1)
0的平方根是0；
(2)
1的平方根是1；
(3)
－1的平方根是－1；
(4)
0.01是0.1的一个平方根.
（来自教材）
解：
(1)正确；(2)错误；(3)错误；(4)错误．
练一练
2
下列说法正确的有（ ）
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
3
下列关于“0”的说法中，正确的是（ ）
A．0是最小的正整数
B．0没有相反数
C．0没有倒数
D．0没有平方根
C
3
知识点
求平方根（开平方）
1.开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方,
a叫做被开方数.
2.要点精析：
(1)一个正数的正的平方根就是它的算术平方根．
(2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、
除、乘方一样是一种运算，即：
运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数)．
运算结果：和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数)．
求下列各数的平方根：
(1)
100；
(2)
；
(3)
0.25.
例3
解：
(1)因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10；
(2)因为
，所以
的平方根是
(3)因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
（来自教材）
总
结
要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平
方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方
根.同时注意平方根的通用符号是
(a≥0)，防止粗
心大意漏掉“
”而出错.
x
8
-8
x2
16
0.36
1
填表：
（来自教材）
64
4
－4
0.6
－0.6
练一练
2
计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
（来自教材）
解：
(3)因为
，所以
.
3
的平方根是（ ）
A．±
B.
C．±
D.
C
4
【中考·杭州】│1＋
│＋│1－
│
＝(
)
A．1
B.
C．2
D．2
若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是(
)
A．－3
B．－1
C．1
D．－3或1
5
D
D
4
知识点
与
的性质
1.想一想：
（1）
等于多少？
等于多少？
（2）
等于多少？
（3）对于正数a，
等于多少？
2.联系拓广：
对于任意数a，
一定等于a吗？
1.
的化简：
2.
的化简：
下列结论正确的是（ ）
A．－
＝－6
B
．（－
）2＝9
C.
＝±16
D．
1
A
练一练
下列四个数中，是负数的是(
)
A.
|－2|
B.(－2)2
C.
D.
2
C
1.
定义：若x2=a，则x叫做a的平方根.
2.
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
0的平方根是0，负数没有平方根.
3.
平方根与开平方间的关系：
(1)开平方是求平方根的运算；
(2)平方根是开平方运算的结果.
1
知识小结
求一个非负数的平方根的方法：
①
求一个非负数a的平方根，就是要把平方后等于a的
数找出来，从而求出a的所有平方根；
②
求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数，
这也是常出错的地方.
注意：正数的平方根有两个，前面必定有“±”号.
下列说法不正确的是（ ）
A．21的平方根是±
B．
是21的一个平方根
C．
是21的算术平方根
D．21的平方根是
2
易错小结
D
易错点：混淆平方根与算术平方根的概念而出错.
21的平方根是±
，
21的算术平方根是
.此题易混淆平方根和算术平方根的概念而出错．