3.2.1单调性与最大(小)值-高中数学人教A版(2019)必修第一册同步提高练习
1.已知函数,对于任意时下列说法正确的是( )
A.函数最小值为7 B.函数最小值为
C.函数最大值为7 D.函数最大值为
2.函数在区间[-1,1]上的最大值为( )
A. B. C. D.
3.函数的值域为( )
A. B. C. D.
4.已知定义在上函数的导函数为,,有,且.设,,,则( ).
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=3,对任意x∈R,f′(x)>3,则f(x)>3x+6的解集为( )
A.(-1,+∞) B.(-1,1) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
6.已知,,其中,,则,的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.已知 若在定义域上恒成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数满足,且,则的最小值是( )
A. B. C. D.
9.已知函数f(x)=x2﹣3x,g(x)=mx+1,对任意x1∈[1,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)=f(x2),则实数m的取值范围为( )
A.[,﹣1] B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[)
10.若关于的不等式对任意都成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知是定义在区间上的奇函数,当时,,则关于的不等式的解集为________.
12.已知函数有2个零点-1,0,,若关于的不等式在上有解,则的取值范围是______.
13.已知函数,,若任取,存在,使得成立,则实数的取值范围是__________.
14.若函数在区间上的值域为,则实数的取值范围是________.
15.已知函数,则满足不等式的实数的取值范围是________.
16.已知函数的定义域为,且为增函数,.
(1)求证:;
(2)若,且,求的取值范围.
17.(1)作出的图像,并讨论方程的实根的个数;
(2)已知函数(a∈R)若存在x∈[3,5],使成立,求实数a的取值范围.
18.已知函数对任意的实数m,n都有,且当时,有.
(1)求;
(2)求证:在R上为增函数;
(3)若,且关于x的不等式对任意的恒成立,求实数a的取值范围.
19.已知是定义在上的奇函数.
(1)求的值;
(2)判断在上的单调性,并用定义证明;
(3)若,求实数的取值范围.
20.已知实数,满足,求的最大值和最小值.
21.已知函数.
(1)求函数在上的最小值的表达式;
(2)若函数在上有且只有一个零点,求的取值范围.
22.设,.
(1)求奇偶性;
(2)若,,用定义法证明单调性;
(3)若最大值是2,求的取值范围.
23.已知函数(a为实常数).
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)当为奇函数时,对任意的,不等式恒成立,求实数u的最大值
24.已知函数,试判断函数的单调性,并证明.
25.已知函数的定义域为,且同时满足下列条件:(1)是奇函数;(2)在定义域上单调递减;(3),求m的取值范围.
答案与解析
1.A
【分析】将函数化简为,再结合对勾函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可知,,
由对勾函数可知,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,函数取得最小值,最小值为,没有最大值.
故选:A.
【点评】本题主要考查了函数最值的求解,要注意对勾函数单调性的应用.
2.B
【分析】将函数中的根式部分换元为t,转化为关于t的一元二次函数在特定区间上的最大值问题,即可得解.
【详解】因为在上是减函数,所以,令,
所以,,
所以.
因为在上单调递减,所以,
所以在区间上的最大值为,
故选B.
【点评】本题考查利用换元思想和一次二次函数的性质求函数在特定区间上的最值问题,难度一般,关键是换元思想的运用.
3.C
【分析】根据函数解析式,得到关于的不等式,解得的定义域,再根据的单调性,得到的值域.
【详解】函数,
由,得,即定义域为,
根据函数解析式可知,为增函数,
而
所以的值域为.
故选:C.
【点评】本题考查根据函数解析式直接确定单调性,根据函数的单调性求值域,属于简单题.
4.D
【分析】首先设函数,判断函数的单调性,和奇偶性,利用函数的性质比较大小.
【详解】设,
,即,
所以函数是偶函数,
并且,所以函数在单调递减,
,,
,
因为,所以,
即.
故选:D
【点评】本题考查导数与函数性质的综合应用,重点考查构造函数,利用函数的性质比较大小,属于中档题型.
5.A
【分析】首先设函数,再利用导数判断函数的单调性,利用单调性和函数的零点解不等式.
【详解】设函数,,
,,
函数是单调递增函数,且,
,
的解集是.
故选:A
【点评】本题考查导数与函数的单调性,解抽象不等式,重点考查构造函数,推理能力,属于基础题型.
6.A
【分析】根据基本不等式求出,利用函数的单调性求出,可得,的大小关系.
【详解】由于,,于是可得,
当且仅当,即时取等号.
由于,于是有,从而可得.
上述可知,,于是可以推出.
故选:A.
【点评】本题考查基本不等式的应用,考查复合函数的单调性,考查学生计算能力,属于基础题.
7.C
【分析】先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.
【详解】,先解不等式.
①当时,由,得,解得,此时;
②当时,由,得.
所以,不等式的解集为.
下面来求函数的值域.
当时,,则,此时;
当时,,此时.
综上所述,函数的值域为,
由于在定义域上恒成立,
则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.
因此,实数的取值范围是.
故选:C.
【点评】本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.
8.A
【分析】由推导出,且,将所求代数式变形为,利用基本不等式求得的取值范围,再利用函数的单调性可得出其最小值.
【详解】函数满足,,即,
,,,即,
,则,
由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.
,
由于函数在区间上为增函数,
所以,当时,取得最小值.
故选:A.
【点评】本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用,考查计算能力,属于中等题.
9.A
【分析】对任意,存在,使得等价于的值域是
值域的子集,在区间上的值域为,只需讨论取值,求得的值域,即可求得.
【详解】由题意在区间上的值域为,
当时,的值域为,所以,无解;
当时,显然不成立;当时,的值域为,
所以,解得,
综上.
故选:.
【点评】本题考查双变量一个任意,一个存在的问题,转化为值域包含的问题,主要是求两个函数的值域,再转化为两个集合的子集问题即得解,难度一般.
10.B
【分析】令,,将问题转化为对任意都成立,然后根据选项取,即可排除错误选项.
【详解】令,.
不等式对任意都成立,
即对任意都成立,
取,则,此时,排除A.
取,则,此时,排除C、D.
故选:B.
【点评】本题考查利用函数不等式在区间上恒成立求参数,解题时充分利用特殊值法可快速得出正确的选项,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
11.
【分析】根据奇函数的对称性可判断在上单调递减,根据奇函数的性质结合原不等式可得到,根据函数的单调性和定义域列出关于的不等式组,解不等式组即可得得到结果.
【详解】当时,,则在上单调递减;
又在上为奇函数;
∴在上单调递减;
由,得;
∴ ; 解得;
∴原不等式的解集为 .
故答案为:.
【点评】本题主要考查了奇函数的性质,以及函数单调性在解不等式中的应用,属于中档题.
12.
【分析】由已知函数的零点求得解析式,进而得到解析式,再由不等式存在性问题转化为,最后由换元法求得不等式左边函数的最大值即可.
【详解】因为函数有2个零点-1,0,则,所以,,∴
∴
∵在有解,即
令,∴
令,∴,
∵在上单调递递减(二次函数的性质),
∴,
∴.
故答案为:
【点评】本题考查由函数的零点求解析式,还考查了由不等式存在性问题求参数的取值范围,属于中档题.
13.
【分析】分别求出,在的值域,再将所求问题转化为,解不等式即可得到答案.
【详解】当时,,
当时,,所以的值域为,
又在上为减函数,所以的值域为,
任取,存在,使得成立,
则,即,解得.
故答案为:
【点评】本题考查不等式的恒成立、能成立问题,考查学生的转化与化归的思想,数学运算能力,是一道中档题.
14.
【分析】首先化简函数,根据,,列不等式求实数的取值范围.
【详解】,
,,
所以 ,解得:,
所以的取值范围是.
故答案为:
【点评】本题考查根据二次函数的值域求参数的取值范围,重点考查推理,计算能力,属于基础题型.
15.
【分析】由已知,可得在上为奇函数且单调递增,将改写为,利用单调性可得,解不等式组即可.
【详解】由已知,,所以在上是奇函数,又
时,均为增函数,所以在上为增函数,故在上为增函
数,又,所以,
所以,解得.
故答案为:
【点评】本题考查利用函数的单调性解不等式,考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力,是一道中档题.
16.(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)利用代入已知证明即可;
(2)利用已知求出,并化简不等式,由函数的定义域结合单调性列出不等式,可得的取值范围.
【详解】(1)证明:∵,
∴.
(2)∵,
∴.
∴.
又在定义域上为增函数,
∴
∴.
【点评】关键点点睛:本题考查抽象函数的应用,考查函数的定义域和单调性,考查解抽象不等式,解决本题的关键是利用已知等式求出,并由化简得出,再利用函数的定义域结合单调性列不等式,得出的取值范围.
17.(1)图象见解析,答案见解析;(2).
【分析】(1)写出分段函数解析式,作出图象,数形结合得答案;
(2)写出命题存在,,使成立的否定,即,,使成立,分类求解的取值范围,再由补集思想得答案.
【详解】(1),
其图象如图:
由图可知,当,,时,方程有1个实根,
当或4时,方程有2个实根,
当时,方程有3个实根;
(2)函数,
命题若存在,,使成立的否定为,,使成立.
下面求使命题,,使成立的的范围.
①若,则时,在,上取得最小值,(3),
,即;
②若,则时,取得最小值为(a),不满足恒成立;
③若,(3),(5),,
解得.
综上可得,,,使成立的的范围是,
则存在,,使成立的的取值范围为.
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,考查数形结合及分类讨论思想,考查逻辑思维能力及运算求解能力,是中档题.
18.(1)1;(2)证明见解析;(3).
【分析】(1)利用赋值法,令,即可求出求;
(2)设,是上任意两个实数,且,令,,通过函数的单调性的定义直接证明在上为增函数;
(3)因为,化简可得,根据及在上为增函数,可得对任意的恒成立,令,只需满足即可,利用二次函数的单调性,即可求出结果.
【详解】(1)令,则.
(2)任取,,且,则,.
,
,
在上为增函数.
(3),即,
.
又在上为增函数,
对任意的恒成立.
令,只需满足即可
当,即时,在上递增,因此,
由得,此时;
当,即时,,由得,此时.
综上,实数a的取值范围为.
【点评】本题主要考查了抽象函数,及其函数的单调性和不等式的解法,着重考查了函数的简单性质和函数恒成立问题等知识点,属于中档题.
19.(1) ;(2)单调递减函数,证明见解析;(3).
【分析】(1)根据函数是上的奇函数,可知 ,把代入,即可得到结果;
(2)利用减函数的定义即可证明.
(3)根据奇函数的性质,可得成立,等价于成立,再根据在上是减函数,可得,由此即可求出结果.
【详解】(1)因为是奇函数,所以,解得,
(2)证明:由(1)可得: .
设 ,∴,
则,
∴.
∴在上是减函数.
(3)∵函数是奇函数.
∴成立,等价于成立,
∵在上是减函数,∴,
所以.
【点评】本题主要考查了奇函数的性质,定义法证明函数的单调性,以及利用函数的单调性和奇偶性求参数的值,属于函数性质的应用;属于基础题.
20.
【分析】首先利用等量代换可得,再利用换元法可得,可设函数,易知在定义域内为单调递减函数,从而可求出函数的最大值与最小值,由此即可求出结果.
【详解】因为,
所以,
令 ,则,
所以,
令,
所以,
所以函数在上,,函数在上单调递减,
所以当时,函数取得最大值为;
当时,函数取得最小值为.
故的最大值和最小值.
【点评】本题主要考查了换元法和利用函数的单调性求函数的最值,本题属于基础题.
21.(1);(2).
【分析】(1)求出函数的对称轴方程,对实数分、、三种情况讨论,分析函数在区间上的单调性,进而可得出函数在区间上的最小值的表达式;
(2)对函数分情况讨论:(i)方程在区间上有两个相等的实根;(ii)①方程在区间只有一根;(②;③.可得出关于实数的等式或不等式,即可解得实数的取值范围.
【详解】(1),其对称轴为,
当,即时,函数在区间上单调递减,;
当,即时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
;
当时,即当时,函数在区间上单调递增,.
综上所述:;
(2)(i)若方程在上有两个相等的实数根,
则,此时无解;
(ii)若方程有两个不相等的实数根.
①当只有一根在内时,,即,得;
②当时,,方程化为,其根为,,满足题意;
③当时,,方程化为,其根为,,满足题意.
综上所述,的取值范围是.
【点评】本题考查二次函数在定区间上最值的计算,同时也考查了利用二次函数在区间上零点个数求参数,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.
22.(1)见解析(2)证明见解析(3)
【分析】(1)写出函数的解析式,分别判断和时,函数的奇偶性;
(2)利用单调性定义证明即可;
(3)化简函数,利用换元法将其转化为函数,根据二次函数的对称轴,进行分类讨论,从而求得的取值范围.
【详解】(1)①当时,由于,从而为奇函数;
②当时,由, ,
得,且.
故函数为非奇非偶函数.
(2)当时,函数在上递增.
理由:任取,且,则, ,
故函数在上递增.
(3),下面研究函数,
①当,即时, ,, ,
所以 ,
又在时递增,
所以,即有,
可得,在递增,可得;
②当,即时, ,即,
可得,
综上可得,.
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题,也考查了函数最值应用问题,是难题.
23.(1),奇函数,,非奇非偶函数;理由见解析;(2)3.
【分析】(1)若函数为奇函数,由奇函数的定义可求得的值;又,则不可能为偶函数,即时,函数是非奇非偶函数;
(2)对任意的,不等式恒成立,化简不等式参变分离,构造新函数,利用换元法和对勾函数的单调性求出最值,代入得出实数u的最大值.
【详解】(1)若函数为奇函数,
则,
即,对恒成立,
所以,
解得,
又,
对任意实数,,所以不可能为偶函数,
所以时,函数是非奇非偶函数.
(2)当为奇函数时,,,
因为对任意的,不等式恒成立,
所以对任意的,不等式恒成立,
令,
令,
因为,在是增函数,
所以当时,,即,
所以,
所以实数u的最大值是3.
【点评】本题考查函数的性质和恒成立问题,考查函数奇偶性的定义,考查对勾函数的单调性,考查学生转化思想和计算能力,属于中档题.
24.函数在上单调递增,证明见解析.
【分析】根据单调性的定义,利用定义法证明函数的单调性.
【详解】因为所以为单调递增函数.
证明:设任意,且,
则,
且,
所以函数在上单调递增.
【点评】本题考查函数的单调性的判断与证明,属于基础题,解题时要注意定义法的合理运用.
25.
【分析】利用函数的奇偶性和单调性,列出不等式组求出m的取值范围.
【详解】是奇函数,等价于
又在定义域上单调递减,则,解得
故m的取值范围是
【点评】本题考查利用函数的性质解不等式,考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题.