4.2.1指数函数的概念-高中数学人教A版（2019）必修第一册 同步提高练习（含详解）

4.2.1指数函数的概念-高中数学人教A版（2019）必修第一册同步提高练习
1．已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为（ ）
A．4个 B．8个 C．16个 D．32个
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数的值域为，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
8．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
9．已知函数是定义在上的单调递增的函数，且满足对任意的实数都有，则的最小值等于（ ）.
A．2 B．4 C．8 D．12
10．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
11．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．
12．已知函数，函数，记，其中表示实数，中较小的数.若对都有成立，则实数a的取值范围是________.
13．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]长度的最小值为________.
14．已知函数，则的最小值是_____________.
15．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
16．“”是“”的_____条件．
17．函数的值域为_______.
18．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
19．设，，，则，，的大小关系是________．
20．下列函数中是指数函数的是________.①；②；③；④；⑤；⑥.
21．求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
22．已知函数的图像经过点，
（1）求的值；
（2）求函数的值域；
23．解关于x的不等式： (a>0，且a≠1)．
24．求下列函数的单调区间．
（1） （2）y＝.
25．求下列函数的定义域与值域．
（1）； （2）； （3）.
26．已知函数，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=4–x–2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．
27．设函数，其中．
（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3），，解关于x的不等式．
28．已知且（且）的图象经过点.
（1）求的值；
（2）已知，求.
29．已知函数，且，，求函数的一个解析式.
30．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.
（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
参考答案
1．B
分析：由题意弄清细胞分裂数与分裂次数之间的关系，即可求出结果.
解答：1个这样的细胞分裂1次后，得到的细胞个数为个，
分裂2次后，得到的细胞个数为个，
分裂3次后，得到的细胞个数为个.
故选：B.
点评：本题主要考查的是指数函数的简单应用，解答此类题目的关键是理解细胞分裂次数和个数的关系，是基础题.
2．D
分析：先求出集合B,从而可得集合B的补集,进而可求出
解答：解:由得
所以,
所以；
所以．
故选：D．
点评：此题考查集合的交集补集运算,考查对数函数的定义域,属于基础题
3．B
解析：分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
4．D
分析：根据的不同取值分类讨论，结合两函数所过的定点进行判断即可.
解答：当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.
故选：D
点评：本题考查了识别函数图象问题，考查了对数型函数和指数函数的图象，考查了分类讨论思想和数形结合思想.
5．B
分析：分段求解指数函数的值域，结合已知条件，即可容易求得参数范围.
解答：当时，
当时，
函数的值域为
，即
故选：B
点评：本题考查由分段函数的值域求参数范围，涉及指数函数值域的求解，属综合基础题.
6．A
分析：根据幂函数和指数函数的图象，即可逐项判断，得出结果.
解答：为幂函数，为指数函数
A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
点评：本题考查了幂函数和指数函数的图象，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
7．A
分析：直接将代入函数的解析式，根据指数的运算即可得结果.
解答：∵，
∴，解得，故选A.
点评：本题主要考察了已知函数值求自变量的值，熟练掌握指数的意义是解题的关键，属于基础题.
8．D
解析：由题设可得方程组，由，代入，联立两个等式可得，由此解得，应选答案D．
9．B
分析：根据为定值，可假设，然后计算，并计算的值，然后使用基本不等式，可得结果.
解答：由题可知：为定值
故设，即
又，
所以
则
则
当且仅当时，取等号
所以的最小值为：4
故选：B
点评：本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于为定值，审清题意，细心计算，属中档题.
10．D
分析：先由函数的奇偶性和对称性，求出是周期函数，周期，再结合时，，求出，即一个周期的和，再计算所求的式子的项的个数，结合一个周期的和，得到答案.
解答：因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，
，，
则，
则
故选：D
点评：本题主要考查函数的奇函数、周期性和对称性的应用，属于中档题.
11．
解析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于.
考点：函数图像的对称性，函数的单调性.
点评：该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件，得出函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围.
12．，或
分析：首先根据题意可知当或时，恒成立，又对都有成立，则时，恒成立，再对进行分类讨，求出的最值，由此即可求出结果.
解答：由于对都有成立，
令，可得或；
所以当时，恒成立；
当时，在区间上单调递减，所以，
所以，可得，所以或，
所以；
当时，在区间上单调递增，所以，
所以，可得，所以或，
所以；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，此时不成立；
综上所述，，或.
故答案为：，或.
点评：本题主要考查了函数的单调性、函数最值、恒成立问题等，同时考查转换思想，属于中档题．
13．2
分析：先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间，的长度的最小值．
解答：∵函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，又，∴0∈[a，b].2和－2至少有一个属于区间[a，b]，
故区间[a，b]的长度最小时为[－2，0]或[0，2]，即区间[a，b]长度的最小值为2.
故答案为：．
点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.
14．
分析：分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出．
解答：当时，函数单调递增，此时；
当时，设，，
此时，．综上可知，函数的最小值是．
故答案为：．
点评：本题主要考查分段函数的最值求法，以及指数复合型函数的值域求法，属于基础题．
15．
解答：∵a2＋a＋2＝，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x，即.
x的取值范围是.
16．充要
分析：利用指数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
解答：充分性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，充分性成立；
必要性：由于指数函数为上的增函数，由，可得，必要性成立.
综上所述，“”是“”的充要条件.
故答案为：充要.
点评：本题考查充要条件的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.
17．
分析：利用换元法结合指数函数的单调性可求函数的值域.
解答：设，则，
因为函数，为增函数，则，
所以函数的值域为.
故答案为：.
点评：本题考查指数型函数的值域，此类问题一般用换元法结合初等函数的单调性来求解，本题属于基础题.
18．-3
分析：当时，代入条件即可得解.
解答：因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
点评：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
19．
分析：利用指数函数和幂函数的单调性即可判断三个式子的大小.
解答：对和，因为函数为减函数，
，所以，即，
对和，因为函数在上为增函数，
，所以，即，
所以，，的大小关系是.
故答案为：
点评：本题主要考查指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.
20．①④
分析：指数函数必须是形如（且）的函数，其必须具备三个特征：1.底数必须是大于0且不等于1的常数.2.指数必须是自变量.3.系数必须为1.
解答：解：函数是指数函数，且也是指数函数，其它函数不符合指数函数的三个特征.
故答案为：①④.
点评：本题考查指数函数的定义，属于基础题.
21．（1）定义域：，值域：，减区间：；（2）定义域：，值域：，减区间：和；（3）定义域：R，值域：，增区间：，减区间：；（4）值域，减区间：，增区间：
分析：（1）由得定义域，再结合指数函数性质得值域，单调区间；
（2）由得定义域，然后求出的取值范围，再由指数函数性质得值域，单调区间；
（3）求出的取值范围，由指数函数的性质得值域，单调区间；
（4）设，把函数转化为二次函数，确定的范围后可得值域，单调区间．
解答：（1）由得，所以定义域为，又，
所以，，所以值域中，
在上是减函数，所以的减区间是；
（2）由得，所以定义域是，
又，所以值域是，
在和上都是增函数，
所以的减区间是和；
（3）定义域是，又，所以值域中，
在上递增，在上递减，
所以的增区间，减区间是；
（4）定义域是，令，由，所以，
，所以，值域，
又在上递减，在上递增，而是减函数，
所以的减区间是，增区间．
点评：本题考查指数型复合函数的定义域、值域、单调区间，掌握指数函数性质是解题关键．复合函数单调性如下：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
22．（1） ；（2） .
分析：（1）将点代入函数即可求出的取值；（2）利用指数函数的性质可得到函数的单调性，再结合指数函数的值域即可求出函数的值域.
解答：解：（1）因为函数的图像经过点，
所以

（2）由（1）可知，
因为，在上单调递减，则在时有最大值，

又，的值域为.
点评：本题考查指数函数过定点问题，考查利用指数函数的单调性求值域，属于基础题.
23．当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
分析：对分类讨论，根据指数函数的单调性可解得结果.
解答：当时，，解得；
当时，，解得，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
点评：本题考查了分类讨论思想，考查了根据指数函数的单调性解不等式，属于基础题.
24．（1）答案见解析（2）单调递增区间为和，无递减区间.
分析：（1）分类讨论，根据指数函数与二次函数的单调性以及同增异减法则可得结果；
（2）求出函数的定义域，令，则，根据两个函数的单调性以及同增异减法则可得结果.
解答：（1）令，则，
因为在上递减，在上递增，
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由，得，令，则，
因为，所以函数在和上都是减函数，
因为在和上都是减函数，
所以函数在和上都是增函数，
故函数的单调递增区间为和，无递减区间.
点评：本题考查了复合函数的单调性，将函数分解为两个函数，并利用同增异减法则处理是解题关键，属于基础题.
25．（1）定义域是，值域为且.；（2）定义域为，值域为；（3）定义域为，值域为．
分析：（1）根据分式分母不为，即可得到函数的定义域，设，得到，，再利用指数函数的性质即可得到函数的值域.
（2）根据函数可得定义域为，设，得到，，再利用指数函数的性质即可得到函数的值域.
（3）根据根号内大于等于即可得到函数的定义域，根据，得到，即可得到函数的值域.
解答：（1）因为，所以，故定义域为.
设，因为，所以.
因为，，所以且，故值域为且.
（2）函数，，所以定义域为.
设，因为，，所以，故值域为.
（3）因为，所以，解得，故定义域为.
因为，所以，即，故值域为.
点评：本题主要考查函数的定义域和值域的求法，换元法为解决本题值域的关键，属于简单题.
26．（1）a=1．（2）x的值为–1．
解析：（1）函数的图象过点，代入得解出即可；（2）根据（1），由得，可化为，解之即可.
试题解析：
（1）由已知得，解得.
（2）由（1）知，又，则，即，即，
令，则，又因为，解得，即，解得.
考点：指数函数的性质.
27．（1）；（2）；（3）答案见解析.
分析：（1）先由求得的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案；
（2）换元法令，则转化成在上有最小值，再由的对称轴大于0，得到的取值范围；
（3）由化简得到，再分类讨论的范围，得到不等式的解集.
解答：解：（1），所以，
所以，检验，此时，，
所以，为偶函数；
（2），令，
则在上有最小值，
所以，得；
（3），所以，所以，
因为，，所以．
①，即，解集为R；
②，即，解集为．
点评：本题考查了奇偶性的应用，指数不等式的解法，指数与对数的综合应用，考查了学生的分析推理能力，分类讨论思想，属于中档题.
28．（1）；（2）.
分析：（1）将点的坐标代入，利用解得结果即可；
（2）利用化简方程可得，解关于的一元二次方程可得，进一步可得结果.
解答：（1）由的图象经过点得
，又，所以
（2）由（1）得，由，
得，解得（舍去）
由解得.
点评：本题考查了由指数函数的解析式求参数，考查了指数型方程的解法，属于基础题.
29．
分析：用连乘法求，然后用归纳法归纳一个结论．
解答：由己知得，，，
，
，又.
点评：本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此可用归纳法思想归纳一个结论．
30．（1）.（2）（元）.
分析：（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式；
（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和．
解答：解：（1）根据题意可得；
（2）由（1）可知，当时，
，
∴5期后的本利和约为元．
点评：本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．