禹王中学2020～2021学年第一学期高一第四次月考（word版含解析）

禹王中学2020～2021学年第一学期高一第四次月考
数学
本卷命题范围：北师大版必修第一册第一～五章．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“?x∈R，x2+1≤1”的否定为
A．?x∈R，x2+1≥1
B．?x∈R，x2+1≥1
C．?x∈R，x2+1＞1
D．?x∈R，x2+1＞1
2．设集合，B＝{x|-4≤x≤3}，则A∩B＝
A．[-4，-2)∪(1，3]
B．(-2，3)
C．R
D．?
3．下列函数在(0，+∞)上为增函数的是
A．
B．f(x)＝2-x
C．f(x)＝ln
|x|
D．
4．函数f(x)＝lg
x+x-2的零点所在区间为
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
5．已知幂函数的图象在(0，+∞)上单调递减，则a的取值范围是
A．1
B．-2
C．1或-2
D．(-2，1)
6．“x＞2”是“”的
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知t＞0，则函数的最小值为
A．-2
B．
C．3
D．2
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)＝f(x)+1，若g(2)＝5，则g(-2)＝
A．-5
B．5
C．3
D．-3
9．函数f(x)＝3|x-1|的大致图象是
A．
B．
C．
D．
10．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈(-∞，0]时，f(x)是增函数，则，，f(π)的大小关系是
A．
B．
C．
D．
11．已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，且f(1-x)＝f(1+x)，则f(2020)＝
A．2020
B．0
C．2
D．-2019
12．已知函数若关于x的方程f(x)＝a有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围为
A．(0，1]
B．[1，+∞)
C．(-∞，1)
D．(-1，0)
二、填空题
13．函数的定义域为________．
14．已知f(x-1)＝x2+1，则f(x)＝________．
15．已知函数f(x)＝e|x-t|+|x-t|在区间(3，+∞)上单调递增，则实数t的取值范围是__________．
16．当x＞2时，函数y＝4ax-1（a＞0，且a≠1）的图象恒在函数y＝3x-4的图象下方，则a的取值范围为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知集合A＝{x|1≤2x+1≤8}，B＝{x|(x-a)(x-a-1)＜0}，a∈R．
（1）若1∈B，求实数a取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
19．已知函数f(x)＝loga(2-2x)+loga(x+4)，其中a＞1．
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）若函数f(x)的最大值为2，求a的值．
20．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的经验，发现种西红柿的年收入f(x)、种黄瓜的年收入g(x)与大棚投入x分别满足，．设甲大棚的投入为a，每年两个大棚的总收入为F(a)（投入与收入的单位均为万元）．
（1）求F(8)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收入F(a)最大？并求最大年总收入．
21．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2+ax+b的部分图象如图所示．
（1）求f(x)的解析式；
（2）在网格上将f(x)的图象补充完整，并根据f(x)图象写出不等式f(x)≥1的解集．
22．已知函数（a＞0且a≠1）为奇函数．
（1）求n的值；
（2）若，判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性并用定义证明；
（3）在（2）的条件下，证明：当x＞1时，．
禹王中学2020～2021学年第一学期高一第四次月考·数学
参考答案、提示
1．C
“?x∈R，x2+1≤1”的否定是“?x∈R，x2+1＞1”．故选C．
2．A
由，得A＝{x|x＜-2或x＞1}．又B＝{x|-4≤x≤3}，所以A∩B＝[-4，-2)∪(1，3]．故选A．
3．C
函数在(0，+∞)上是减函数；在(0，+∞)上是减函数；f(x)＝ln
|x|，当x＞0时，f(x)＝ln
x在(0，+∞)上是增函数；在(0，+∞)上是减函数．故选C．
4．B
函数f(1)＝lg
1+1-2＝-1＜0，f(2)＝lg
2+2-2＝lg
2＞0．又f(x)为单调增函数，所以f(x)有唯一零点，且在区间(1，2)内．故选B．
5．A
由幂函数定义得a2+a-1＝1，解得a＝1或a＝-2．当a＝1时，f(x)＝x-4在(0，+∞)上单调递减；当a＝-2时，f(x)＝x5在(0，+∞)上单调递增．故选A．
6．A
当x＞2时，得；当时，得x＞1，所以“x＞2”是“”的充分不必要条件．故选A．
7．C
，当且仅当，即t＝1时，等号成立．故选C．
8．D
由g(2)＝f(2)+1＝5，则f(2)＝4．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-2)＝-4，g(-2)＝f(-2)+1＝-4+1＝-3．故选D．
9．B
函数在区间(-∞，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增．故选B．
10．C
根据偶函数的性质可知，，当x∈[0，+∞)时，f(x)是减函数，因为，所以．故选C．
11．B
因为f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，所以f(-x)＝-f(x)．因为f(1-x)＝f(1+x)，所以f(x+2)＝f(-x)，即f(x+2)＝-f(x)，所以f(x+4)＝-f(x+2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(2020)＝f(505×4+0)＝f(0)＝0．故选B．
12．D
作出函数f(x)的图象，由图可知，当-1＜a＜0时，直线y＝a与f(x)的图象仅有一个交点，所以-1＜a＜0．故选D．
13．(0，e)
由题可得1-ln
x＞0且x＞0，所以0＜x＜e，即函数的定义域为(0，e)．
14．x2+2x+2
令t＝x-1，则x＝t+1，f(t)＝(t+1)2+1＝t2+2t+2，即f(x)＝x2+2x+2．
15．(-∞，3]
f(x)＝e|x-t|+|x-t|．讨论：当x≥t时，f(x)＝ex-t+x-t；当x≤t时，
．分析知，函数f(x)在区间[t，+∞)上单调递增，在区间(-∞，t]上单调递减．又f(x)在区间(3，+∞)上单调递增，所以3≥t．
16．
由题意，得当x＞2时不等式4ax-1＜3x-4恒成立，即，令f(x)＝ax-1，，当a＞1时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；
当0＜a＜1时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f(2)≤g(2)，即，解得，故a的取值范围是．
17．解：（1）若1∈B，则-a(1-a)＜0，得0＜a＜1．
（2）由1≤2x+1≤8，得0≤x+1≤3，即-1≤x≤2，所以A＝{x|-1≤x≤2}，B＝{x|(x-a)(x-a-1)＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，
若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
则B是A的真子集，
即解得-1≤a≤1，
经检验，当-1≤a≤1时均有B?A．
即实数a的取值范围是[-1，1]．
18．解：（1）原式．
（2）原式．
19．解：（1）要使函数有意义，则有
解得-4＜x＜1，
所以函数f(x)的定义域为(-4，1)．
（2）函数可化为
，
因为-4＜x＜1，所以．
因为a＞1，所以
，
即，
由，解得．
20．解：（1）由题意知，
所以
（万元）．
（2）依题意得解得2≤a≤18，
故．
令，则，，
显然在区间
上G(t)单调递增，
所以当，即a＝18时，F(a)取得最大值，F(a)max＝44.5，
所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元．
21．解：（1）由题意得，解得，
则当x≥0时，f(x)＝x2-2x-2．
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以当x＜0时，f(x)＝f(-x)＝(-x)2-2(-x)-2＝x2+2x-2．
故．
（2）
由f(x)的图象可得，不等式f(x)≥1的解集为(-∞，-3]∪[3，+∞)．
22．（1）解：因为是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数，
所以f(-1)+f(1)＝0，即，
整理得，因为a＞0，
所以n＝1．
经检验，当n＝1时（a＞0且a≠1）为奇函数，故所求n的值为1．
（2）函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
证明：由，得a＝2，
任取x1，x2∈(0，+∞)且x1＜x2，
则．
因为x2＞x1＞0，所以x1-x2＜0，，，所以，
则，
所以f(x1)-f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，+∞)上是单调递增的．
（3）证明：由（2）知，f(x)在(1，+∞)上是单调递增的，
当x＞1时，f(x)＞f(1)，
又，从而，
又，
而当x＞1时，，，所以f(x)＜1，
综上，当x＞1时，．