六安二中2020-2021学年河西校区高二年级第一学期数学统测（word版含解析）

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六安二中河西校区高二年级数学统测
满分：150分
时间：120分钟
一、单选题（每小题5分，共12小题）
1．下列求导结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数在时有极值0，那么的值为（
）
A．14
B．40
C．48
D．14或40
4．已知函数，，则下列判断正确的是（
）
A．是增函数
B．的极大值点是
C．是减函数
D．的极小值点是
5．函数的图象大致是(
)
A．
B．
C．
D．
6．函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列求导运算不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．设函数的导函数是，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．若直线是曲线的切线，且，则实数的最小值是（
）
A．2
B．4
C．
D．5
10．若函数在上是减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　
)
A．(－∞，0)
B．
C．(0,1)
D．(0，＋∞)
12．若，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共4小题）
13．函数在上的最大值是______.
14．已知直线与曲线相切，则_______.
15．定义在上的函数满足，且，则的解集为______.
16．命题对于任意，恒成立；命题函数在上单调递增.若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是_______.
三、解答题
17．（10分）若，，求：
（1）的单调增区间；
（2）在上的最小值和最大值.
18．（12分）已知函数在与时都取得极值．
（1）求的值与函数的单调区间；
（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．
19．（12分）已知函数.
（1）若，求在区间上的极值；
（2）讨论函数的单调性.
20．（12分）如图，四边形PABC中，，现把沿折起，使PA与平面ABC成角，点P在平面上的投影为点
(与B在CA同侧)
（1）证明：平面；
（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.
21．（12分）已知椭圆：的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别是椭圆的左，右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两
点，，求面积的最大值.
22．（12分）已知函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）设是的导函数的零点，若，求证：.
试卷第1页，总3页
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参考答案
1．D
【分析】
按照基本初等函数的求导法则，求出、、、选项中正确的结果即可．
【详解】
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可．
2．C
【分析】
根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】
因为，
所以，则曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线的倾斜角为.
故选：C
3．B
【分析】
由导数与函数的关系得出的值，再检验，或，是否成立.
【详解】
函数，
若在时有极值0，可得
则，解得：，或，
当，时，，满足题意函数在时有极值0．
当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．
．
故选：B
4．D
【分析】
求出求出函数的单调区间，从而可得出答案.
【详解】
由
由
解得
，又，所以
由，得或
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在上不是单调函数，故A,
C不正确.
所以函数在处有极小值，在处有极大值.故选项B不正确，选项D正确.
故选：D
5．B
【分析】
根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由时，恒为正，排除C即可得解.
【详解】
函数，
则，令，
解得的两个极值点为，故排除AD，
且当时，恒为正，排除C，
即只有B选项符合要求，
故选：B.
【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.
6．D
【分析】
求出定义域．求出导函数，在定义域内解不等式可得减区间．
【详解】
函数定义域是，
，
由可得．
∴减区间是．
故选：D．
【点睛】
本题考查求函数的单调区间，求出导函数是基础，然后解不等式确定增区间，确定减区间．
7．B
【分析】
直接利用导数公式和运算法则求解.
【详解】
A.
由导数公式得，故正确；
B.
由导数运算法则得，故错误；
C.
由导数公式得，故正确；
D.
由导数公式得，故正确；
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.
8．A
【分析】
求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
9．C
【分析】
求出函数的导数，设切点为，由条件得到，，即有，再对求导，求出单调区间，极值即为最值，即可得到实数的最小值．
【详解】
的导数为，
由于直线是曲线的切线，设切点为，则，
∴，又，
∴
，
，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
∴为极小值点，也为最小值点，∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，属于基础题．
10．A
【分析】
在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.
【详解】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.
利用单调性求参数的范围的常见方法：①
视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
②
利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
11．B
【解析】
函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
12．D
【分析】
对A，B可构造函数，通过函数的单调性比较即可，对C，D可构造函数，再根据函数的单调性比较即可.
【详解】
解：对A，B，，
要比较和的大小，即比较和的大小，
令，则，
，，
，使，
即
，，单调递增，
，，单调递减，
在区间上不单调，故无法判断与的大小，
所以A，B错误；
对C，D，，
要比较与的大小，只需要比较与的大小；
令，
则，
又，，
在上单调递增，
又，
，
即，
即，
整理得：，所以C错误，D正确.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
13．
【分析】
利用导函数可知在上，有单调递减，即可求区间内最小值.
【详解】
在上，有，
知：在上单调递减，在和上单调递增，故最大值在极大值点或端点值处取得，极大值为，最大的端点值为，
明显地，，所以，在上的最大值是
故答案为：
14．
【分析】
设切点为，求出切线方程，利用切线方程就是可求得切点坐标和值．
【详解】
设切点为，，所以，又，解得，
故答案为：．
15．
【分析】
先令，对其求导，得到，根据题意，得到在上单调递增；再由得，结合的符号得到结果.
【详解】
令，则，
因为定义在上的可导函数满足，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
又，所以，
因此，当时，，所以，
当时，，所以，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：该题主要考查导数的方法解不等式，在解题的过程中，思路如下：
（1）构造函数，利用导数，结合题中所给的条件，判断函数的单调性；
（2）根据题中所给的函数的零点，判断函数值的符号，得到结果.
16．或
【分析】
令，利用数形结合可得且，即可化简命题；由对任意恒成立，利用分离参数法，即可化简命题，再由命题为真命题，命题为假命题，可得，一真一假，列出不等式可得实数的取值范围.
【详解】
令，
若命题为真命题，则，即，解得；
若命题为真命题，则对于任意恒成立，即恒成立，
而，所以.
因为命题为真命题，命题为假命题，所以真假或假真，
所以或，所以或.
故答案为：或
【点睛】
方法点睛：已知不等式恒成立，求参数范围的常用方法：
(1)
含参求最值法：参数不分离，直接含参求函数的最值加以解决；
(2)
分离参数求最值法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决；
(3)
数形结合法:
确定主元，数形结合.
17．(1)
增区间为;(2)
.
【解析】
分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；
（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.
详解：
（1），
由
解得，
的增区间为；
（2），
（舍）或，
,
,
，
点睛：函数的最值
(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
18．解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（2）
【分析】
（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
【详解】
（1），f（x）＝3x2+2ax+b
由解得，
f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（﹣∞,）
（，1）
1
（1，+∞）
f（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
极大值
极小值
所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．
（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，
得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，
所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．
要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．
解得c＜﹣1或c＞2．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．
19．（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析.
【分析】
（1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值；
（2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）当时，，所以，，列表；
单调递减
极小
单调递增
所以，在区间上的有极小值，无极大值；
（2）函数的定义域为，.
当时，，从而，故函数在上单调递减；
当时，若，则，从而；
若，则，从而.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【点睛】
方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：
（1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；
（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接，证明平面，说明是与平面的角，通过证明，推出平面．（2）建立直角坐标系求解
【详解】
解：（1）连，因为平面，得．
又因为，，平面，平面
所以平面，平面，所以
因为是与平面的角，．
因为，得．
在中，，故有，
从而有，平面，平面
所以平面．
（2）以所在直线分别为轴、轴、轴建立坐标系，
则，，，
设平面的法向量
则得
即直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21．（1）；（2）最大值为3.
【分析】
（1）根据离心率为以及过定点，列方程即可得解；
（2）设，，根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为和联立可得，结合韦达定理带入面积公式，即可得解.
【详解】
（1）依题意有，解得，
故椭圆的方程为.
（2）设，，
根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
由，得
，，
由韦达定理得，，
∴，
令，则，∴.
令，则当时，单调递增，
∴，，
即当，时，的最大值为3.
【点睛】
本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题.
本题的关键有：
（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；
（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础.
22．（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，最后化成一般式即可；
（2）求出的表达式，根据零点定义，得到一个指数方程，然后取对数，变成对数方程，构造新函数，利用新函数的单调性，结合已知的不等式进行证明即可.
【详解】
（1）当时，，
，且，
曲线在处的切线的斜率.
曲线在处的切线方程为，
即；
（2）由题意得.
是的导函数的零点，
，即，
，
即.
又，则.
令，显然，所以
因此在上是增函数，且.
，因此.
.
【点睛】
本题考查了过曲线上一点求曲线切线方程问题，考查了利用导数证明不等式问题，考查了数学运算能力.
答案第1页，总2页
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