人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习（word版附答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习（word版附答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 328.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-15 10:53:49 | ||
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文档简介
专题1 相似三角形的基本模型
模型1 A字型及其变形
(1)如图1，公共角所对的边平行(DE∥BC)，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，则△AED∽△ABC.
【例1】 如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，求AD·BC的值．
42989500解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
∴AD·BC＝DE·AB.
又∵DE＝2，AB＝5，
∴AD·BC＝2×5＝10.
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝3，AC＝5，BC＝10，则BF的长为 .
2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.
模型2 X字型及其变形
(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.
【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.
41313100证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
∠OBA＝∠ODC.
∴△ABO∽△CDO.
【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．
解：△AOD与△BOC不相似．
理由如下：∵∠AOD＝∠COB，
要使△AOD与△BOC相似，
∴当满足＝或＝时，
即DO·BO＝AO·CO或DO·CO＝AO·BO时，△AOD与△BOC相似．
由已证可知△ABO∽△CDO，∴＝，
即AO·DO＝BO·CO，不满足证明△AOD与△BOC相似的条件．
∴△AOD与△BOC不相似．
【变式】 如图，在四边形ABDC中，若AB不平行于CD，∠ABC＝∠ADC，则图中的相似三角形有△COD∽△AOB，△AOC∽△BOD．
3．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
5．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
模型3 子母型
若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC，从而可得结论：AC2＝AD·AB.
【例3】 如图，P是△ABC的边AB上的一点．
(1)如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？
(2)如果＝，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果＝呢？
42227500解：(1)△ACP∽△ABC.理由如下：
∵∠ACP＝∠ABC，
∠PAC＝∠CAB，
∴△ACP∽△ABC.
(2)＝时，△ACP∽△ABC.理由如下：
∵∠PAC＝∠CAB，且＝，
∴△ACP∽△ABC.
由＝不能得到△ACP与△ABC相似．
∵AC与CP的夹角为∠ACP，BC与AC的夹角为∠ACB，
而∠ACP与∠ACB不相等，
∴由＝不能得到△ACP与△ABC相似．
6．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
7．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，若BC＝2，AB＝3，则BD的长为 ．
模型4 双垂直型
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有△ACD∽△ABC∽△CBD，从而可得结论：CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.
【例4】 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
(1)请指出图中所有的相似三角形；
(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？41313100
解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.
(2)能得出AD2＝BD·DC.
理由如下：
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.
∴∠BAD＝∠ACD.
又∵∠BDA＝∠ADC，
∴△BAD∽△ACD.
∴＝，即AD2＝BD·DC.
25761952139958．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为( )
A．3
B．15
C．9
D．3＋3
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝ ，AC＝ ．
模型5 一线三等角型
(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．
(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则
①△ABP∽△PCD；
②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.
3876040213360【例5】 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
又∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.
(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3.
∵△ABE∽△DEF，
∴＝，即＝.
∴DE＝2.
又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.
∴＝.∴GC＝6.
∴BG＝BC＋CG＝10.
10．如图，在等腰△ABC中，点E，F，O分别是腰AB，AC及底BC边上任意一点，且∠EOF＝∠B＝∠C.求证：OE·FC＝FO·OB.
1．如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形有 个．
2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝ .
3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为 .
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
专题2 相似三角形的性质与判定
类型1 利用相似三角形求线段长
1．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，则BC的长为 .
2．如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，则菱形的边长为 cm.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AB上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD＝3，那么AC＝ .
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ .
5．如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA的延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF.
(1)如果＝，DE＝6，求边BC的长；
(2)如果∠FAE＝∠B，FA＝6，FE＝4，求DF的长．
类型2 利用相似三角形求角度
6．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是 .
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝ .
类型3 利用相似三角形求比值
35820355575308．如图，AB∥DC，AC与BD交于点E，EF∥DC交BC于点F，CE＝5，CF＝4，AE＝BC，则等于( )
A. B.
C. D.
29571951993909．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( )
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E.若AB＝3，BC＝4，则的值为 .
类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式
11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.求证：
(1)△ADE∽△ABC；
(2)DF·BF＝EF·CF.
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F.求证：＝.
类型5 利用相似求点的坐标
342201526543013．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB并延长到点C，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C的坐标为( )
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(，2)
14．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为
专题3 圆与相似
36810952146301．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC边于点E，AD＝5，BD＝2，则DE的长为( )
A. B.
C. D.
28733753695702．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D是上一点，BD交AC于点E.若BC＝4，AD＝，则AE的长是( )
A．3 B．2
C．1 D．1.2
3．如图，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝ ．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，作PD∥AB，交CA的延长线于点P，连接AD，BD.求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)△PAD∽△DBC.
5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：
(1)△ABC为等腰三角形；
(2)AM·CP＝AN·CB.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
参考答案：
专题1 相似三角形的基本模型
4.
2．证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°.
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AEF＝∠ACG.
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
3．D
4． ．
5．解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，
即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴＝，即＝.
∴DF＝4.
6．B
7．．
8．B
9．3．
10．证明：∵∠EOC＝∠EOF＋∠FOC，∠EOC＝∠B＋∠BEO，∠EOF＝∠B，
∴∠FOC＝∠OEB.
又∵∠B＝∠C，
∴△BOE∽△CFO.
∴＝，
即OE·FC＝FO·OB.
5 ．
2．.
3．或3.
4．解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF.
∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝.
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.
∴＝.∴＝.
∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.
∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.
专题2 相似三角形的性质与判定
1．8.
2．.
3．.
4．3.
5．解：(1)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.∴＝.
∴BC＝9.
(2)∵∠FAE＝∠B，∠B＝∠D，
∴∠FAE＝∠D.
又∵∠F＝∠F，
∴△FAE∽△FDA.
∴＝.
∴DF＝＝9.
6．135°.
7．110°.
8．B
9．B
10．.
11．证明：(1)∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴AB＝3AD，AC＝3AE.
∴＝＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵＝＝，
∴DE∥BC.
∴△DEF∽△CBF.
∴＝.
∴DF·BF＝EF·CF.
12．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.
∴∠A＝∠BCD.
∴△ABC∽△CBD.
∴＝，即＝.
又∵E为AC的中点，
∴AE＝CE＝ED.
∴∠A＝∠EDA.
∵∠EDA＝∠BDF，
∴∠FCD＝∠BDF.
又∵∠F为公共角，
∴△FDB∽△FCD.
∴＝.
∴＝.
13．B
14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．
专题3 圆与相似
1．D
2．C
3．4∶3．
4．
证明：(1)连接OD.
∵∠DCA＝∠DCB，
∴＝.∴OD⊥AB.
∵AB∥PD，∴OD⊥PD.
∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，
∴∠PAD＝∠DBC.
由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，
∴△PAD∽△DBC.
5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC＝90°.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠BCP＝∠CAN.
∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.
又∵AN⊥BC，
∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．
(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN.
由(1)知∠BCP＝∠BAN，
∴△BPC∽△MNA.
∴＝，即AM·CP＝AN·CB.
6．
解：(1)证明：连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB.
∵BE平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.
又∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE.
又∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)在△BCE与△BED中，
∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，
∴△BCE∽△BED.
∴＝，即BC＝.
∵BE＝4，BD是⊙O的直径，即BD＝5，∴BC＝.
又∵OE∥BC，∴＝.∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，∴＝.
解得AD＝.
模型1 A字型及其变形
(1)如图1，公共角所对的边平行(DE∥BC)，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，则△AED∽△ABC.
【例1】 如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，求AD·BC的值．
42989500解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
∴AD·BC＝DE·AB.
又∵DE＝2，AB＝5，
∴AD·BC＝2×5＝10.
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝3，AC＝5，BC＝10，则BF的长为 .
2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.
模型2 X字型及其变形
(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.
【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.
41313100证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
∠OBA＝∠ODC.
∴△ABO∽△CDO.
【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．
解：△AOD与△BOC不相似．
理由如下：∵∠AOD＝∠COB，
要使△AOD与△BOC相似，
∴当满足＝或＝时，
即DO·BO＝AO·CO或DO·CO＝AO·BO时，△AOD与△BOC相似．
由已证可知△ABO∽△CDO，∴＝，
即AO·DO＝BO·CO，不满足证明△AOD与△BOC相似的条件．
∴△AOD与△BOC不相似．
【变式】 如图，在四边形ABDC中，若AB不平行于CD，∠ABC＝∠ADC，则图中的相似三角形有△COD∽△AOB，△AOC∽△BOD．
3．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
5．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
模型3 子母型
若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC，从而可得结论：AC2＝AD·AB.
【例3】 如图，P是△ABC的边AB上的一点．
(1)如果∠ACP＝∠B，△ACP与△ABC是否相似？为什么？
(2)如果＝，△ACP与△ABC是否相似？为什么？如果＝呢？
42227500解：(1)△ACP∽△ABC.理由如下：
∵∠ACP＝∠ABC，
∠PAC＝∠CAB，
∴△ACP∽△ABC.
(2)＝时，△ACP∽△ABC.理由如下：
∵∠PAC＝∠CAB，且＝，
∴△ACP∽△ABC.
由＝不能得到△ACP与△ABC相似．
∵AC与CP的夹角为∠ACP，BC与AC的夹角为∠ACB，
而∠ACP与∠ACB不相等，
∴由＝不能得到△ACP与△ABC相似．
6．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
7．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，若BC＝2，AB＝3，则BD的长为 ．
模型4 双垂直型
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有△ACD∽△ABC∽△CBD，从而可得结论：CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.
【例4】 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
(1)请指出图中所有的相似三角形；
(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？41313100
解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.
(2)能得出AD2＝BD·DC.
理由如下：
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°.
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.
∴∠BAD＝∠ACD.
又∵∠BDA＝∠ADC，
∴△BAD∽△ACD.
∴＝，即AD2＝BD·DC.
25761952139958．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为( )
A．3
B．15
C．9
D．3＋3
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝ ，AC＝ ．
模型5 一线三等角型
(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．
(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则
①△ABP∽△PCD；
②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.
3876040213360【例5】 如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
又∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.
(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3.
∵△ABE∽△DEF，
∴＝，即＝.
∴DE＝2.
又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF.
∴＝.∴GC＝6.
∴BG＝BC＋CG＝10.
10．如图，在等腰△ABC中，点E，F，O分别是腰AB，AC及底BC边上任意一点，且∠EOF＝∠B＝∠C.求证：OE·FC＝FO·OB.
1．如图，在矩形ABCD中，作DF⊥AC，垂足为F，延长DF交AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形有 个．
2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝ .
3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为 .
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
专题2 相似三角形的性质与判定
类型1 利用相似三角形求线段长
1．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，则BC的长为 .
2．如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，则菱形的边长为 cm.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AB上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD＝3，那么AC＝ .
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ .
5．如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA的延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF.
(1)如果＝，DE＝6，求边BC的长；
(2)如果∠FAE＝∠B，FA＝6，FE＝4，求DF的长．
类型2 利用相似三角形求角度
6．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是 .
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝ .
类型3 利用相似三角形求比值
35820355575308．如图，AB∥DC，AC与BD交于点E，EF∥DC交BC于点F，CE＝5，CF＝4，AE＝BC，则等于( )
A. B.
C. D.
29571951993909．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是( )
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E.若AB＝3，BC＝4，则的值为 .
类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式
11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.求证：
(1)△ADE∽△ABC；
(2)DF·BF＝EF·CF.
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F.求证：＝.
类型5 利用相似求点的坐标
342201526543013．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB并延长到点C，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C的坐标为( )
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(，2)
14．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为
专题3 圆与相似
36810952146301．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC边于点E，AD＝5，BD＝2，则DE的长为( )
A. B.
C. D.
28733753695702．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D是上一点，BD交AC于点E.若BC＝4，AD＝，则AE的长是( )
A．3 B．2
C．1 D．1.2
3．如图，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝ ．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，作PD∥AB，交CA的延长线于点P，连接AD，BD.求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)△PAD∽△DBC.
5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：
(1)△ABC为等腰三角形；
(2)AM·CP＝AN·CB.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
参考答案：
专题1 相似三角形的基本模型
4.
2．证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°.
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AEF＝∠ACG.
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
3．D
4． ．
5．解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，
即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴＝，即＝.
∴DF＝4.
6．B
7．．
8．B
9．3．
10．证明：∵∠EOC＝∠EOF＋∠FOC，∠EOC＝∠B＋∠BEO，∠EOF＝∠B，
∴∠FOC＝∠OEB.
又∵∠B＝∠C，
∴△BOE∽△CFO.
∴＝，
即OE·FC＝FO·OB.
5 ．
2．.
3．或3.
4．解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF.
∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝.
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.
∴＝.∴＝.
∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.
∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.
专题2 相似三角形的性质与判定
1．8.
2．.
3．.
4．3.
5．解：(1)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.∴＝.
∴BC＝9.
(2)∵∠FAE＝∠B，∠B＝∠D，
∴∠FAE＝∠D.
又∵∠F＝∠F，
∴△FAE∽△FDA.
∴＝.
∴DF＝＝9.
6．135°.
7．110°.
8．B
9．B
10．.
11．证明：(1)∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴AB＝3AD，AC＝3AE.
∴＝＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵＝＝，
∴DE∥BC.
∴△DEF∽△CBF.
∴＝.
∴DF·BF＝EF·CF.
12．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.
∴∠A＝∠BCD.
∴△ABC∽△CBD.
∴＝，即＝.
又∵E为AC的中点，
∴AE＝CE＝ED.
∴∠A＝∠EDA.
∵∠EDA＝∠BDF，
∴∠FCD＝∠BDF.
又∵∠F为公共角，
∴△FDB∽△FCD.
∴＝.
∴＝.
13．B
14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．
专题3 圆与相似
1．D
2．C
3．4∶3．
4．
证明：(1)连接OD.
∵∠DCA＝∠DCB，
∴＝.∴OD⊥AB.
∵AB∥PD，∴OD⊥PD.
∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，
∴∠PAD＝∠DBC.
由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，
∴△PAD∽△DBC.
5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC＝90°.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠BCP＝∠CAN.
∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.
又∵AN⊥BC，
∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．
(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN.
由(1)知∠BCP＝∠BAN，
∴△BPC∽△MNA.
∴＝，即AM·CP＝AN·CB.
6．
解：(1)证明：连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB.
∵BE平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.
又∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE.
又∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)在△BCE与△BED中，
∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，
∴△BCE∽△BED.
∴＝，即BC＝.
∵BE＝4，BD是⊙O的直径，即BD＝5，∴BC＝.
又∵OE∥BC，∴＝.∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，∴＝.
解得AD＝.