内蒙古赤峰市第二高级中学2020-2021学年高一上学期周练12.13数学试题 Word版含答案解析

内蒙古赤峰市第二高级中学周考(2020.12.13)
选择题
1. 若(1 + 2ai)i = 1 - bi, 其中a, b R, 则|a + bi| =
A.false+ i B.false C.false D.false
2. 设a = sin33°, b = cos55°, c = tan35°, 则
A. a > b > c B. b > c > a C. c > b > a D. c > a > b
3. 等比数列{an}的前n项和为Sn, 若S2n = 4(a1 + a3 + …+ a2n﹣1), a1a2a3 = 27, 则a6 =
A. 27 B. 81 C. 243 D. 729
3235325320675 4. 直三棱柱ABC ? A1B1C1中, 若BAC = 90°, AB = AC = AA1, 则异面直线BA1与AC1所成的角等于
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5. 已知某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,
则该几何体的体积是
A. 108cm3 B. 100cm3
C. 92cm3 D. 84cm3
6. 某地区经过一年的新农村建设, 农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例, 得到如图所示的饼图:
6705603810




则下面结论中不正确的是
新农村建设后, 种植收入减少
B. 新农村建设后, 其他收入增加了一倍以上
新农村建设后, 养殖收入增加了一倍
新农村建设后, 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
7. 不共线向量a, b满足|a| = 2|b|, 且b2 = ab, 则a与b - a的夹角为
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
8. 材料一: 已知三角形三边长分别为a, b, c, 则三角形的面积
S =false,其中p =false. 这个公式被称为海伦 - 秦九韶公式.
材料二: 阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义: 我们把平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
根据材料一或材料二解答: 已知ABC中, BC = 4, AB +AC = 6, 则ABC面积的最大值为
A.false B. 3 C. 2false D. 6
ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知bcosC + ccosB = 6, c = 3, B = 2C, 则cosC的值为
A.false B.false C.false D. false
10. 将函数f(x) = sin(3x + )(0 < < )的图象向右平移false个单位长度后, 得到函数的图象关于直线x =false对称, 则函数f(x)在[-false,false]上的值域是
A. [-false, 1] B. [-false, 2] C. [-false, 1] D. [-false, 2]
11. 已知A, B是函数y = 2x的图象上的相异两点, 若点A, B到直线y =false的距离相
等, 则点A, B的横坐标之和的取值范围是
A. (- , - 1) B. (- , - 2) C. (- 1, + ) D.(- 2, + )
12. 已知双曲线false-false= 1(n N*), 不与x轴垂直的直线l与双曲线右支交于点
B, C(B在x轴上方, C在x轴下方), 与双曲线渐近线交于点A, D(A在x轴上方), O为坐标原点, 下列选项中错误的为
A. |AC| = |BD|恒成立 B. 若SBOC =falseSAOD, 则|AB| = |BC| = |CD|
C. AOD面积的最小值为1
D. 对每一个确定的n, 若|AB| = |BC| = |CD|, 则AOD的面积为定值
二、填空题
13. 袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球, 不放回地摸出两球, 设“第一次摸得红球”为事件A, “摸得的两球同色”为事件B, 则P(B|A) = .
14. , 是两个平面, m, n是两条直线, 有下列四个命题:
(1)如果mn, m, n//, 那么.
(2)如果m, n//, 那么mn.
(3)如果//, m, 那么m//.
(4)如果m//n, //, 那么m与所成的角和n与所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
15. 已知等差数列{an}(n N*)中, 若a100 = 0,则等式a1 + a2 + + an = a1 + a2 + + a2009 - n(n N*, n < 2019)恒成立. 运用类比的方法, 可知在等比数列{bn}(n N*)中, 若b100 = 1, 则与此相应的等式 恒成立.
16. 设函数f(x) = (x - 1)ex, 若关于x的不等式f(x) < ax - 1有且仅有一个整数解, 则实数a的取值范围是 .
374015066040三、解答题
17. 如图, 一条巡逻船由南向北行驶, 在A处测得山顶P
在北偏东15°(∠BAC = 15°)方向上,匀速向北航行20分钟到达
B处, 测得山顶P位于北偏东60°方向上, 此时测得山顶P的
仰角60°, 若山高为2false千米.
(1)船的航行速度是每小时多少千米?
(2)若该船继续航行10分钟到达D处, 问此时山顶位于
D处的南偏东什么方向?
755650124206018. 随着科技的进步, 视频会议系统的前景愈加广阔. 其中, 小型视频会议软件格外受人青睐. 根据调查统计, 小型视频会议软件下载量前6名的依次为A, B, C, D, E, F. 在实际中, 存在很多软件下载后但并未使用的情况. 为此, 某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查, 统计得到这6款软件的下载量W(单位: 人次)与使用量U(单位: 人次), 数据用柱状图表示如图:
定义软件的使用率t =false, 当t ≥ 0.9时, 称该款软件为“有效下载软件”. 调查公司
以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.
(1)在这6款软件中任取1款, 求该款软件是“有效下载软件”的概率;
(2)从这6款软件中随机抽取4款, 记其中“有效下载软件”的数量为X, 求X的分布列与数学期望;
2469515457835B
E
A
A1
C1
C
B1
D
B
E
A
A1
C1
C
B1
D
(3)将(1)中概率值记为x%. 对于市场上所有小型视频会议软件, 能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.
19. 如图, 在三棱柱ABC - A1B1C1中, CC1平面ABC, ACBC, D在线段B1C1上, B1D = 3DC1, AE = 3EC, AC = BC = CC1 = 4.
(1)求证: BCAC1;
(2)求证: DE//平面A1ABB1;
(3)求直线ED与平面C1CBB1所成角的正弦值.
20. 设函数f(x) = aex + cosx, 其中a R.
(1)若a = 1, 证明: 当x > 0时, f(x) > 2;
(2)若f(x)在区间[0, ]内有两个不同的零点, 求a的取值范围.
21. 已知椭圆C:false+false= 1(a > b > 0)的长轴长为6, 且椭圆C与圆
M: (x - 2)2 + y2 =false的公共弦长为false.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点任作一条不与x轴重合的直线l, 直线l与椭圆C交于P, Q两点,点A为椭圆C的右顶点, 直线PA, QA分别与直线x = 9相交于点M, N. 证明: 以线段MN为直径的圆恒过定点.
22. 在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程是false(t为参数). 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线C1: =falsesin, 点A的极坐标为(2,false), 圆C2的圆心在极轴上, 且过O, A两点.
(1)求圆C2的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C1, C2分别交于异于原点的点P, Q, 求线段PQ的中点M的轨迹的直角坐标方程.
一轮复习 综合练习6
选择题
1. C
解析: 因为(1＋2ai)i＝1－bi，所以－2a＋i＝1－bi，a＝－，b＝－1，所以|a＋bi|＝＝，选C.
2. C
解析: b=cos55°=sin35°，c=tan35°=false> sin35°, ∴c>b>a
3. C
解析: 利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27, 即a2 = 3.
因为S2n = 4(a1 + a3 + …+ a2n﹣1), 所以n = 1时有S2 = a1 + a2 = 4a1, 从而可得a1 = 1, q = 3,
所以，a6 = 1×35 = 243, 故选C
4. C
解析: 分别取AB，AA1，A1C1的中点D，E，F，则BA1∥DE，AC1∥EF.

所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，
设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝，DF＝，由余弦定理得，∠DEF＝120°.
5. B
解析: 该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．
6. A
解析: 设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.
建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；
建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；
建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；
建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确．故选A.
7. D
304800046355解析: 由已知得：false，∴false，如图，
令false，false，则false，false
∵false，∴false，
又∵false，∴false，故false与false的夹角false．故选：D.
8. C
解析: 由材料二可得点false的轨迹为椭圆，其焦距false，长轴false，短轴false
当点false运动到椭圆短轴的顶点时，可得false的面积取得最大值，
falsefalse，故选：C.
9. D
解析: ∵c = 3, B = 2C, ∴sinB = sin2C = 2sinCcosC, ∴b = 6cosC.
∵a = bcosC + ccosB = 6, c2 = a2 + b2 - 2abcosC,
∴9 = 36 + 36cos2C - 72cos2C, 即cos2C =false,
∵c < a, ∴C为锐角, ∴cosC =false, 选D．
10. C
解析: falsefalse，向右平移false个单位长度后，得到函数的解析式为false，函数的图象关于直线false对称，false，false，
得false，false，又false，所以false，
false，当false时false，false．
故选：C.
11. B
解析: 设false，false，则false，
∵false，∴false，∴false，
由基本不等式得false，（等号不成立），
∴false，∴false，∴false，∴false．故选B．
12. C
解析: 设l：y＝kx+b，代入x2﹣y2＝n，得（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣n＝0，①
4077335195580显然k≠±1，△＝4b2k2+4（1﹣k2）（b2+n）＞0，即b2+n（1﹣k2）＞0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个根，
有，，
设A（x3，y3），D（x4，y4），由，得；
由，得；
∴，即AD和BC的中点重合，则|AC|＝|BD|恒成立，故A正确．
∵AD和BC的中点重合为P，∴|AB|＝|CD|，
又S△BOC＝S△AOD，∴|BC|＝|AD|，则|AB|＝|BC|＝|CD|，故B正确．
当BC过点（1，0）且BC垂直于x轴时，△AOD的面积最小值为1，
则当n无限小时，存在不垂直与x轴的直线与双曲线右支交于点B，C，与双曲线渐近线交于点A，D，使得△AOD的面积大于1，故C错误．
∵|AB|＝|BC|＝|CD|，∴|BC|＝|AD|，得＝|x3﹣x4|，即>0，
∴n＞0，k2＞1，|OA|＝，|OD|＝，∠AOD＝90°，
∴是定值，故D正确．
二、填空题
13.false
解析: 由P（A）=，P（AB）==，由条件概率P（B|A）==，故答案为：．
14. ②③④
解析: 对于①, 由mn, m, 得n//或n,
若n//, 则, 的位置关系无法确定, 故错误;
对于②, ∵n//, ∴过直线n作平面与平面相交于直线c, 则n//c, ∵m, ∴mc, ∴mn, 故②正确;
对于③, 由两个平面平行的性质可知正确;
对于④, 由线面所成角的定义和等角定理可知其正确, 故正确的有②③④.
考点： 空间中的线面关系.
false
解析: 已知等差数列false中，
falsefalse,
false.
false,由等差数列的性质得，false.
false等比数列false，且false，有等比数列的性质得，
false.
所以类比等式false，可得
false.
故答案为：false.
16. (1,false]
解析: false，false，令false，得false，列表如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
极小值
false
所以，函数false的单调递减区间为false，单调递增区间为false.
则函数false在false处取得极小值，且极小值为false，如下图所示：
当false时，若关于false的不等式false有且仅有一个整数解，则false，
解得false；
当false时，由于直线false与false轴的负半轴交于点false，
4391025226695当false时，关于false的不等式false有无数个整数解，不合乎题意.
综上所述，实数false的取值范围是false.故选：D.
三、解答题
17. 解析: (1)在△BCP中，tan∠PBC＝?BC＝2.
在△ABC中，由正弦定理得：＝?＝，
所以AB＝2(＋1)，船的航行速度是每小时6(＋1)千米．
(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝，
在△BCD中，由正弦定理得：＝?sin∠CDB＝，∠CDBfalsefalse
所以，∠CDB＝false, 所以，山顶位于D处南偏东false.
18. 解析: (1)tAfalse0.9，tBfalse0.9，tCfalse0.9，tDfalse0.9，tEfalse0.9，tFfalse0.9.
∴6款软件中有4款有效下载软件，
∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为false.
(2)X的可能取值有2，3，4，
且P（X＝2）false，P（X＝3）false，P（X＝4）false，
∴X的分布列为：
X
2
3
4
P
false
false
false
E（X）＝2false3false4false.
(3)不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”.
理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，
此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.
19.
证明: (1)∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥CC1，
又AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵AC1平面ACC1A1，∴BC⊥AC1．
3606800254635(2)过E作EF∥BC，交AB于F，连结B1F，过F作FG∥EC，交BC于G，连结B1G，
则四边形EFGC是平行四边形，
∵D在线段B1C1上，B1D=3DC1，AE=3EC，AC=BC=CC1=4．
∴C1D=CE=FG=BG=1，∴EFDB1，
∴四边形EFB1D是平行四边形，∴DE∥B1F，
∵DE?平面A1ABB1，B1F平面A1ABB1，
∴DE∥平面A1ABB1；
(3)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
E（1，0，0），D（0，1，4），=（1，﹣1，﹣4），平面C1CBB1的法向量=（1，0，0），
设直线ED与平面C1CBB1所成角为θ，则sinθ===．
∴直线ED与平面C1CBB1所成角的正弦值为．
20. 解析: (1)）函数false为偶函数，所以false，即false，整理得false对任意的false恒成立，false；
(1)当false时，false，则false，
false，则false，false，false，
所以，函数false在false上单调递增，
false当false时，false；
(2)由false，得false，设函数false，false，
则false，令false，得false．
随着false变化，false与false的变化情况如下表所示：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
极大值
false
所以，函数false在false上单调递增，在false上单调递减．
又因为false，false，false，且false，如下图所示：
所以，当false时，方程false在区间false内有两个不同解，
因此，所求实数false的取值范围为false．
已知椭圆C:false+false= 1(a > b > 0)的长轴长为6, 且椭圆C与圆M: (x - 2)2 + y2 =false的公共弦长为false.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点任作一条不与x轴重合的直线l, 直线l与椭圆C交于P, Q两点,点A为椭圆C的右顶点, 直线PA, QA分别与直线x = 9相交于点M, N. 证明: 以线段MN为直径的圆恒过定点.
解析: (1)由题意可得false，所以false.
由椭圆false与圆false：false的公共弦长为false，恰为圆false的直径，可得椭圆false经过点false，所以false，解得false.所以椭圆false的方程为false.
(2)当直线l斜率不存在时，其方程为x＝1，可求得M，N两点坐标分别为M（9，8），N（9，﹣8）或M（9，﹣8），N（9，8），又F（1，0），
∴FM，FN的斜率之积为：，∴FM⊥FN．
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组：，消去y整理得：（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72＝0，
∴，
，
又设M（9，yM），N（9，yN），
由P，A，M共线得：，
由Q，A，N共线得：，
所以FM，FN的斜率之积为：kFM?kFN＝＝
＝＝＝，∴FM⊥FN，
综上可知：恒有FM⊥FN．
∴以线段MN为直径的圆恒过点F．
22.在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程是false(t为参数). 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线C1: =falsesin, 点A的极坐标为(2,false), 圆C2的圆心在极轴上, 且过O, A两点.
(1)求圆C2的极坐标方程;
(2)若直线l与曲线C1, C2分别交于异于原点的点P, Q, 求线段PQ的中点M的轨迹的直角坐标方程.
解析: (1)设圆false的直径长为false，因为点false的极坐标为false，false的圆心在极轴上，且过false，false两点，所以false，解得false，所以圆false的极坐标方程为false.
(2)由已知得直线false的极坐标方程为false，设false，false，false，
则false，false，false，
因为false，所以点false的极坐标方程为false.
因为false，false，false，所以false，
即false.
即线段false的中点false的直角坐标方程为false.