24.1.2垂径定理的应用（共20张ppt）

24.1.2 垂径定理的应用
1、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴.
∵直径ＣＤ垂直于弦ＡＢ，
·
O
A
B
C
D
E
∴ＡＥ＝ＢＥ　
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒
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⌒
⌒
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵直径ＣＤ平分弦ＡＢ，
·
O
A
B
C
D
E
∴CD⊥AB　
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
⌒
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⌒
⌒
3、推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理及推论综合概括
条件
结论
命题
①②
③④⑤
①③
②④⑤
①④
②③⑤
①⑤
②③④
②③
①④⑤
②④
①③⑤
②⑤
①③④
③④
①②⑤
③⑤
①②④
④⑤
①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
①是直径(过圆心)，②垂直弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
　②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
O
A
B
E
解：
即⊙O的半径为5cm.
在Rt △ AOE 中
2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD
证明：过O作OE⊥AB于E，
则AE＝BE，CE＝DE
∴ AE－CE＝BE－DE
即AC＝BD
E
.
A
C
D
B
O
在此题中，只需要过圆心作一条与弦垂直的线段就可以利用垂径定理来解决了.
3、已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB。
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。
则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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.
M
C
D
A
B
O
N
你能讲解吗？
夹在平行弦间的两条弧相等.
你能有一句话概括一下吗？
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
1、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP的取值范围是 .
O
A
B
P
3≤OP≤5
练习
2、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
E
O
B
A
D
C
F
在Rt△OEF中，OE=3-1=2，
∠BED=30°则OF=1
又在Rt△DOF中
DF=
∴CD=2DF=
3、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，且
又∵AC=AB ∴AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
(3)半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。
8cm
A
B
O
E
A
B
O
E
O
A
B
E
(1)半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。
(2) ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。
4、填空：
●O
A
B
C
D
1.两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
2.两条弦在圆心的两侧
(4)⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，
AB=8，CD=6，则AB、CD间的
距离是___ .
1cm
或7cm
解：如图，设半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
D
37.4
7.2
例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
AB =37.4,
CD =7.2
R
18.7
R-7.2
4、弓形的弦长为6cm，弓形的高
为2cm，则这弓形所在的圆的半径为　　 .
练习
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
N
M
A
E
H
F
B
D
O
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R=3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1、在运用垂径定理来解决一些圆中线段的求解和证明时，常常要作垂直于弦的直径，而通常只需过圆心作弦的垂线段(弦心距)即可；
2、通过作出弦心距后，可构造直角三角形，然后用直角三角形的边角关系或勾股定理来求解.