24.1.3弧、弦、圆心角（共20张ppt）

24.1.3 圆心角、弧、弦、
弦心距之间的关系
我们知道圆是轴对称图形，经过圆心的
每一条直线都是它的对称轴。
O
那么圆是中心对称图形吗？
顺时针旋转90°
顺时针旋转180°
圆即是轴对称图形也是中心对称图形
它的圆心就是对称中心。其实圆旋转任意角度都能与自身重合。
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
一、概念
圆心到弦的距离，叫弦心距 , 右图中，OD为AB弦的弦心距。
如:∠AOB
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
①
②
③
④
O
O
O
O
√
×
×
×
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
∴　　　　　重合，AB与A′B′重合．
AB与A’B’
∴ AB=A’B’
C
C/
O
A/
B/
A
B
弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦相等。
如图，作OC⊥AB于C， OC/⊥A /B /于C/
在上述定理的条件下，OC=OC/是否成立？
可通过△AOB≌△ A∕OB∕
然后利用全等的性质得到
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
（圆心角定理）
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
几何运用：
由①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
拓展与深化
在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件:
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的
弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
弦所对的弧(指劣弧)相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的弦心距相等
如图,AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，
如果AB＝CD，那么 ， ， ；
如果OE＝OF，那么 ， ， ；
如果弧AB＝弧CD，那么 ， ， ；
如果∠AOB＝∠COD，那么 ， ， 。
·
C
A
B
D
E
F
O
练习
∠AOB=∠COD
弧AB=弧CD
OE=OF
∠AOB=∠COD
弧AB=弧CD
AB=CD
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
弧AB=弧CD
AB=CD
OE=OF
O
A
B
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为
根据圆心角、弧、弦的关系定理可知：
︵
︵
必需在同圆或等圆的条件下！
×
1.下列命题中真命题是（ ）
A、相等的弦所对的圆心角相等。
B、圆心角相等，所对的弧相等。
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。
D、长度相等的弧所对的圆心角相等。
2、在⊙O中， = ，∠B=70°，则∠A= ＿＿＿
AB
AＣ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｏ
３、如图：AB为⊙O的直径， = = ，
∠COD=35°， 则∠AOE=＿＿＿＿度。
BC
CD
DE
A
B
C
D
E
o
牛刀小试
BC=CD=DE
解：
C
40°
75°
证明：
∴ AB=AC
又∠ACB=60°
∴ AB=BC=CA
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC
·
A
B
C
O
四、例题选讲
例1.如图, 在⊙O中， ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
AB AC
=
∵ AB=AC
∴ △ABC是等边三角形
例2：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
求证：AB=CD
O
P
A
C
D
M
B
（1）
E
F
证明：过点O作OE⊥AB于
点E,OF⊥CD于点F
∵PO平分∠BPD
∴OE=OF
∴AB=CD
练习
1.如图，已知AB、CD为
的两条弦，
，求证AB＝CD.
O
⊙
AD=BC
2.已知：AB是⊙O的直径,M.N是AO.BO的中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。
求证：AC=BD
·
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｎ
Ｍ
Ｂ
O
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相
等，∠A=70°，则∠BOC= ＿＿＿ 度。
思考
B
A
C
O
D
E
F
G
M
N
P
Q
H
125°
1、圆心角、弧、弦、弦心距四者的关系；
2、在证明弦相等的问题中，若不能证明出对应的圆心角或弧相等，那就要考虑弦对应的弦心距是否相等.