24.1.4圆周角定理的应用（共14张ppt）

24.1.4 圆周角定理的应用
B
C
O
A
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
∠ACB= ∠AOB或∠AOB=2∠ACB
1、圆周角定义：
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.
2、圆周角定理：
几何运用：
3、推论一：
同弧或等弧所对的圆周角相等
几何运用：
∠A=∠D(如图1)
或∵BC=EF ∴∠A=∠D(如图2)
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
逆定理：
几何运用：
∵∠A=∠D ∴BC=EF(如图2)
推论二：
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
几何运用：
∵AB是⊙O的直径 ∴∠C=90°(原命题运用)
∵∠C=90° ∴AB是⊙O的直径(逆命题运用)
二、问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P
不是
是
不是
不是
顶点不在圆上。
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
有一边和圆不相交。
牛刀小试
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°
则∠AOC等于( )
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于( )
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
3、如图，∠A=50°， ∠ECD=20 °
BD交AC于点E，则∠AEB等于( )
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°.
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
A
C
B
O
D
E
C
A
B
O
2
例1、 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
在等腰Rt△ABD中，
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD ∴AD=BD
例题评析
例2、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点
C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合.
(1)AB与AC的大小有什么关系？为什么？
(2)若AF=6，AB=10，求BC的长.
A
C
B
D
F
O
解：(1) AB=AC
证明：连接AD
又∵DC=BD，∴AB=AC
∵AB是直径，∴∠ADB=90°
(2)连接BF
∵AB是直径 ∴∠AFB=90°
又∵AF=6 AB=10
在Rt△BCF中，∵CF=AC-AF=10-6=4
1.如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20°则∠OBC的度数是( )
A、10° B、20°
C、40° D、70°
C
O
A
B
C
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=4，则⊙O的半径为( )
A、 B、4
C、 D、 5
O
B
A
C
A
3.如图，点A、B、C是上的三点，∠ACB=26°则∠BAO的度数是________。
O
C
B
A
4.如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且∠AOC=80°则∠ABC的度数为 。
64°
140°
5.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G ，∠EOD=40°则∠DCF等于________。
E
F
C
D
O
G
20°
α
6、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：BD=DE
证明：连接AD.
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
⌒ ⌒
∴BD= DE
A
B
C
D
E
拓展练习
在教材P87页例4的条件下如何求CD的长？
E
由原题解答的结论可知：AD=
过点A作AE⊥CD于E，在Rt△ACE中
∵∠ACE= ∠ACB=45°
∴CE=AE= AC=
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
∴
∴CD=CE+DE=
作业：
1、教材P89T第5题、
2、教材P90T第14题.